1、 本科毕业论文 （ 20 届） 对称性在积分计算中的应用研究 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 在数学分析中 , 积分计算是重要的内容 . 而利用对称性求积分包括定积分 、 重积分 、 曲线积分 、 以及曲面积分则是简便计算的一种常 用方法 . 然而在现有教材以及我们日常学习中往往只强调定积分可以利用对称性计算 , 而对于其 它 积分则是很少甚至没有提到 . 本文就对称性在定积分 、 二重积分 、 三重积分 、 曲线积分 、 曲面积分计算中的应用进行深入的探讨 . 关键词 : 对称性 ; 积分 ; 计算 II Abstract In
2、tegrals calculating is a very important part among the mathematical analysis, and applying symmetry to calculating the quadrature including definite integral, multiple integral, curvilinear integral, curved surface integral is common way of simple calculating. However, in our existing textbook or da
3、ily study, we always only emphasize that symmetry can be applied to calculate the definite integral, regardless of the rest of other integrals. Therefore, this thesis has a basic exploration on the application of symmetry applied to the calculating of definite integral, double integral, triple integ
4、ral, curvilinear integral and curved surface integral. Key words: Symmetry; Integral; Calculating III 目录 摘要 .I Abstract . II 1 前言 . 1 2 各种积分的基本理论 . 4 2.1 定积分的定义 . 4 2.2 二重积分的定义 . 4 2.3 三重积分的定义 . 5 2.4 第一型曲线积分的定义 . 5 2.5 第一型曲面积分 . 6 3 对称性在求各种积分中的应用 . 7 3.1 对称性在定积分中的应用 . 7 3.2 利用对称性解二重积分 . 9 3.3 对称性在三
5、重积分计算中的应用 . 13 3.4 第一型曲线积分中的对称性问题 . 16 3.5 第一型曲面积分中的对称性问题 . 18 4 小结 . 19 参考文献 . 21 致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 在数学计算中 , 积分计算是一个非常重要的部分 . 早在古希腊时期数学家阿基米德 在抛物线图形求积法和论螺线中 , 利用穷竭法 , 借助于几何直观 , 得 出了抛物线弓形的面积 和 阿基米德螺线周围成的区域的面积 , 他的 思想方法是分割求和 , 逐次逼近 . 虽然当时还没有极限的概念 , 不承认无限 , 但 其 求积方法已具有了定积分思想的萌芽 . 17 世纪中叶 , 法国数学家费尔玛
6、、帕斯卡均利用了 “分割求和 ”及无穷小的性质的观点求积 , 更加接近现代的求定积分的方法 . 可见 , 利用 “分割求和 ”及无穷小的方法 , 已被当时的数学家普遍采用 . 17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法 . 但是 , 他们留下了大量的事情需 要后人去解决 , 首先是微积分的主要内 容的扩展 , 其次是微积分还缺少逻辑基础 . 创立于17 世纪的微积分 , 主要 运 用于天文学、力学、几何学中的计算 . 而到 19世纪下半叶微积分已经发展成为一门系统 、 严密、完整的学科 . 积分概念也趋于逻辑化、严密化 , 形成我们现在使用的概念 . 定积分的概念中体现了分割、近似、求
7、和的极限思想 . 其中分割 就 是将 , ab 任意地分成 n 个小间 , 12, , , nx x x , 其中 ix 表示第 I 个小区间的长度 , 在每个小区间上任取一点 i 做 ()iifx 并求和 ()iifx , 这体现了求和的思想 , 当区间的最大长度趋于零时 , 和式的极限若存在即为 ()fx在 , ab 上的定积分 . 利用定积分 可以解决很多实际问题 , 例如求由曲线围成的平面图形的面积 ; 求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积 ; 平行截面面积为已知的立体的体积 ; 求曲线的弧长以及物理中的功、水压等等时 , ()ba f xdx的积分形式也可以推广 : （ 1） 可以把
