1、 本科毕业论文 （ 20 届） 概率统计在彩票选号中的应用 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 目前 , 彩票很流行 . 对于彩票中奖受到很多人的关注 , 同时在概率统计学中 彩票中奖概率也是一个典型的问题 , 从概率论及数理统计 学出发去研究彩票 , 发掘出不为人知的 , 具有动态变化规律是人们十分关心的问题 . 根据这些规律提高中奖概率 , 并 提出彩民科学合理购买彩票的观点 . 给出了彩票各等级奖的中奖概率 , 根据伯 努利大数定理以及中心极限定理提出彩票选号策略 . 并 通过彩票单注中奖金额期望值的分析 , 同时结合彩票中奖号
2、码的不可预测性 , 倡导彩民应该理性购彩 . 关键词 : 彩票 ; 中奖 概率 ; 期望中奖额 ; 选号策略 II Abstract Nowadays, the lottery is very popular. For winning the lottery draws many peoples attention, while winning the lottery is also a typical problems in probability and statistics, applying probability and mathematical statistic method t
3、o study the lottery, explore these regular rules which are hidden or with dynamic changes is a problem that people concerned about much. According to these laws to improve winning probability, and provide a reasonable method for people selecting lottery numbers. Probabilities of lottery are given in
4、 this paper. Based on Central-limit Theorem and Bernouli Large Numbers Law, concluded the strategy on lottery numbers selecting. In addition, through the analysis of expected utility that people who buy one lottery, and combining with the unpredictability of lottery numbers, suggested people should
5、be rational purchasing lottery. Keywords: Lottery; Winning probability; Expected prize; Strategy III 目录 摘要 . I Abstract .II 1 前言 . 1 2.1 概率论中的基本定义及性质 . 4 2.2 各等级彩票的中奖概率 . 5 3 彩票选号策略 . 10 3.1 根据伯努利大数定理确定投注号码备选数字 . 10 3.2 根据中心极限定理确定投注号码分布规律 . 11 4 倡导理性购彩 . 14 4.1 彩票中奖金额期望 . 14 4.2 期望结果分析与评价 . 16 4.3 给
6、彩民的建议 . 17 5 小结 . 18 参考文献 . 19 1 1 前言 彩票是指国家为筹集社会公益资金 , 促进社会公益事业发展而特许发行、依法销售 , 自然人自愿购买 , 并按照特定规则获得中奖机会的凭证 . 彩票是将 个人 利益与社会公益 事业 结合 起来 的资金 筹集方式 , 它减轻 了政府 在 体育、福利等社会公益事业 上面的 财政压力 , 成为资助 公益事业 发展的 关键方式之一 . 由于越来越多的人在 通过购买彩票 来为公益事业做贡献 或 达到一夜暴富的目的 , 因此 “彩民 ” 的行列 也在日益扩大 . 时至今日 , 世界上有 160 多个国家经营彩票 , 彩票已成为世界第六
7、大产业 , 其年销量正以 10%以上的速度 迅速 增长 , 年销售额已超过 1500 亿美元 . 在我国 , 第一张即开传统结合型彩票 “双重大奖 ” 于1989 年发行 , 至今 彩票 已经有二十 余 年的发展历程 , 发行额连创新高 . 截至 11 月 9 日 , 我国今年 仅凭 福利彩票销量就已突破 800 亿元 , 同比增长 166 亿多元 , 增幅 26%, 为国家筹集福彩公益金 250 多亿元 . 伴随 彩票的兴起 , 媒体 经 常 刊登 关于彩票各个方面的 评论 , 其中也包括彩票 与数学的关系 , 但是语焉不详 . 部分 “彩迷 ” 迷信摇奖机摇出的号码是有规律可循的 , 于是
