1、 本科毕业论文 （ 20 届） 插值法及其应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 插值法是数值分析 、 数值逼近和工程实际应用当中的一个重要工具 . 本文阐述了 插值法与插值多项式的基本概念 , 并介绍了几种常用的插值方法 , 对 其误差进行了估计 , 找出不同方法间的联系与区别 , 分析一些方法存在的优缺点 , 最后探讨了插值法在理论研究与实践工作中的应用 . 关键词 : 插值法 ;误差分析 ;数值积分 ;线性方程组 ;中值定理 II Abstract Interpolation method is an important t
2、ool for numerical analysis, numerical approximation and the practical application. In this paper, the basic concept of polynomial interpolation and interpolation are explained. Several common interpolation methods are introduced and their errors are estimated. The connection and distinction among th
3、e different methods are analyzed, and the advantages and disadvantages of some methods are studied also. Finally, the application in theoretical research and practical work is discussed. Keywords: Interpolation; Error analysis; Numerical integration; Linear equations; Value theorem III 目录 摘 要 . I Ab
4、stract . II 1 前言 . 1 2 插值问题 . 3 3 常用的插值法 . 5 3.1 Lagrange 插值 . 5 3. 2 Newton 插值 . 6 3. 3 Hermite 插值 . 9 3. 4 分段插值法 . 12 4 插值法的应用 . 14 4. 1 在数值积分中的应用 . 14 4. 2 在解线性方程组中的应用 . 15 4. 3 用插值法构造辅助函数解决中值定理中的具体问题 . 16 4. 4 Hermite 插值在工程上的应用 . 17 5 小结 . 19 致谢 . 错误 !未定义书签。 1 1 前言 实际问题都有用函数 ()y f x 来表示某种内在规律的数量
5、 关系 , 其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的 , 虽然 ()fx在某个区间 , ab 上是存在的 , 有的还是连续的 , 但却只能给出 , ab 上一系列点 ix 的函数值 , 这只是一张函数表 . 另外有些函数虽有解析表达式 , 但由于计算复杂 , 使用不方便 , 通常也仅是够造一个函数表 , 如大家熟悉的三角函数表 、 对数表 、 平方根和立方根表等等 . 为了研究函数的变化规律 , 往往需要求出不在表上的函数值 . 因此 , 我们希望根据给定的函数表构造出一个既能反映函数 ()fx的特性 , 又便于计算的简单函数 ()Px , 用 ()Px近似 ()fx 1. 插值法是解决上述关
6、于函数的计算与近似代替的基本的并且有效的方法之一 . 插值技术早在数千多年前就已经广泛应用了 , 在 16-19 世纪 , 多项式插值被用来解决航海学和天文学中的一些重要问题 2. 期间包括牛顿、高斯、欧拉和拉格朗日在内的许多数学家都对这个课题作出重要的贡献 , 并提出了一些插值公式 . 经典的插值方法以 Lagrange 插值为代表 3. Lagrange 插值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式 , 进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论 , 其优点是插值多项式特别容易建立 , 缺点是增加节点时原有多项式不能利用 , 必须重新建立 , 即所有基函
7、数都要重新计算 , 这就造成计算量的浪费 4; Newton 插值多项式则很好地解决了上述问题 , 该插值法是代数插值的另一种表现形式 , 当增加节点时它具有所谓的 “承袭性 ”;其后还有 Hermite 插值法及分段插值法 5. 上世纪四十年代 , Schoenberg 还提出了样条函数 , 此后对样条及其应用的研究出现了“突破” 6. 1978 年 , DeBoor 在出版的书中提出了多项式的实际应用 , 这为进一步开展的研究提供了很好的基础 . 但插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的 , 随后其应用也日益增多 , 特别是在电子计算机广泛使用以后 , 由于航空 、 造船 、
8、精密机械加工、服装、天气预报等实际问题的需要 , 使插值法在实践上或理论上显得更为重要 , 并得到进一步发展 . 现在插值法已经在不少领域中起着重要作用 7. 在一些数学理论中 , 如 : 中值定理中的一些证明问题 , 等幂和一般公式 , 都采用了插值法 . 随着网络应用的繁荣 , 给数据网络传输带来了方便 , 越来越多的重要信息在网络上传输 , 为了保证安全 , 对网上传输的敏感数据都需要加密 . 而运用插值技术可以研究出一种密钥共享方法 , 解决了这种密钥保护问题 . 使用插值方法可以2 启发人们的思维 , 在数学中可以减少一些递推运 算 , 在实际中可以使难题化简 , 所以研究插值法就显