8、积分区间 , ab 推广到无限区间上 , 如 , )a 等 , 或者把函数推广到无界函数 , 也就是广义积分 . （ 2） 可以把积分区间 , ab 推广到一个平面区域 , 被积函数为二元函数 , 那么积分就是二重积分 ; 同样当被积函数成为三元函数 、 积分区域变成空间区域时就是三重积分 . （ 3） 还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面 , 即曲线积分和曲面积分 . 无论积分推广到何种形式 , 它始终体现了这种分割的极限思想 , 比如二重积分的概念 : 设 ( , )f xy 在有界闭区域 D 上有界 , （ 1） 分割 :将 D 任意分成 n 个小区域 i 并表示面积 ; 2 （
9、2） 近似 : 在每个 i 上任取一点 ( , )ii 作乘积 ; （ 3） 求和取极限 : 若各区域直径的最大值趋于零时 , 和式 iifx 的极限存在 , 即为 ( , )f xy 在 D 上的二重积分 . 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的 , 同样三重积分亦是如此 . 此外 , 不定积分与定积分之间关系为 : 如果函数 ()Fx是连续函数 ()fx在区间 , ab 上的一个原函数 , 则 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a, 这是牛顿 莱布尼兹公式 . 这个公式进一 步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 . 它表明 : 一个连续函数
10、在区间, ab 上的定积分等于它的任一原函数在区间 , ab 上的增量 . 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法 . 4 积分在数学分析中有很重要的地位 , 积分的计算方法有许多种 , 很多 文献都对 它有 探讨 ,但是 关于 对称性的研究却少 有 涉及 . 对称性在积分运算中有着很重要的意义 , 通常可以简化计算 . 本文研究了对称性在积分运算中的应用 . 积分在数 学分析中是相当重要的一项内容 , 而在计算积分的过程中 , 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的 情况 . 那么 , 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性 , 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去
11、, 往往可以简化计算过程 , 收到意想不到的效果 , 引起感情激荡 , 造成感情上的共鸣 , 更好地感知 , 理解数学 之 美 . 特别是对于有些题目 , 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果 . 在积分计算中利用对称性来解题这种方法 , 是一种探索性的发现方法 , 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能 . 4 下面我们举出几个对称性在积分计算中的例子 , 张振强他的一篇对称性在二重积分中的应用论文中介绍如何利用对称性来计算二重积分 , 并提出了通过适当改造被积函数和积分区城以利用对称性来简化计算的方法 . 在一般情况下 , 不仅要求积分区域 D 具有对称性 , 而且被积分函数对
12、于区域 D 也要具有对称性 . 但在特殊情况下 , 即使积分区域 D 不对称 , 或者关于对称区域 D 被积函数不具备对称性 , 也可以经过一些技巧性的处理 , 使之化为能用对称性来简化计算的积分 . 常见对称形式的二重积分的简化运算有三种 , 一 : 积分区域 D 关于坐标轴对称 ; 二 : 分区域 D 关于原点对称 ; 三 : 积分区域 D 关于直线 yx 对称 . 在进行二重积分计算时 , 善于观察被积函数和积分区域的特点 , 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性 , 恰当地利用对称性方法解题 , 可3 以避免繁琐计算 , 使二重积分问题的解答大大简化 . 刘渭川 , 在他的利用对
13、称性计算曲线积分和曲面积分 , 论文中提到 , 借助于 (平面 )空间曲线及空间曲面的直观几何意义 , 利用曲线 , 曲面关于坐标轴及坐标面的对称性 , 探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇 (偶 )函数 , 如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线 (面 )积分更为简便、快捷 , 同时，也有 利于避免因符号处理不当而导致的积分错误 . 因此 , 在积分计算中 , 可以利用对称性来帮助求解 , 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意 : 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面 , 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用 ; 对于第二型曲线积分与曲面积分 , 在利用对称性时