8、网上或报刊杂志上 的 一些彩票相关资料 , 成为多数彩民的参考资料 , 希望可以从中找出一些秘诀 . 甚至 有些彩民还妄想从 卦书 中学到算出中奖号码的方法 . 更有甚者 , 部分 媒体 竟然在报刊杂志上 , 公然登 出彩票的 预计中奖 号码 , 这势必将 大众 造成 误导 . 很多 数学知识薄弱的彩民 因此 经常受到蒙蔽 . 如何了解自己所关心的彩票各等级中奖概率和中大奖 (特、一、二等奖 ) 的期望中奖额 , 将非常值得彩 民学习 . 虽然 许多彩民由于彩票而对研究数字产生浓厚兴趣 . 但面对深奥的数学却常常倍感困扰 , 感到无从下手 . 那么 , 在理论上 彩票 中奖的概率究竟 是多少
9、, 摇出的中奖号码是否是随机 , 能不能预测 ? 这些问题都 将 有必要从数学的角度加以澄清 . 彩票与概率 关系 密切 . 假设 彩票号码是 从 110 这 10 个数字 中任意选取 7 个数字作为一个 组合 , 彩票中奖 (选对数字 ) 概率 的大小 , 其实 就是一个典型的概率 学 问题 . 对于彩票而言 , 无论是福利彩票 、 体育彩票还是 其他各种彩票 , 开奖结果中的数字都是随机产生的 . 每次 都将通过摇奖机 随机确定 出 一个数字 , 且 其 每个 结果都 是随机的 , 故 具有一定的偶然性 . 但 事实上 , 通过一次又一次的重复试验 , 基于 大量重复试验 后 , 开 奖号
10、码会呈现出某些必然的 规律 . 这些 规律性 虽然 不是很强 , 但并不是没有规律 . 只要经过对大量数据的研究 , 结合概率统计学的知识 , 针对彩票 开奖 数字可能重复出现 的 情况 , 加以分析就能 找出 开 奖号码中隐 藏着 的规律 . 概率与统计学本身就来源于古代博彩游戏 , 人们为了更准确地预测结果依靠2 一定的数据积累分析 , 然后算出其出现某种结果的可能性 . 概率分析就是通过一些复杂的计算 , 将一些出现 概率较小的数字组合删除 , 从而提高 预测结果的准确性 . 因此我们可以 运 用概率统计学的知识来分析彩票 , 从而提高中奖机会 . 然而 彩票与概率 统计之间存在 的关系
11、 , 国内已有不少数学高手 关注着并正在着手研究 . 目前 , 在彩票的数学理论研究及程序设计、功能应用上都 得出了 一些不错的构思和创新 , 这些都已在实际购买彩票时对 中奖号码的分析中 得到 应用 . 通过概率 去 分析了解哪些号码出现 的 可能性大 , 然后将这些出现 概率高 的 数字 组合起来 , 从而提高中奖机会 . 如今 按位选号法中的选少法 就是 常用的选号方法 之一 , 由 均匀分布的分布特征来 预测各个位置 上 每个数字 出现的可能 . 如果将开奖号码分类别进行组合 , 如大小组、奇偶组 , 将 发现都具有自己 的概率分布特点 . 甚至将各期号码的值相加 再 取其和也会有一定
12、的分布形态 . 彩票分析 的 进行就是建立在 这些分布特征 的 基础 之上 . 规律分析是 另 一种相当流行的 彩票中奖号码 预测 的方法 . 它最基本依据 就 是一些不确定因素 , 如 摇奖机中的 球质量不可能绝对相等 , 角度、摇竿摇动的时间等 都 会使球的 摇出呈现 一定的规律 . 此方法要先寻找规律 , 然后验证规律 , 最后以此前开出的号码为依据 , 重新排列组合 . 如常用的选多法就是典型的规 律派 . 在国外 , 概率分析是最流行的预测方法 . 美国的 flinotiny 彩票软件就曾使 20 多人在 1 年内获得了特等奖 . 在 1997 年时 , 我国有人在熟悉了美国 fli
13、notiny 彩票软件后 , 自己动手编了一套软件 (也就是彩神 1000 的雏形 ). 软件原理基本上是参照了美国 flinotiny 彩票软件 , 该软件带来了一定 小收获 . 每个国家的彩票业都不相同 . 美国彩票业具有下列特点 : (1) 由各州独立运作 , 联邦政府并不直接参与政策法规的制定和彩票的经营运作 ; (2) 政策法规完善 , 运作规范 : 通过立法成立州彩票 委员会 , 负责监督和政策制定 , 下设彩票公司具体管理彩票业务 , 经理对委员会负责 , 彩票公司对代销商资格审查手续严格 ; (3) 市面彩票种类繁多 , 目前发行彩票主要有 12 大类 . Tomshen 教授