9、得十分必要了 8. 本文首先 介绍了插值法的基本问题 , 接着阐述了几类常用的插值法 , 找出不同方法间的联系与区别 , 分析这些方法存在的优缺点 , 最后探讨了插值法在理论研究与实践工作中的应用 , 以此进一步提高人们对插值法实用性的认识 . 3 2 插值问题 生产实践中常常出现这样的问题 : 给出一批离散样点 , 要求作出一条通过这些点的光滑曲线 , 以便满足设计要求或进行加工 . 反映在数学上 , 即已知函数在一些点上的值 , 寻求它的分析表达式 . 因为由函数的表格形式不能直 接得出表中所列点出的函数值 , 也不便于研究函数的性质 . 此外 , 有些函数虽有表达式 , 但因式复杂 ,
10、不容易计算其值和理论分析 , 也需要构造一个简单函数来近似它 . 插值法就是解决这个问题的方法之一 , 其基本思想是给出函数 )(xf 的一些样点值 , 选定一个便于计算函数形式 , 如多项式、分式线性函数及三角多项式等 , 要求它通过已知的样点 , 由此确定的函数 )(x 作为 )(xf 的近似 . 下面简单介绍插值问题 中涉及到的一些基本概念 . 设函数 )(xfy 在区间 , ba 上有定义 , 且已知在点 bxxa n 0 上的值ii yxf )( ),1,0( ni , 若存在一简单函数 )(x , 使 ii yx )( ),1,0( ni （ 2.1） 成立 , 就称 )(x 为
11、)(xf 的插值函数 , 点 ix ),1,0( ni 为插值节点 , 包括插值节点的区间 , ba 称为插值区间 , 求插值函数 )(x 的方法称为插值法 . 若 )(xn 为次数不超过 n 的代数多项式 nnn xaxaax 10)( , 其中 ia ),1,0( ni 为实数 , 就称 )(xn 为插值多项式 , 相应的插值法称为多项式插值 . 据线性代数中线性空间的理论 , 全体次数小于等于 n 代数多项式构成的 1n 维线性空间 npx 中的基底是不唯一的 , 因此 n 次代数多项式可以写成多种形式 . 首先定义 1n 个线性无关的特殊代数多项式 , 它们在插值理论中称为插值基函数
12、, 用 )(,),(),( 10 xpxpxp n表示 . 由它们的线性组合表示的次数不超过 n 次插值多项式 )()()()( 1100 xpaxpaxpax nn 应满足插值条件 (2.1). 不同的插值基函数将组成不同形式的插值多项式 . 但是 , 由于插值多项式的唯一性 , 对于给定的一组数据 ( , ) ( 0 ,1, , )iix y i n 所做的不同形式的插值多项式本质上是同一个 . 4 下面主要介绍几类常用的插值多项式 , 对其误差进行估计 , 并逐一分析不同方法的优缺点 . 5 3 常用的插值法 3.1 Lagrange 插值 已知函数 ()y f x 在 1n 个不同的点
13、 01, , , nx x x 上的函数值分别为 01, , , ny y y , 求一个次数不超过 n 的多项式 ()n x , 使其满足 ()n i ixy , ( 0,1, )in 即 1n 个不同节点可以唯一决定一个 n 次多项式 . 当 1n 时 , 已知节点 )1,0(, 1 kxx kk 求 xaax 101 )( 使得 )1,0()(1 kyx kk . 可见 )(1x 是过 ),( 00 yx 和 ),( 11 yx 两点的直线 . )()(001 0101 xxxx yyyx 记11x)(kkkk xx xxl , kkkk xx xxl 11x)( 则 li ii yxl
14、yxlyxlx 011001 )()()()(当 2n 时 , 插值节点为 11 , kkk xxx , 求 )(2 x , 使得 )1,1()(2 kkkjyx jj 同理此时可得)( )()( 111 11 kkkk kkk xxxx xxxxxl)( )()( 11 11 kkkk kkk xxxx xxxxxl)( )()( 111 11 kkkk kkk xxxx xxxxxl 则二次插值多项式 11112 )()()( kkkkkk yxlyxlyxl 用类似的推导方法 , 可得到 n 次插值基函数 ). . . () . . . ( ) . . . ()() . . . ()(
15、110 110k nkkkkkk nkk xxxxxxxx xxxxxxxxxl ）（( 0,1, , )kn, 6 于是 )(xn 可表示为 nk kkn xlyx 0 )()(（ 3.1） 我们把形如 （ 3.1） 的插值多项式 )(xn 称为 Lagrange 插值多项式 . 这里用 )(xn 在区间 , ba 上近似 )(xf , 则其截断误差为 )()()( xxfxR nn , 也称为插值多项式的余项 . 关于插值余项有以下定理 . 定理 3.1 设 )(xfn 在 , ba 上连续 , )()1( xf n 在 ),( ba 内存在 , 节点bxxa n 0 , )(xn 是满足
16、条件（ 2.1）的插值多项式 , 则对任何 , bax , 插值余项 )()!1( )()()()( 11 xnfxxfxR nnnn , （ 3.2） 其中 ),( ba ）（ nn xxxxxxx )()( 101 . 应当指出 , 余项表达式只有在 )(xf 的高阶导数存在的时候才能应用 , 在 ),( ba 内的具体位置通常不能给出 , 如果我们可以求出1)1( )(m ax nnbxa Mxf, 那么插值多项式 )(xn逼近 )(xf 的截断误差限是 )()!1()( 11 xnMxR nnn . Lagrange插值法的公式结构整齐紧凑 , 在理论分析中十分方便 , 然而在计算中 , 当插值节点增加或减少时 , 对应的插值基函数就需要全部重新计算 , 于是整个公式都会变化 , 非常繁琐 . 这时可以 Newton 插值 来代替 . 此外 , 当插值点比较多的时候 , Lagrange插值多项式的次数可 能会很高 , 因此具有数值不稳定的特点 , 也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值 , 但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差 . 这类现象被称为龙格现象 . 3. 2 Newton 插值 已知函数 ()fx在 1n 个节点 01, , , nx x x 上的函数值分别为 01, , , nf f f . Newton插值法将插值基函数取作 :
