1、 本科毕业论文 （ 20 届） 渐近非扩张映像与渐近拟非扩张映像的迭代逼近问题 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析理论和应用的一个重要组成部分 , 它在微分方 程 , 积分方 程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会 和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 尤其是有关非线性算子不动点解的迭代逼近的研究是近年来非线性分析理论的非常活跃的研究热点问题 . 本文 主要通过构造 渐近非扩张映像的 Mann 型 迭代序列和 Ishikawa型 迭代序
2、列 , 以及渐近拟非扩张映像的具误差的修正的 Mann型 迭代序列和具误差的修正的 Ishikawa型 迭代序列 来研究 渐近非扩张映像 以及渐近 拟 非扩张映像的不动点的迭代逼近问题 . 全文 共 分 四 章 , 第一章前言 介绍了非 线性算子不动点 的研究概况及本文的主 要工作 . 第 二 章 研究了修正的 Mann 型 迭代序列和修正的 Ishikawa 型 迭代序列 逼近 渐近非扩张映像 的不动点问题 . 第三章 研究了 具误差的 修正的 Mann型迭代序列和 具误差的 修正的 Ishikawa型迭代序列逼近渐近拟非扩张映像的不动点问题 . 第四章总结了本文的主要工作 . 关键词 :
3、渐近非扩张映像 ; 渐近 拟 非扩张映像 ; Mann 型迭代序列 ; Ishikawa 型迭代序列 II Abstract Nonlinear operator equations are belong to the areas of the nonlinear functional analysis, and have wide applications in the fields of the differential equations, integral equations, mechanics, control theory, game theory, economic equil
4、ibrium theory, transportation, social, economic models and many other aspects. Especially, the study iterative approximation of fixed points for nonlinear operators is a very active question in nonlinear functional analysis. In this thesis, the iterative approximation of fixed points for the asympto
5、tically nonexpansive mappings and the asymptotically quasi-nonexpansive mappings are considered by giving the Mann iterative processes and the Ishikawa iterative processes. This thesis includes four chapters. In chapter 1, the history of fixed points of nonlinear operator and iterative algorithms ar
6、e recalled, a summary of this work are given. In chapter 2, the iterative approximation of fixed points for the asymptotically nonexpansive mappings are discussed by giving the modified Mann iterative processes and the modified Ishikawa iterative processes. In chapter 3, the iterative approximation
7、of fixed points for the asymptotically quasi-nonexpansive mappings are considered by giving the modified Mann iterative processes and the modified Ishikawa iterative processes with errors. In chapter 4, a summary of this thesis are given. Keywords: Mann iterative processes; Ishikawa iterative proces
8、ses; Asymptotically nonexpansive mappings; Asymptotically quasi-nonexpansive mappings III 目录 摘要 . I Abstract . II 1 前言 . 1 2 渐近非扩张映像的修正的 Mann 型和修正的 Ishikawa 型迭代逼近问题 . 3 2.1 预备知识 . 3 2.2 渐近非扩张映像不动点的修正的 Mann 型迭代逼近 . 4 2.3 渐近非扩张映像不动点的修正的 Ishikawa 型迭代逼近 . 8 3 渐近拟非扩张映像的具误差的修正的 Mann 型和具误差的修正的 Ishikawa 型迭代
9、逼近问题 . 15 3.1 预备知识 . 15 3.2 渐近拟非扩张映像不动点的具误差的修正 的 Mann 型迭代逼近 . 16 3.3 渐近拟非扩张映像不动点的具误差的修正的 Ishikawa 型迭代逼近 . 19 4 小结 . 24 参考文献 . 25 致谢 . 错误 !未定义书签。 1 1 前言 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析理论和应用的一个重要组成部分 , 它们的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分 , 而且在微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 因此 ,