14、 在 英国牛津大学专门研究 学习 随机数 , 他说过 : 事实上 , 随机数 是很难出现的 . 无论 是用 机器设备或计算机 , 即使 各种转 盘 赌博 工具 是经过 严密设计检测后 的 , 误差 瑕疵依然存在 . 所以所谓的 随机数 并非真实 , 可以说是 伪随机 . 虽然国内外都有相关的研究 , 但是到目前为止 , 关于彩票的研究依然不是很全面 . 国内外对于彩票的相 关研究主要集中在两方面 : 其一 , 从理论角度研究彩票中的数学模型 , 其中包括对彩票的概率分析 , 即通过一些复杂的计算将一些出现概率较小的数字组合删除 , 从而提高中奖机会 . 其二 , 从实践角度研究彩票在前 n 期
15、中奖号码里的规律 , 借以选号投注 , 提高中奖概率 . 这些研究虽然从不同侧面探讨了彩票中数学预测方法 , 但尚不系统 . 3 本文 将 用概率统计 学 的方法 , 研究彩票的中奖率、数学期望及选号策略性 . 当然 , 这首先要了解彩票的玩法和设奖方式 . 在我国 , 国务院特许发 行的有福利彩票和体育彩票 . 主要分 “即开即兑型 ”、 “传统型 ”、 “乐透型 ” 和 “数字型 ” 四种类型 . (1) 即开即兑型是购票者在一个销售点一次完成购票和兑奖全过程的一种彩票 , 买到彩票后 , 刮开、撕开或揭开兑奖区就 可以清楚有没有 中奖 . (2) 传统型彩票是 经过彩票 发行部门 在发行
16、之前 , 将 彩票位数 、奖金等级、中奖形式和 奖金 金额 在大众前公开 , 经过 一段时间 后 , 彩票停止 销售 , 并在公证人的监督下 公开 开 奖 , 兑奖 需要 购 彩 者 “对号入座 ” 的彩票 中的 一种 . 该 彩票 都 先印好号码在 每张 彩票上 , 一般在 五 至 七 个 数 字 之间 , 用摇奖 或其他方式 在规定的抽奖日期按规则利选出若干组中奖号码 , 分别作为各中奖等级 . 凡所购彩票的号码与中奖号码一致 , 则中该项奖等 ; 中、低奖级一般依据中奖号码尾数中的位数个数多少确定 . (3) 乐透彩票是目前世界彩票的主流 . 这种彩票由顾客自选号码 , 通常是在一组数字
17、中 , 选出若干个数字 , 根据 选中 数字个数 的多少分级定奖 . 乐透 型 高 等 奖奖金分配通常按事先设定的比例 , 低等奖奖金通常是固定的数额 . 乐透 型 彩票的奖金高低取决于投注额的多少 , 投注额越多 , 奖金越高 . 此外 , 乐透 型 彩票一般规定在特等 奖不中的情况下 , 其奖金移到下期特等奖中 , 直到中出为止 . 数字型彩票采用 “6+1” 或 “选 3选 4” 的方式 , 每个数字 都是 从 09中选出且 7 个数字是可重复的 . 特等奖不仅要对中 7 个数字 , 而且顺序也不能错 . 组合方式的不同决定于奖金的多少 , 最基本的分类是排列和组合两种 , 排列要求所预
18、测的号码必须与开奖的号码在顺序上一致 , 组合则无论顺序如何 . 所以排列的预测难度更大 , 中奖机会更小 , 不过奖金也更高 . 本文将对数字型 彩票 和乐透型 彩票 进行展开讨论 . 选取七星彩、 北京市 33 选 7 和 泛珠36 选 6+1 三种典 型的彩票 , 基于大量的统计分析 , 研究其多项量化方案的数据 . 查阅有关彩票、概率论、统计学等方面的书籍、论文 , 对收集的数据进行数理统计 , 将搜集到的大量资料进行综合分析研究后 , 结合实际进行归纳整理 , 最后提出自己的观点 . 4 2 概率与彩票 2.1 概率论中的基本定义及性质 定义 2.11 设 E 是随机试验 , S 是
19、它的样本空间 . 对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数 , 记为 ()PA, 称为事件 A 的 概率 . 如果集合函数 p 满足下列条件 : 1. 非负性 : 对于每一个事件 A , 有 ( ) 0PA ; 2. 规范性 : 对于必然 事件 S , 有 ( ) 1PS ; 3. 可列 可加性 : 设 1A , 2A , . 是两两互不相容的事件 , 即对于 ijAA , ij , i , j = 1, 2, . , 有 1 2 1 2( ) ( ) ( )P A A P A P A . 性质 2.11 若 1A , 2A , . , nA 是两两互不相容的事件 , 则有 1 2 1 2nnP
20、 A A A P A P A P A . 该式称为概率的 有限可加性 . 性质 2.21 逆事件的概率 : 对于任一事件 A , 有 1P A P A . 定义 2.21 具有以下两个特点的试验称为 等可能概型 , 也称 古典概型 . 1. 试验的样本空间只包含有限个元素 ; 2. 试验中每个基本事件发生的的可能性相同 . 若事件 A 包含 k 个基本事件 , 即 12 ki i iA e e e , 这里 1i , 2i , . , ki 是 1, 2, . , n 中某 k 个不同的数 . 等可能概型中事件 A 的概率计算公式 : 1 jk ij kAP A P e nS 包 含 的 基
