1、广东省东莞市第七高级中学 2013届高三第一次月考 数学（理） 注意事项： 1 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用 2B 铅笔将试卷类型 （ A）填涂在答题卡相应位置上 2 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填
2、涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，满分 40 分 1. 已 知复数 1a bi i （其中 ,ab R ， i 是虚数单位），则 ab 的值为 （ ） A 2 B 1 C 0 D 2 2. 设全集 01 2 3 4U ， ， ， ， ，集合 2,3,4A ，则 UCA （ ） A 1 B 01， C 0123， ， ， D 01234， ， ， ， 3已知 3sin 5 ， 且 ( , )2 ， 则 sin2 的值为 （ ） A 45 B 35 C 45
3、D 45 4. 已知向量 ,ab满足 1, 1, 2,a b a b 则向量 ,ab所成夹角为 （ ） A. 30o B. 60o C. 120o D.150o 5. 在 ABC 中，若 sin cosABab ，则角 B 为 （ ） A 6 B 4 C 3 D 2 6. 同 时 掷 两 个 骰 子 , 其 中 向 上 的 点 数 之 和 是 5 的概率 （ ） A 1/9 B 1/18 C 5/36 D 1/6 7. 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形， 根据图中的数构成的规律， a 所表示的数是 （ ） 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 1 1 5
4、 10 10 5 1 A 2 B 4 C 6 D 8 8. 动点 ,Axy 在圆 221xy上绕坐标原 点沿逆时针方向匀速旋转， 12 秒旋转一周。已知时间 0t 时，点 A 的坐标是 13( , )22 ，则当 0 12t 时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t（单位：秒）的函数的单调递增区间是 ( ) A 0,1 B 1,7 C 7,12 D 0,1 和 7,12 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（ 9 13题） 9 若向量 (1, )ax , 2,1br 满足条 件 abrr,则 x =_ 10. 在一个不透明的盒子中装有 2个
5、白球， n个黄球，它们除颜色不同外，其余 均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 23 ，则 n _ 11. 在 ABC 中，已 知 4 , 3 , 3 7A B B C A C , 则 ABC 的最 大角 的大 小为_ 12. 阅读右面程序框图，如果输入的 5n ，那么输出的 S 的值为 _ 13.已知 1sin cos 5，且 (0, ) ，则 sin( )4cos2 的值为 _ （二）选做题（ 14、 15 题，考生只能从中选做一题 ；两题都选的只记第一题得分。 ） 14.（ 几何证明选讲选做题 ） 如图， AB 是 O 的直径，P 是 AB 延长线上的一点，过 P 作 O 的切线
6、，切点为C ， 23PC ，若 30CAP ，则 O 的直径 AB _ 15. (坐标系与参数方程 选讲 选做题 ) 在直角坐标系中曲线 C 的极坐标 方程为2 cos 4 sin ，写出 曲线 C 的 普通 方程 _ 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分 12 分） 同时抛三枚质地均匀的硬币 （ 1）写出所有的基本 事件； （ 2）求 出现 “两个正面朝上，一个 反 面朝 上 ”的概率 ； （ 3） 求“至多两个正面朝上”的概率； 17（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，点 A( 1, 2)、 B(2,3)、 C( 2
7、, 1)。 （ 1） 求以线段 AB、 AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （ 2） 设实数 t 满足 0AB tOC OC，求 t 的值。 18（本小题满分 14分） 已知函数 ()fx sin( )Ax (其中 A0, 0,0 2 )的图象如图所示。 （ 1） 求 A， 及 的值； （ 2） 若 31cos ,求 ()8f 的值。 19（本小题满分 14 分） 已知 向量 ( 3 , c o s ) , ( s i n ,1 )a x b x，函数 ()f x ab a b ， 且 最小正周期为 4 （ 1） 求 的值； （ 2） 设 6, , , ( 2 ) ,2 3 5f 2 2
8、4(2 )3 13f ，求 sin( ) 的值 （ 3） 若 ,x ，求函数 f(x)的值域； 20（本小题满分 14 分） 设函数 )(c o ss in)( Rxxxmxf 的图象经过点 2， 1 （ 1） 求 ()y f x 的解析式，并求函数的最小正周期和最 大 值 （ 2） 若 ( ) 2 sin12fA ，其中 A 是面积为 332 的锐角 ABC 的内角，且 2AB ， 求 AC 和 BC 的长 21（本小题满分 14 分） 在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 .点 E 正北 55 海里处有一个雷达 观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位
9、于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 (其中 26sin 26 ， 0 90 )且与点 A 相距10 13 海里的位置 C. （ 1）求该船的行 驶速度（单位：海里 /小时） ; （ 2）若该船不改变航行方向继续行驶 .判断它是否会进入警戒水域，并说明理由 东莞市第七高级中学 2012 2013 学年度第一学期第一次月考 高三年级理科数学试题答案及评分标准 一、选择题（本大题 10 小题，共 50 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 二、填空题： (本大题 6 小题，共 30 分 ) 9.-2
