1、九年级数学元旦短训班 中考必考之圆综合 【板块一】概念、性质综合运用 【知识点睛】 圆概念、性质 圆的概念、定义： 等腰三角性 线段、角度关系 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（弧的度数 =弧所对圆心角度数） 直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径； 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或者等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 圆的轴对称性 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 知二得三： 圆心； 平分弦； 垂直弦； 平分劣弧； 平分优弧 圆的旋转不变性 同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
2、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 圆中处理问题的灵活性、综合性： （ 1）半径相等，线段可以转移； （ 2）圆周角可以转移； （ 3）弦、弧、角之间关系的转化； （ 4）其它几何知识可以放在圆的背景中考查 中考经典 1 （ 2010 成都）如图，在 ABC 中， AB 为 O 的直径， 60B ， 70C ， 则 BOD 的度数是 _度 2 （ 2011 江苏无锡）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、 B两点，交y 轴的正半轴于点 C， D 为第一象限内 O 上的一点，若 DAB = 20，则 OCD = _ DOC BADCBAyxO3 （ 2011 江苏连云
3、港）如图，点 D 为边 AC 上一点，点 O 为边 AB 上一点，AD=DO以 O 为圆心， OD 长为半径作半圆，交 AC 于另一点 E，交 AB于点 F， G，连接 EF若 BAC=22，则 EFG=_ 4 （ 2010 芜湖）如图所示，在圆 O 内有折线 OABC，其中 OA=8， AB=12， A= B=60，则 BC 的长为 _ 5 （ 2010 荆门）如图， MN 是 O 的直径， MN=2，点 A 在 O 上， AMN=30，B为 AN 的中点， P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB的最小值为 _ 6 （ 2010 泰州）如图 O 的半径为 1cm，弦 AB、 CD的长度分
4、别为 2 cm，1cm则弦 AC、 BD 所夹的锐角 7 已知圆 O 的半径为 1，弦 ，则 BAC 等于 _ 8 相交两圆的半径分别为 8和 5，公共弦为 8，这两个圆的圆心距等于 _ 【板块二】与圆有关的位置关系 【知识点睛】 点与圆的位置关系 d 表示点到圆心的距离， r 表示半径， 当 d r 时，点在圆外； CBOA第 4 题图 CEDBGOFA第 3 题图 PBAO NM第 5 题图 第 6 题图 DOCBA当 d r 时，点在圆上； 当 0d r 时，点在圆内 直线与圆的位置关系 时，相离 ; ，相切 ; ，相交 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 切线的判定： （ 1）
5、 定义 （ 2） 连半径，证垂直 （ 3） 作垂直，证半径 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 圆与圆的位置关系 dR+r，外离 d=R+r，外切 R-rdR+r，相交 d=R-r，内切 0dR-r，内含 1l2l1NMOBAEDCBOA练习： （ 1）两圆相切，半径分别为 4cm和 6cm，则两圆的圆心距等于 _ （ 2）已知圆 O1 和圆 O2 相内切，圆心距为 1cm，圆 O2 半径为 4cm，求圆O1 的半径等于 _ 中考经典 9 在 RtABC 中， C=90， AC=3， BC=4，以 C 为圆心， R为半径作圆与斜边
6、 AB有一公共点，则 R的取值范围为 10 (2010 苏州 )如图，已知 A、 B两点的坐标分别为 (2， 0)、 (0， 2)， C 的圆心坐标为 ( 1， 0)，半径为 1若 D 是 C 上的一个动点，线段 DA 与 y轴交于点 E，则 ABE 面积的最小值是 ( ) A 2 B 1 C 22 2 D 22 11 （ 2010 四川）如图，直线 l1 l2， O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B点M 和点 N 分别是 l1 和 l2 上的动点， MN 沿 l1 和 l2 平移 O 的半径为 1， 1 60下列结论 错误 的是（ ） A 433MN B若 MN 与 O 相切，
7、则 3AM C若 MON 90，则 MN 与 O 相切 D l1 和 l2 的距离为 2 12 如图，已知梯形 ABCD 中， AD BC， DC BC， AB=AD BC，且 AB为 O 的直径，求证： O 与 DC 相切 第 10 题图 yxOEDCBA第 11 题图 FEODCBAP O 2O 113 （ 2011 淄博）已知： ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 O 在边 AB 上， O 过点 B且分别与边 AB， BC 相交于点 D， E， EF AC，垂足为 F （ 1）求证：直线 EF 是 O 的切线； （ 2）当直线 DF 与 O 相切时，求 O 的半径 14 （ 2010