10、研究非线性算子方程解的存在 性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义 , 而且也具有重要的应用价值 . 非线性算子的不动点理论在建立各类方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用 . 1895-1900 年间 , 法国数学家 H. Poincare 在代数拓扑学中使用了不动点概念 . 1910 年 , L.E.J.Brouwer 1 证明了有限维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点 . 1922 年 , G. D. Birkhoff. Kellogg 作出了一些改进和应用 , 而波兰数学 家 Banach2 更一般地处理了这个问题 , 并提出了著名的 Banach 压缩映像原理 . 自从那时 ,
11、 由于 Banach 不动点定理的简洁性和实用性 , 使得 Banach 不动点在解决数学的很多分支存在性问题上变成了非常有用的工具 . 同时 , 自 Brouwer不动点定理和 Banach压缩映像原理问世以来 , 特别是最近二三十年来 , 由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力 , 这门学科的理论及应用研究已取得重要的进展 , 并且日趋完善 . 而非线性 算子的类型很多 , 其中渐近非扩张映像 3 与渐近拟非扩张映像 4 是两类非常重要的非线性映像 , 是压缩映像的推广 , 它们在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用 . 1955 年 , Krasnoselseii5 证明了如下的关
12、于非扩张映像的收敛定理 . 定理 KR 设 X 是一致凸 Banach空间 , C 是 X 的有界闭凸子集 , 若 :T C C 是非扩张映像 , ()TC是紧集 , 且 0x 是 C 中任意给定的点 , 则有下列定义的映像12 :T C C, 12 1122T x x Tx, 序列 nx 是由下列定义的 , 1 11 , ( 0 )22n n nx x T x n 则序列 nx 强收敛于 T 的不动点 . 1957 年 , Scheafer 6 在定理 KR 的条件下 , 证明了如下定义的序列 2 1 (1 ) ( 0 , 1 ) , ( 0 ) .n n nx x T x n nx 强收敛
13、于 T 的不动点 . 1972 年 , Goebel7 和 Kirk 8 首先引入了渐近非扩张映像的定义 , 同时给出了下面的定理 :令 X 是一致凸 Banach空间 , 且 C 是 X 的有界闭凸子集 . 则每个渐近非扩张映像 :T C C有不动点 . 非线性映像的不动点的寻求是学者们一直所关心的问题 , 而对于一些具体的非线性算子方程不动点的求解是十分困难的 . 因此 , 数学家们通过构造迭代序列去逼近不动点来求解这些方程的不动点问题 , 其中 Picard 给出了最早的迭代格式 , 其具体格式为 : 01, , 0.nnxCx Tx n 但是 Banach 压缩原理证明中所用的 Pic
14、ard 迭代方法对于非扩张映像却未必是收敛的 , 之后 Mann9 受到 Banach10 压缩映像原理的启发 , 在 1953 年提出了如下的迭代序列 : 01,(1 ) , 0.n n n n nxCx t x t T x n 称之为正规 Mann 迭代序列 . 1976 年 , Ishikawa11 推广了 Mann 迭代格式 , 得到了如下的 Ishikawa 迭代序列 : 01,(1 ) , 0 .(1 ) , 0 .n n n n nn n n n nxCx t x t T y ny s x s T x n 相比于 Mann 迭代序列 , Ishikawa迭代序列更为一般化且包含了
15、 Mann 迭代序列 . 在一般情况下 , 无论是 Mann 迭代序列还是 Ishikawa 迭代序列对渐近非扩张映像只有弱收敛 . 但是若在对算子 T 外加完全连续或对集合 C 加紧性等限制条件时 , Mann 迭代序列或 Ishikawa 迭代序列对渐近非扩张映像可获得强收敛定理 . 因此 , 近年来很多专家学者致力于修正的 Mann 迭代序列和修正的 Ishikawa迭代序列 , 从而在没有对算子外加其他限制的条件下 , 对于渐近非扩张映像以及渐近拟非扩张映像可获得强收敛定理 (详见文献 12-17). 本文将通过 构造渐近非扩张映像的修正 Mann 型 迭代序列和修正 Ishikawa
16、 型 迭代序列 , 以及渐近拟非扩张映像的具误差的修正的 Mann型 迭代序列和具误差的修正的 Ishikawa型 迭代序列 来研 究渐近非扩张映像与渐近拟非扩张映像的不动点的迭代逼近问题 . 3 2 渐近非扩张映像的修正的 Mann 型和修正的 Ishikawa 型迭代逼近问题 2.1 预备知识 渐近非扩张映像是一类非常广泛的非线性映像 , 同时又是非扩张映像的推广 . 目前 , 已有许多学者在各种条件下对渐近非扩张映像研究了修正的 Mann 迭代序列及修正的 Ishikawa迭代序列强收敛的不动点问题 . 本章内容主要是通过构造渐近非扩张映像的 Mann 型迭代序列和 Ishikawa 型
17、迭代序列来研究渐近非扩张映像的不动点的迭代逼近问题 . 以下是本章定理证明中要用到的定义及引理 . 定义 2.19 Banach 空间 X 称为一致凸的 , 如果对任何 0,2 , 存在 0 , 使得当 1, 1,x y x y 时 , 有 12xy . 定义 2.29 设 C 是 Banach 空间 E 的非空闭凸子集 , 映像 :T C C 称为渐近非扩张映像 . 如果 ,n N x y C , 存在序列 1, 1nnkk()n , 使得 | | | |nn nT x T y k x y . 定义 2.310 设 E 是线性赋范空间中的非空子集 , N 是自然数集 . :T E E 称为一
18、致 L-Lipschitzian 映像 , 若有常数 0, ,L x y E 及 nN , 有 | | | |nnT x T y L x y . 定义 2.410 设 E 是 X 的一非空凸子集 , :T E E 是一映像 , n 是 0,1 中一个数列 . 序列 nx 称为修正的 Mann 迭代序列 , 如果 01,(1 ) .nn n n n nxEx x T x 定义 2.510 设 E 是 X 的一非空凸子集 , :T E E 是一映像 , n 与 n 是 0,1中两个数列 . 序列 nx 称为修正的 Ishikawa 迭代序列 , 如果 01,(1 ) , 0 ,(1 ) , 0 .