10、10. 1 11. 23 12.14 13. 5214 14.4 15. 22 2 4 0x y x y 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 解：（ 1） 正正正；正正反；正反正；正反反；反正正；反正反；反反正；反反反；（共八种） 4 分 （ 2） “两个正面朝上，一个 反 面朝 上 ”共包括： 正正反；正反正；反正正三种情况 故，其概率为 38 8 分 （ 3） 解法一： “至多两个正面朝上”包括： 正正反；正反正；正反反；反正正；反正反；反 反 正 ； 反 反 反 ； 共 七 种 情 况 ， 故 “ 至 多 两 个 正 面 朝 上 ”
11、的 概 率 为78 12 分 解法二： “至多两个正面朝上”的反面是“三个都是正面朝上”，只有 正正正一种情况； 故 “至多两个正面朝上”的概率为： 1-18 =78 12 分 （方法二） 设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则 : E 为 B、 C 的中点， E（ 0， 1）又 E（ 0， 1）为 A、 D 的中点，所以 D（ 1， 4） 2分 故所求的两条对角线的长分别为 BC=42、 AD=210 ； 6分 （ 2）由题设知： OC =( 2, 1)， (3 2 , 5 )A B tO C t t 。 8分 由 ( ) 0AB tOC OC，得： (3 2 , 5
12、) ( 2 , 1) 0tt ， 10 分 从而 5 11,t 所以 115t 。 或者： 2 AB OC tOC ， (3,5),AB2 115|AB OCt OC 12分 18 解： （ ） 由图知 A=2, 2 分 T=2( 588 )=, 3 分 =2, 4分 f(x)=2sin(2x+) 又 ()8f =2sin(4 +)=2, sin(4 +)=1, 5 分 4 += 22 k ,= 4 +2k ,(kZ) 0 2 , =4 7 分 （） 由 （ 1） 知 ： f(x)=2sin(2x+ 4 ) 9 分 ()8f =2sin(2+ 2 )=2cos2 10分 =4cos2-2 12
13、分 = 9142)31(4 2 14分 19 解 :（ 1） 由已知 ， 易得 ( ) 3 s i n c o s 2 s i n ( )6f x x x x 2分 F(x)的最小正周期为 4 ，即 2 4T ，解得 12 4 分 （ 2）由（ 1），知 1( ) 2 sin( )26f x x ，则 6( 2 ) 2 sin ( ) 2 sin3 6 6 5f 所以 3sin5，又 ,2，所以 4cos5 6分 同理 2 2 4( 2 ) 2 s in ( ) 2 s in ( ) 2 c o s3 3 6 2 1 3f 所以 12cos 13 ，又 ,2，所以 5sin 13 8 分 所以
14、 s i n ( ) s i n c o s c o s s i n = 5665 10分 （ 3）当 ,x 时， 123 2 6 3x , 令 t= 126x ，则 2,33t ， 原函数可化为 ( ) 2sinf t t ， 2,33t 11分 当m in( ) 33t f t 时 ，; 12分 当m ax( ) 22t f t时 ， 13分 所以，函数 f(x)的值域为： 3,2 14 分 （ ）因为 ( ) 2 sin12fA 即 ( ) 2 s i n 2 s i n1 2 3fA sin sin 3A A 是面积为 332 的锐角 ABC 的内角， 3A .10 分 13s i n
15、 322S A B A C A 3AC .12 分 由 余弦定理 得 ： 2 2 2 2 c o s 7B C A C A B A B A C A 7BC .14 分 21.解 : （ I）如图， AB=40 2 ， AC=10 13 ， 26, s in .26BAC 2 分 由于 0 90 ,所以 cos = 22 6 5 2 61 ( ) .2 6 2 6 4 分 由余弦定理得 BC= 22 2 co s 1 0 5.A B A C A B A C 6 分 所以船的行驶速度为 10 5 15 523 （海里 /小时） 7 分 （ II）解法一 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，
16、 设点 B、 C 的坐标分别是 B（ x1， y2） , C（ x1， y2） , BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有， x1=y1= 22 AB=40, 8 分 x2=ACcos 1 0 1 3 c o s ( 4 5 ) 3 0C A D , y2=ACsin 1 0 1 3 s i n ( 4 5 ) 2 0 .C A D 10 分 所以过点 B、 C 的直线 l 的斜率 k= 20210 ,直线 l 的方程为y=2x-40. 11 分 又点 E（ 0， -55）到直线 l 的距离d= | 0 5 5 4 0 | 3 5 7 .14 13 分 所以船会进入警戒水域 . 14 分 解
17、法二 : 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于 Q. 在 ABC 中，由余弦定理得， 2 2 2c o s 2A B B C A CABC A B B C = 2 2 24 0 2 1 0 5 1 0 1 32 4 0 2 1 0 5 = 31010 . 从而 2 9 1 0s i n 1 c o s 1 .1 0 1 0A B C A B C 在 ABQ 中，由正弦定理得， AQ=1040 2si n 10 40.si n( 45 ) 2 2 102 10AB ABCABC由于 AE=5540=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离 . 在 Rt QPE 中 ， PE=QE sin s i n s i n ( 4 5 )P Q E Q E A Q C Q E A B C = 515 3 5 7.5 所以船会进入警戒水域 .
