1、 本科毕业论文 （ 20 届） 集合代数与粗糙集之间的关系研究 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 粗糙集理论是波兰 数学家 Pawlak 于 1982 年提出的用于数 据分析的理论 , 该理论是经典集合论的又一种推广形式 . 由于该理论能够处理模糊和不确定性信息 , 因此 , 经过 20多年的发展 , 粗糙集 作为一种有效的 知识获取工具受到了人工智能研究者的关注 ,并在专家系统、机器学习、模式识别、决策分析、过程控制和数据库知识发现等获得了成功应用 . 本文主要研究粗糙集近似与集合代数中可测结构之间的联系 . 首先 , 介绍经典
2、粗糙集、广义粗糙集、粗糙模糊集和模糊粗糙集的概念 . 其次 , 回顾经典和模糊环境下的代数、 sigma 代数、可测空间的定义 . 最后 , 研究了经典和模糊环境下的粗糙集代数和可 测空间中的代数结构之间的联系 . 证明了由粗糙近似空间导出的可定义集全体是一个 sigma 代数 . 反之 , 在一定条件下 , 一个 sigma 代数可以表示为由某个近似空间导出的可定义集全体 . 关键词 : 粗糙集 ; 粗糙集代数 ; 二元关系 ; 模糊粗糙集 ; 近似算子 II Abstract The theory of rough sets, proposed by Pawlak in 1982, is
3、an extension of classical set theory for the study of intelligent systems characterized by insufficient and incomplete information. With more than twenty years development, rough set theory has been found to have very successful applications in the fields of artificial intelligence such as expert sy
4、stems, machine learning, pattern recognition, decision analysis, process control, and knowledge discovery in databases. In this thesis, we mainly study the relationship between rough set approximations and measurability structures. The concepts of classical rough sets, generalized rough sets, rough
5、fuzzy sets and fuzzy rough sets are first introduced. Definitions of algebras, sigma algebras, measurability spaces in the crisp as well as fuzzy environments are then reviewed. Finally, relationships between rough set algebras and algebraic structures of measurability spaces in both of the crisp an
6、d fuzzy environments are investigated. It is proved that the family of all definable sets derived from an approximation space forms a sigma algebra. And conversely, under some conditions, a sigma algebra may be represented as the family of all definable sets derived from some approximation space. Ke
7、ywords: Rough sets; Rough set algebra; Binary relationship; Fuzzy rough sets; Approximation operator III 目 录 摘要 .I Abstract . II 1 前言 . 1 2 模糊集与二元关系 . 3 2.1 模糊集的基本概念 . 3 2.2 模糊二元关系 . 3 3 粗糙集的近似和可测集合 . 7 3.1 可测集合的基本概念 . 7 3.2 粗糙集近似的基本概念 . 8 3.3 从近似算子到可测集合 . 10 3.4 从可测集合到近似算子 . 12 4 小结 . 16 参考文献 . 17