19、nn n n n nnn n n n nxEx x T y ny x T x n 引理 2.11 设 C 是非空凸集 , :T C C 是一致 L-Lipschitzian 映像 . 对 4 01,(1 ) , 0 ,(1 ) , 0 ,.nn n n n nnn n n n nnn n nxCx x T y ny x T x nC T x x 则 21| | | | ( 1 3 2 ) , .n n n nT x x C C L L L n N 2.2 渐近非扩张映像不动点的修正的 Mann型迭代逼近 定理 2.1 设 C 是 一致 凸 Banach 空间中非空闭凸子集 , 映像 :T C
20、C 是渐近非扩张映像 , ( ) , F T x E Tx x 非空 , 且1( 1)n nk . 设 nxC 由下面的迭代序列定义的修正 Mann 迭代 序列 01,(1 ) .nn n n n nxCx x T x 其中 n 满足 10 2n 则 lim | | 0nnk Tx x . 证明 先证明 nx 是有界集 , 事实上 ,p F T 有 1 111,nnn n n n nn n n n nn n n nx p x p T x T px p k x pk x p (2.1) 由 n 有界 , 得 1001111111n n n n nn n nnnnnnjjx p k x pk x
21、pM k x pxpxp 00e xp .njj xp(2.2) 5 则 nx 是有界序列 . 下面证明 lim 0.nnnn x T x 否则 , 必存在子列 kn 与 0 0 , 使 0 .kkknnnx T x (2.3) 对 p F T 有 1,kkk k k kk k kkknnn n n nn n nnnx T x x p T x px p k x pk x p (2.4) 因为 nk 有界 , 从而存在常数 1 0,M 使 11,knkM(2.5) 由式 (2.5)得 1 ,kk k knn n nx T x M x p (2.6) 再由式 (2.3)得 01 0.knxp M
22、(2.7) 因为 nk 收敛 , 且 nx 有界 , 从而存在常数 2 0,M 使 2 ,nnk x p M (2.8) 再由式 (2.3)与式 (2.8)得 020.kk kkkkk k k k k knn nnnnn n n n n nx T xx p T x pMk x p k x p k x p (2.9) 由 1nk 得到 1,kkknnnxpk x p 再由式 (2.7)得 6 1.k kkkn nnnT x pk x p 因为空间一致凸 , 从而存在 020M, 使 1112121 2 21 2 1 .kk k k k kkk k k k k kkkkk k k k kk k k
23、 kk k k k kk k k k knn n n n nnn n n n n nnnnn n n n nn n n nn n n n nn n n n nx p x T x px p x p T x px p T x px p k x pk x p k x px p k x pk k x p (2.10) 因为 nx 有界 , 且 0 1,n 必存在常数 3 0M , 使 32.nnx p M (2.11) 将式 (2.11)代入式 (2.10), 得到 13 1,k k k k k kn n n n n nx p x p M k k x p (2.12) 再由式 (2.7)得 0,knxp 又由于 1, 0 ,nnk 从而由式 (2.12), 得 1 3 01,k k kn n nx p x p M k (2.13) 111 + ,nn n n n nnn n n nx p x T x px p T x p 再由式 (2.8)得 1 1+1 1 ,n n n n n nn n nx p x p k x pk x p (2.14) 再由式 (2.10)得 1 1 1 1 .n n n n n nx p k k x p (2.15)