8、 山东）如图，小圆的圆心在原点，半径为 3，大圆的圆 心坐标为 (a，0)，半径为 5，如果两圆内含，那么 a 的取值范围是 _ 15 （ 2010 鄂尔多斯）如图， O1 和 O2 的半径分别为 1 和 2，连接 O1 O2，交 O2 于点 P， O1 O2=5，若将 O1 绕点 P 按顺时针方向旋转 360，则 O1 与 O2 共相切 _次 第 14 题图 第 15 题图 16 如图所示，点 A、 B在直线 MN 上， AB=11cm， A、 B的半径均为 1cm， A 以每秒 2cm 的速度自左向右运动，与此同时， B 的半径也不断增大，其半径 r(cm)与时间 t(秒 )之间的关系式为
9、 r=1+t(t0)，当点 A 出发后_秒两圆相切 BA NMlA B17 (2011 浙江 ) 如图，相距 2cm的两个点 A 、 B在直线 l 上，它们分别以 2 cm/s 和 1 cm/s 的速度在 l 上同时向右平移，当点 A 、 B分别平移到点 1A 、 1B 的 位置时，半径为 1 cm的 与半径为 1BB 的 B相切，则点 A 平移到点 1A 的所用时间为 s 【 板块三 】 确定圆条件 【知识点睛】 （ 1）不在一条直线上的三个点共圆； （ 2）四点共圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点 过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外
10、接圆，圆心叫三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点 圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角 O x y B C A 第 18 题图 OPEDCBA【中考经典】 18 （ 2011 山东烟台）如图， ABC 的外心坐标是 _ 19 （ 2011 江西南昌）如图，在 ABC 中，点 P 是 ABC 的内心，则 PBC+ PCA+ PAB= 度 20 如图， AB是直径， C、 D 是圆上的两点，连结AC、 CD，作射线 AD，若 BAC=20，则 CDE 的度数为 _ 21 （ 2010 广东广州）如图， O 的半径为 1，点 P 是 O 上一点，弦 AB垂直平分线段 OP，点 D
11、是 APB 上任一点（与端点 A、 B不重合）， DE AB于点 E，以点 D 为圆心、 DE 长为半径作 D，分别过点 A、 B作 D 的切线，两条切线相交于点 C （ 1）求弦 AB的长； （ 2）判断 ACB 是否为定值，若是，求出 ACB 的大小；否则，请说明理由； （ 3）记 ABC 的面积为 S，若2SDE 4 3 ，求 ABC 的周长 第 19 题图 第 20 题图 PBADCOyx22 （ 2011 广东茂名）如图， P 与 y 轴相切于坐标原点 O(0， 0)，与 x 轴相交于点 A(5， 0)，过点 A 的直线 AB与 y 轴的正半轴交于点 B，与 P 交于点 C (1)已
12、知 AC 3，求点 B的坐标； (2)若 AC a ， D 是 OB 的中点问：点 O、 P、 C、 D 四点是否在同一圆上？请说明理由如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 1O ，函数 xky 的图象经过点 1O ，求 k 的值 (用含 a 的代数式表示 ) ABCDEFPOFEDC BA测试提高 23 （ 2011 福建莆田）已知菱形 ABCD 的边长为 1 ADC=60，等边 AEF两边分别交边 DC、 CB于点 E、 F （ 1）特殊发现：如图 1，若点 E、 F 分别是边 DC、 CB的中点求证：菱形ABCD 对角线 AC、 BD 交点 O 即为等边 AEF 的外心； （ 2）若点
13、 E、 F 始终分别在边 DC、 CB上移动记等边 AEF 的外心为点 P 猜想验证：如图 2，猜想 AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明； 图 1 图 2 图 1 OBCDAODCBA【 板块四 】 圆中常见辅助线 圆中有弦，常作弦心距 （ 或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径） 1 （ 2010 舟山）如图，已知 O 的半径为 5，锐角 ABC内接于 O， BD AC 于点 D， AB=8， 则 tan CBD 的值等于（ ） A 34 B 54 C 53 D 43 构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系 圆中有直径
14、，常作直径所对的圆周角或者（由圆周角 90，可以找直径）例如第一讲第 18 题 圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形 （若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形） 2 （ 2010 黑河）如图， O 是 ABC 的外接圆， AD 是 O 的直径，若 O 的半径为 6， sinB=13，则线段 AC 的长是 _ 练习：（ 2010 舟山）如图，已知 O 的半径为 5，锐角ABC 内接于 O， BD AC 于点 D， AB=8， 则 tan CBD 的值等于（ ） A 34 B 54 C 53 D 43 圆中有切线，常作过切点的半径 （若无切点，则过圆心作切线的垂线） 3 （ 2011 江苏苏州）如图，已知 AB是 O 的一条直径，延长 AB至 C 点，使得AC=3BC， CD与 O 相切，切点为 D若 CD= 3 ，则线段 BC 的长度等于_ 4 遇到三角形外心，常连接外心和三角形顶点DOCBADOCBA