14、, 还需考虑路线的方向和曲面的侧 , 应慎重 ; 合理利用轮换对称性以求简便计算 . 4 2 各种积分的基本理论 2.1 定积分的定义 定义 12.1 设函数 ()fx在 , ab 上有界 , 在 , ab 中任意插入分点 , 0 1 2 1 ,nna x x x x x b 它们把 ,ab 分成 n 个小区间 , 第 i 个小区间 1,i i iI x x 的长度为 1i i ix x x , ( 1,2, , )in , 在各小区间上任取一点 1 , i i ixx 作乘积 ( ) , ( 1, 2 , , ),iif x i n 并作和 1 ()niiiS f x, 记 2m a x ,
15、 , , ,inx x x 如果不论对 , ab 怎样的分法 , 也不论在小区间 1 , iixx 上点 i 怎么取法只要当 0 时 ,和 S 总趋于确定的极限 I , 称这个极限为函数 ()fx在区间 , ab 上的定积分 , 记为 ()ba f x dx . 2.2 二重积分的定义 定义 22.2 设 ,f xy 是定义在可求面积的有界闭区间区域 D 上的函数 . J 是一个确定的数 , 若对任给的正数 , 总存 在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T , 当他的细度T 时 , 属于 T 的所有积分和都有 1 ,ni i ii fJ . （ 2.1） 则称 ,f xy 在 D 上可积
16、, 数 J 称函数 ,f xy 在 D 上的二重积分 , 记做 ,DJ f x y d （ 2.2） 其中 ,f xy 称为二重积分的被积函数 , ,xy称为积分变量 , D 称为积分区域 . 5 当 ,0f x y 时 , 二重积分 ,D f x y d在几何上就表示以 ,z f x y 为曲顶 , D 为底的曲顶柱体的体积 . 当 ,1f x y 时 , 二重积分 ,D f x y d的值就等于积分区域D 的面积 . 由二重积分定义知道 , 若 ,f xy 在区域 D 上可积 , 则与定积分情况一样 , 对任何分割 T , 只要当 T 时 , (1)式都成立 . 因 此为了方便计算起见 ,
17、常选取一些特殊的分割方法 , 如选用平行于坐标轴的直线网来分割 D , 则每一小网眼区域 xy , 此时通常把 ,D f x y d 记作 ,D f x y dxdy . （ 2.3） 首先可以像定积分那样类似地证明函数 ,f xy 在有界可求面积区域 D 上可积的必要条件是它在 D 上有界 . 2.3 三重积分的定义 定义 32.3 设 ( , , )f x y z 为定义在三维空间可求体积的有界闭区域 V 上的函数 , J 是一个确定的数 . 若对任给的正数 , 总存在某一正数 , 使得对于 V 的任何分割 T , 只要T , 属于分割 T 的所有积分和都有 1 ( , , )ni i i
18、 ii f V J , （ 2.4） 则称 ( , , )f x y z 在 V 上 可积 , 数 J 称函数 ( , , )f x y z 在 V 上的 三重积分 , 记作 ( , , )VJ f x y z dv 或 ( , , )VJ f x y z d x d y d z , 其中 ( , , )f x y z 称为 被积函数 , ,xyz 称为 积分变量 , V 称为 积分区域 . 2.4 第一型曲线积分的定义 定义 2.44 设 L 为平面上可求长度的曲线段 , ( , )f xy 为定义在 L 上的函数 . 对曲线 L作分割 T , 它把 L 分成 n 个可求长度的小曲线段 (
19、1, 2, , )iL i n , iL 的弧长记为 is , 分割 T 的细度为 , 在 iL 上任取一点 ( , )( 1, 2, , ).ii in 若有极限 6 0 1lim ( , )ni i iT i f s J . 且 J 的值与分割 T 与点 ( , )ii 的取法无关 , 则称此极限为 ,f xy 在 L 上的 第一型曲线积分 , 记作 ( , )Lf x y ds. （ 2.5） 若 L 为空间可求长曲线段 , ,f x y z 为定义在 L 上的函数 , 则可类似地定义 ,f x y z 在空间曲线 L 上的第一型曲线积分 , 并且记作 ( , , )Lf x y z d
20、s. （ 2.6） 2.5 第一型曲面积分 定义 2.54 设 S 是空间中可求面积的曲面 , ,f x y z 为定义在 S 上的函数 . 对曲面 S作分割 T , 它把 S 分成 n 个小区面 1, 2, ,iS i n , 以 iS 记小曲面块 iS 的面积 , 分割 T的细度1m ax iinTS 的 直 径, 在 iS 上任取一点 , , 1, 2 , ,i i i in , 若极限 0 1l im , ,ni i i iT i fS , （ 2.7） 存在 ,且与分割 T 与 , , 1, 2 , ,i i i in 的取法无关 , 则称此极限为 ,f x y z 在 S 上的第一型曲面积分 , 记作 ,S f x y z dS. （ 2.8）
