1、 本科毕业论文 （ 20 届） 广义积分的近似计算 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 II 摘要 随着科学的日益发展 , 在工程计算中会经常遇到广义积分的数值计算问题 . 对于这类数值计算问题 , 并没有像定积分那样有许多成熟的计算方法 . 本文 主要研究广义积分近似值计算的几种有效方法 , 首先介绍了广义积分的定义以及几种常用的定积分数值计算方法 , 然后延伸拓展这些方法来解决广义积分的数值近似计算问题 . 最后分别用泰勒展开式法 , 复化的中点公式以及复化的 Gauss 求积公式对同一数值算例进行近似计算 , 证明各方法的有效性以及比较各
2、个方法的精确度 . 关键 词 : 广义积分 ; 数值计算 ; 复化求积公式 . III Abstract With the increasing development of science in engineering calculations frequently encountered in numerical integration of the generalized problem. To this type of numerical problem, it hasnt many sophisticated calculation methods as the definite i
3、ntegral. In this thesis, several effective numerical methods for generalized integration are presented. Definition of generalized integral, and some common numerical method for definite integral are given, and then the methods are extended to solve generalized integral. Numerical examples show that
4、the methods are very effective. Keywords: Generalized integration; Numerical calculation; Complex technology IV 目录 摘要 . I Abstract . II 1 前言 . 1 2 广义积分 近似计算方法 . 2 2.1 广义积分 的定义 . 2 2.2 常用的数值求积公式 . 3 2.3 复化 的 数值求积公式 . 6 3 广义积分的 几种 数值计算方法 . 8 3.1 Taylor 多项式法 . 8 3.2 复化的中点公式 . 9 3.3 复化 Gauss-Legendre 求积
5、法 . 10 4 几种 数值方法的比较 . 12 5 小结 . 15 参考文献 . 16 致谢 . 17 1 1 前言 求定积分是数学科学的中心课题之一 , 主要途径有两条 : 微积分学基本定理和数值积分 . 我们知道 , 若函数 xf 在 ,ab 上连续 , 且存在原函数 Fx, 则可用微积分基本定理(NewtonLeibniz 公式 )来求解定积分的值 . Newton-Leibniz 公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大的作用 , 但它并不能完全解决定积分的计算问题 , 因为科学涉及的实际问题极为广泛 , 而且极其复杂 . 在实际计算中经常会遇到以下三种情况 : (1) 大量被
6、积函数并不一定能找到用初等函数的有限形式表示的原函数 ; (2) 被积函数的原函数能用初等函数表示 , 但积分后其表达式却极为复杂 ; (3)被积函数 没有具体的解析表达式 , 其函数关系常用测量数据表示 . 对于这些情况 , 计算积分的准确值都是十分困难的 . 由此 , 通过微积分基本定理计算积分有它的局限性 , 我们需要用数值积分的解法来建立积分的计算问题 . 随着科学的日益发展 , 利用定积分可以解决很多实际问题 . 但是在近代物理等领域中常常会遇到广义积分 (积分区间无限或被积函数在积分区间端点有奇点的积分 )的数值计算问题 . 对于这类数值计算问题并没有像正常定积分那样有许多成熟的计
7、算方法 . 许多数学工作者 提出了广义积分计算新方法 , 通过数值算例表明这些方法是有效的 , 可以看作是对传统的广义积分计算方法的一种推广 , 将在工程与科学计算方面有着重要地应用 . 1988年 , 蒋和理在无穷区间广义积分优化复化 Simpson与梯形数值算法中给出了无穷广义积分的优化复化 Simpson与梯形数值积分算法 . 该法免去了大量函数值的重复计算 , 加速了积分收敛 , 外推法有效提高了精度要求 . 2002年 , 陶诏灵在一类广义积分的算法及实现中给出了 B 样条方法来求解 Laplace积分 , 运用重节点 B 样条进行拟合 , 再引入差商 , 给出一系列积分近似值的解析