8、致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 粗糙集理论 1-3是波兰数学家 Pawlak于 1982年提出的用于数据分析的理论 . 由于该理论能够处理模糊和不确定性信息 , 可以看成集合论的又一推广形式 4-9, 因此作为一种有效的知识获取工具受到了人工智能研究者的关注 . 目前粗糙集理论已被成功应用在机器学习与知识发现、过程控制、数据挖掘、决策分析、模式识别等领域 , 成为信息科学的研究热点之一 . 1965 年 , 美国加利福尼亚大学控制论专家扎德 (L. A. Zadeh) 10教授在 信息与控制杂志上发表了 一篇开创性论文 , 这标志着模糊数学的诞生 . L.A.Zadeh 教授多年来
9、致力于 “计算机 ”与 “大系统 ”的矛盾研究 , 集中思考了计算机为什么不能象人脑那样进行灵活的思维与判断问题 . 计算机为什么不能象人脑思维那样处理模糊信息呢 ? 其原因在于传统的数学 . 例如精确数学 , 是建立在经典集合论的基础之上 , 一个研究的对象对于某个给定的经典集合的关系要么是属于 , 要么是不属于 , 二者必居其一 . 19 世纪 , 由于英国数学家布尔等人的研究 , 这种基于二值逻辑的绝对思维方法抽象后成为布尔代数 , 它的出现促使数理逻辑成为一门很有适用价值的学科 , 同时也成为计算机科学的基础 . 但是 , 1923 年 , 大哲学家罗素 (Russell)就在其著名论
10、文 中提出 “整个语言或多或少是模糊的 ”及 “所有二值逻辑都习惯上假定使用精确符号 因此它仅适用于虚幻的存在 . 而不适用于现实生活 逻辑比其他学科使我们更接近天堂 ”时认识到二值逻辑的不足 . 二值逻辑无法解决一些逻辑悖论 , 如著名的罗素 (Russell)“理发师悖论 ”、 “秃头悖论 ”、 “克利特岛人说谎悖论 ”等等悖论问题 . 这就是目前计算机不能象人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信息的 重要原因 . 为克服这一障碍 , L.A.Zadeh 教授提出了 “模糊集合论 ”. 在此基础上 , 现在已形成一个模糊数学体系 11, 12. 关系是一个基本概念 . 在日常生活中有 “朋友关
11、系 ”、 “师生关系 ”等 , 在数学上有 “大于关系 ”、 “等于关系 ”等 , 而序对又可以表达两个对象之间的关系 . 普通关系是序偶的经典集合 , 模糊关系则是序偶的模糊集合 . 所以关系是集合论中的一个重要概念 , 同时在模糊集合论中 , 模糊关系也是很重要的一部分 . 模糊关系是模糊理论中最重要的内容之一 , 其应用范围十分广泛 , 几乎遍及模糊数学的所 有应用领域 . 事实上 , 模糊关系 , 作为集论中普通关系概念的推广 , 不仅描述客观事物之间有无关系 , 而且描述其程度 . 诸如 “x 比 y 大得多 ”, “x 熟悉 y ”, “x 与 y 相似 ”等用模糊语言表达的关系
12、, 都 是模糊关系 11, 12. 2 在 Pawlak粗糙集模型中 , 所有可定义集全体构成了一个 sigma-代数 . 本文主要研究粗糙集与可测集之间的关系 . 首先 , 讨论一般经典关系下的粗糙近似空间中可定义集与测度论中的可测集之间的关系 , 其次讨论模糊近似空间下模糊可定义集与模糊可测集的关系 . 最后 , 研究了在什么条件下一个代数或模糊代数是某个粗糙近似空间下可定义集全体 . 3 2 模糊集与二元关系 2.1 模糊集的基本概念 设 U 是一个有限集合 , : 0,1uU , 称 u 是 U 上的隶属度函数 , 所有 U 的 子集 、模糊子集 将 分别记为 ()PU 和 ()FU
13、. ()u PU , 有唯一 U 上的模糊集 ()A FU 与之对应 . 记 u 为 Au , 称 Au 为 A 的隶属度函数 ; xU , 称 Au 为 x 对 A 的隶属度 . 因为 0,1 0,1 , 而经典集 A 的特征函数 : 0,1AXU , 所以 AX 也是隶属度函数 , 从而经典集 A 也可视为模糊集 . 也就是说 , 经典集 A 与特征函数 AX 分别 是模糊集与隶属度函数的特例 ; 而模糊集 A 与隶属度函数 Au 分别是经典集和特征函数的推广 . 2.2 模糊二元关系 令 U 是 一个 有限 集合 . 在下文中 , 1y 表示 特征函数 , 即 在 y 处的 值为 1和
14、在 别处 的值为0; 1M 表示集合 ()M PU 的特征函数 . 对 0,1 , 表示一个常量模糊集 : 对所有的xU 都有 ()x . ()A FU , A 的 - 水平 集 合 记 为 A , 即 : ( )A x U A x , 0,1 ; A 的补集记为 A , 即 对所有的xU , ( )( ) 1 ( )A x A x . 定义 2.1 令 U 是 一个 非空 集 合 . 模糊子集 ()R F U U是 U 一个二元关系 , ( , )Rxy表示 x 和 y 之间的 关系 R 的 程度 , 其中 ( , )x y U U . 如果对每一 个 xU , ( , ) 1yUR x y