21、本 事 件 数中 基 本 事 件 的 总 数. 定义 2.31 设 ,AB是两个事件 , 且 ( ) 0PA , 称 5 ()( | ) ()P ABP B A PA 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的 条件概率 . 2.2 各等级彩票的中奖概率 一、 数字型 如 七星彩 , 是典型的数字型 彩票 : 每注由 7 个数字 组成 一个七位数 , 该 7 位数 的范围在00000009999999. 开奖时 , 在 7 组 09 号球中依次分别摇出一个号码 , 由 得 出的 7 位数号码构成 开 奖号码 (即中奖号码 , 下同 ). 购票者 从 09 十个 数字 中任选 7 个 数字 (可
22、重复 ) 构成一注 , 中奖等级根据单注 投注号码 (即购买彩票时所选的数字 , 下同 ) 与 开 奖号码相符的个数多少及顺序确定 . 特等奖 : 7 位 投注 号码与 开 奖号码排列相同 ; 一等奖 : 投注 号码中连续 6位数号码与 开 奖号码相同位置的连续 6 位数相同 ; 二等奖 : 投注 号码中连续 5 位数号码与 开奖号码相同位置的连续 5 位数相同 ; 三等奖 : 投注 号码中连续 4 位数号码与 开 奖号码相同位置的连续 4 位数相同 ; 四等奖 : 投注 号码中连续 3 位数号码与 开 奖号码相同位置的连续 3 位数相同 ; 五等奖 : 投注 号码中连续 2 位数号码与 开
23、奖号码相同位置的连续 2 位数相同 . 举例来说 , 同 下 表所示 (代表选对的位置 , 代表选错的位置 , 代表选对或选错 的 位置 ): 表 2.1 七星彩 中奖号码与中奖等级说明 中奖 等级 七星彩 (7/10) 中奖号码 说明 特等 奖 中 7 一等 奖 中 6 二等 奖 中 5 三等 奖 中 4 四等 奖 中 3 五等 奖 中 2 6 投注号码中 , 每位号码中奖的概率为 0.1 , 不中的概率为 0.9 . 连续 n 位号码都中奖的概率为 10n , 若这连续 n 位中奖数字仅在 (左边或右边 )一边有选错的数字 , 则概率为10 0.9n , 若左右两边都有选错的数字 , 则概
24、率为 210 0.9n . 如表 2.1所示 , 特等奖的中奖形 式有一种 , 一等奖的中奖形式有两种 , 二等奖的中奖形式有三种 , 三等奖的中奖形式有四种 , 四等奖的中奖形式有五种 , 五等奖的中奖形式有六种 . 计算数字型彩票 “七星彩 ” 每个等级的中奖概率同下 : 特等奖 7(0) 10P 一等奖 66(1 ) 1 0 0 .9 2 1 .8 1 0P 二等奖 5 5 2 5( 2 ) 1 0 0 . 9 2 1 0 0 . 9 2 . 6 1 1 0P 三等奖 4 4 2 4( 3 ) 1 0 0 . 9 2 1 0 0 . 9 2 3 . 4 2 1 0P 四等奖 3 3 2
25、3( 4 ) 1 0 0 . 9 2 1 0 0 . 9 3 4 . 2 3 1 0P 五 等奖 2 2 2 2( 5 ) 1 0 0 . 9 2 1 0 0 . 9 4 5 . 0 4 1 0P 二、 乐透型 乐透型 彩票 有多种不同的形式 , 其中 “x 选 t ” 和 “x 选 1t ” 是两个常见的 形式 . 比如 “北京市 33 选 7” 彩票是典型的 “x 选 t ” 型 , 从 0133 个号码球中依次摇出 7 个号码构成中奖号码 . 购票者从 0133 共 33 个号码中选取 7 个号码进行的投注 (不可重复 ), 一注 由 7 个 数字 的组合 而成 , 根据单注号码与中奖号
26、码相符的个数多少确定相应的中奖等级 , 不考虑号码顺序 . 投注号码与开奖号码全部相同 , 中特等奖 ; 投注号码与开奖号码任意 6 个相同 , 中 一 等奖 ; 投注号码与开奖号码任意 5个相同 , 中 二 等奖 ; 投注号码与开奖号码任意 4个相同 , 中 三 等奖 ; 投注号码与开奖号码任意 3 个相同 , 中 四 等奖 . 再比如 “泛珠 36选 6+1” 彩票 就是 “s 选 1r ” 型 , 由 6 个基本号码和 1 个特别号码组成 . 先从 0136 个号码球中依次摇出 6个基本号码 , 特别号码 将 从 其余 30个号码球 里 摇出 . 购票者从 0136这些数字 中任意 选 出 7 个 , 组成一注 号码 (不可重复 ), 由一 注号码 跟 中奖号码相 同 的个数 有 多少 来 确定中奖等级 , 号码顺序不 作 考虑 . 若 6 个基本号码 且 1 个特别号码 都 选 对便为 特等奖 ; 6 个基本号