8、公式 . 2008年 , 郭德龙 等在 基于进化策略的广义积分计算方法研究中 根据被积函数的变量区间任意选取分割点 , 通过进化策略算法优化这些分割点 , 然后求和 , 在给定的终止条件下 , 可获的精度较高的积分值 . 本文主要是研究 广义积分近似值的几种有效算法 , 并举出具体的实例进行数值计算 , 证明这些方法的有效性 , 高效性以及积分对精度的高要求 . 全文共分五章 : 第一章前言介绍广义积分的研究背景及本文的主要工作 . 第二章阐述了广义积分的定义及常用的数值计算方法 . 第三章阐述求解广义积分近似值的有效方法 . 第四章对 同一数值算例进行近似计算 , 证明各方法的有效性以及比较
9、各个方法的精确度 . 2 2 广义积分近似计算方法 2.1 广 义积分定义 定义 2.111 若函数 xf 在 ,ab 上 Riemann 可积 , 并且极限 lim bab f x dx 存在且等于有限值 . 则称该极限为函数 xf 定义在 ,a 上的 无穷积分 . 记作 lim baabf x d x f x d x . 这时也称广义积分 dxxfa )(收敛 . 如果上述极限不存在 函数 xf 在无穷区间 ,a 上的广义积分 dxxfa )(就没有意义 此时称广义积分发散 类似地 设函数 xf 在区间 ( , b 上连续 如果极限 dxxfbaa )(lim 存在 则称此极限为函数 xf
10、 在无穷区间 ( b 上的广义积分 即 dxxfdxxf baab )(lim)( 这时称广义积分 dxxfb )(收敛 如果上述极限不存在 则称广义积分 dxxfb )(发散 设函数 xf 在区间 ( , ) 上连续 如果广义积分 dxxf )(0 和 dxxf )(0 都收敛 则称上述两个广义积分的和为函数 xf 在无穷区间 ( , ) 上的广义积分 即 0000( ) ( ) ( )l i m ( ) l i m ( )baabf x d x f x d x f x d xf x d x f x d x 这时称广义积分收敛 如果上式右端有一个广义积分发散 则称广义积分 dxxf )(发散
11、 定义 2.2 11 设函数 xf 在区间 ,ab 上连续 , 而在 xa 点的右邻域内无界 , 对 0 ba , 若 3 0lim ba f x dx 存在 (有限值 ), 称 xf 在 ba, 上广义可积 . 记 0limbbaaf x d x f x d x 为 xf 在 ba, 上的 瑕积分 , a 是它的瑕点 . 如果上述极限不存在 就称广义积分发散 类似地 设函数 xf 在区间 ba, 上连续 在点 b 的左邻域内无界 取 0 若极限 0lim ( )ba f x dx 存在 则称此极限为函数 xf 在 ba, 上的广义积分 即 0( ) lim ( )bbaaf x d x f
12、x d x 这 时也称广义积分 dxxfba )(收敛 如果上述极限不存在 就称广义积分 dxxfba )(发散 设函数 xf 在 ba, 上除点 c a c b 外连续 而在点 c 的邻域内无界 如果 dxxfca )( 与 dxxfbc )( 两个广义积分都收敛 则 dxxfdxxfdxxf bccaba )()()( 否则 就称广义积分 dxxfba )(发散 本文主要是针对瑕点在端点的这类广义积分进行数值近似求解 , 无穷广义积分的近似值可以通过线性变换转换为端点为瑕点的瑕积分来进行类似的逼近 . 2.2 常用的数值求积公式 在积分区间 ,ab 上取有限个点 01 na x x x b
13、 作 fx的 n 次插值多项式 0nn k kkL x A f x 其中求积系数 bkkaA l x dx, 这里 klx是插值积函数 , 即 0nb b b ikk a a a ik k k iikx xxA l x d x d x d xx x x x x . 用 nLx来近似代替被积函数 xf , 即有 插值求积公式 : 4 10 01 1! nnbb nk k iaak if x d x A f x f x x d xn . （ 2.1） 将积分区间 ,ab 分成 n 等份 , 每一个子区间的长度为 /h b a n , 从而得到 1n个等距节点 0 , 1 , ,kx a k h k
14、 n , 令 x a th 进行变换 , 有 , 0 , 1 , ,b nk k kaA l x d x b a C k n , 其中 0 01!nk nnnkiikC t i d tk n k n . 由此构造出的插值求积公式 0n nn k kkI b a C f x 称为 牛顿 -柯特斯公式 , 式中 nkC 称为柯特斯系数 . 柯特斯系数 nkC 只与 k 和 n 有关 , 与被积函数 xf 和积分区间 ,ab 都无关 . 下面给出一阶至五阶的柯特斯系数表 . 柯特斯系数表 n nkC 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 3