15、, 那么模糊关系 R 称为一个串行 . 如果对所有的 xU , ( , ) 1Rx x , 那么R 是一个自反模糊关系 ; 如果对所有的 ,xy U , 都有 ( , ) ( , )R x y R y x , 那么 R 称为一个对称模糊二元关系 ; 如果对所有的 ,xz U , 都有 ( , ) ( , ) ( , )yUR x z R x y R y z , 那么 R 称为一个传递模糊二元关系 . 定义 2.2 令 U 是 一个 非空 集合 . 如果 R 是 U 上的任意经典关系 , 那么我们把 ( , )UR称为一个广义经典近似集合 . ()A PU , ( , )UR 的上、下近似分别记
16、为 ()RA和 ()RA, 4 并且分别定义如下 : :,sR A x U R x A :,sR A x U R x A 其中 :,sR x y U x y R , xU . ()sRx是元素 x 的后继邻域 , ( ( ), ( )R A R A 称 为 广 义 经 典 粗 糙 集 , 并且 R , : ( ) ( )R P U P U 分别被称为上广义经典近似算子、下广义经典近似算子 . 定义 2.3 令 U 是一个有限集合并且 R 是 U 上的模糊二元关系， ( , )UR 称为模糊近似空间 , 对于一个模糊集合 ()A FU , A 关于 ( , )UR 的上、下模糊粗糙近似 ( )
17、( )R A R A和 , 分别是 U 的模糊子集 , 其隶属函数定义如下 : ( ) ( ) ( ( , ) ( ) )yUR A x R x y A y , xU , ( ) ( ) (1 ( , ) ( ) )yUR A x R x y A y , xU . 算子 , : ( ) ( )R R F U F U 分别称为 ( , )UR 的上下近似算子 , 并且 ( ( ), ( )R A R A 称为( , )UR 的一个模糊粗糙集合 . 注 2.1 如果在定义 2.3 中 R 是 U 上的经典二元关系 , 那么 ()( ) ( ) ( ( , ) ( ) ) ( )sy U y R x
18、R A x R x y A y A y , xU , ()( ) ( ) ( 1 ( , ) ( ) ) ( )sy U y R xR A x R x y A y A y , xU . 更为特别的是 , 如果 R 是 U 上的一个等价经典关系 , 那么 ( ) ( ) ( ( , ) ( ) ) ( )Ry U y xR A x R x y A y A y , xU , ( ) ( ) ( 1 ( , ) ( ) ) ( )Ry U y xR A x R x y A y A y , xU . 5 其中 Rx 是包含 x 的 R 等价类 . 定理 2.1 设 ( , )UR 是一个模糊近似空间
19、, 那么在定义 2.3 中的上、下模糊粗糙近似算子满足以 下性质 : 对于所 有的 , ( )A B F U , ( )( )jA F U j J , J 是指标集 , ( , )x y U U, ()M PU , 0,1 , (FL1) ( ) ( )R A R A , (FU1) ( ) ( )R A R A ; (FL2) ( ) ( )R A a R A a , (FU2) ( ) ( )R A a R A a ; (FL3) ( ) ( )jj J j JR R A, (FU3) ( ) ( )jj J j JR R A; (FL4) ( ) ( )A B R A R B , (FU
20、4) ( ) ( )A B R A R B ; (FL5) ( ) ( )jjj J j JR A R A, (FU5) ( ) ( )jjj J j JR A R A; (FL6) ( ) ,RW U (FU6) ( ) ;R (FL7) (1 )( ) 1 ( , )UyR x R x y , (FU7) (1 )( ) ( , )yR x R x y ; (FL8) ()R , (FU8) ()R ; (FL9) (1 ) ( ) (1 ( , ) )M yMR x R x y , (FU9) (1 )( ) ( , )M yMR x R x y. 6 证明 由定义直接可得 . 定理 2
21、.29 如果 R 是 U 上的任意模糊关系 , 且 R 和 R 是在定义 2.3 中定义过的模糊粗糙近似算子 , 那么 R 串行 (FL0) ( ) , 0,1R , (FU0) ( ) , 0 ,1R , (FL0) ()R , (F 0) ()RU U . 定理 2.39 设 ( , )UR 是一个模糊近似空间 , 且 RR和 是 ( , )UR 的上、下模糊粗糙近似算子 , 那么 , （ 1） R 自反 (FLR) ( ) , ( )R A A A F U , (FUR) ( ), ( )A R A A F U . （ 2） R 对称 (FLS) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) , ( , )U y U XR x R y x y U U , (FUS) (1 ) ( ) (1 ) ( ) , ( , )yxR x R y x y U U . （ 3） R 传递 (FLT) ( ) ( ( ) ) , ( )R A R R A A F U , (FUT) ( ( ) ) ( ) , ( )R R A R A A F U .