15、2/90 12/90 32/90 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288 下面根据柯特斯系数表给出几个常用的牛顿 -柯特斯求积公式 . 当 1n 时 , 每一个子区间的长度为 h b a , 得到两个等距节点分别是区间的两个端点 a 与 b . 此时 , 牛顿 -柯特斯公式就是 梯形公式 , 即 3 , ,2 1 2ba babaf x d x f a f b f a b . 当 2n 时 , 每一个子区间的长度为 ( ) / 2h b a , 得到 3 个等距节点分别是区间的左5 端点 a 、中点 /2c a b 与右端点 b . 此时
16、, 牛顿 -柯特斯公式就是 辛普森公式 . 即 5 44 , ,6 2 8 8 0ba babaf x d x f a f c f b f a b . 当 4n 时 , 每一个子区间的长度为 /4h b a , 此时得到 5 个等距节点分别是 , 0 ,1, 2 , 3 , 4kx a k h k , 四阶牛顿 -柯特斯公式 : 0 1 2 3 4767 32 12 32 7908 , ,945babaf x dx f x f x f x f x f xh f a b 前面介绍的牛顿 -柯特斯公式 , 为了简化计算 ,对插值公式中的节点限定为等分的节点 , 这种方法虽然简便但求积公式的精度受到
17、限制 . 高斯求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式 , 而且收敛性和稳定性都有保证 . 定义 2.38 定义在区间 ,ab 上的函数 x 如果满足以下条件 : 1. 在区间 ,ab 上 , 0x ; 2. 0ba x dx ; 3. 存在积分 , 1, 2 , .b na x x d x n 则称函数 x 为 ,ab 上的权函数 . 在这里先考虑权函数 1x 和积分区间 1,1 上的 Gauss-Legendre求积问题 . 定义 2.48 如果插值求积公式 11 1n kkkf x d x A f x , 其中 11 0n ik i kiikxxA dxxx . 具有 21n 次代数精度
18、 , 则称其为 n 点 高斯求积公式 , 称其节点 12, , , nx x x 为高斯点 . 当 2n 时 , 有 两点高斯公式 : 6 1 1 1133f x dx f f , 其高斯点为 121 / 3 , 1 / 3xx , 它具有 3 次代数精度 . 当 3n 时 , 有 三点高斯公式 : 1 1 5 3 8 5 309 5 9 9 5f x d x f f f , 其高斯点为 1 2 33 / 5 , 0 , 3 / 5x x x , 它具有 5 次代数精度 . 前面介绍了 1,1 上的高斯求积公式 , 怎么样用此公式求 ba f x dx呢 ? 作变换 22b a a bxt 将
19、积分区间 ,ab 转换为 1,1 上的积分 1 12 2 2ba b a b a a bf x d x f t d t , 然后再用 1,1 上的高斯求积公式计算 . 2.3 复化的数值 求积公式 梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式在区间 ,ab 不太大时 , 用来计算定积分是简单实用的 , 但由于 8n 时的牛顿 -柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数 . 根据误差理论的分析研究 , 积分公式出现负系数时 , 可能导致舍入误差增大 , 因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度 , 实用的提高求积公式精度的方法是复化求积法 . 将积分区 间 ,ab 分成 n 等份 , 每一个子区间的长度为 /h b a n , 得到 1n 个结点为 0 ,1,kx a k h k n . 从而得到 n 个小区间 1, , 0 ,1, , 1kkx x k n . 在每个小区间上分别用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式先求出每 个子区间上的积分近似值 , 然后将其结果累加起来作为区间 ,ab 上积分的近似值 , 即可得到相应的复化求积公式 . 复化梯形公式 1 212 , ,2 1 2nb ka k bahf x d x f a f x f b h f a b . 复化辛普森公式
