1、 本科毕业论文 （ 20 届） 两点边值问题的有限元解法 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 人们通过对大量微分方程问题的研究中发现 , 只有少数问题能够用解析方法得到精确解 , 而多数问题是通过数值方法实现的 . 有限元方法 就是一种近代发展起来的有效的数值方法 , 它是处理各种复杂的工程问题的有效工具 , 也是进行科学计算的重要手段 . 本文具体具体介绍了两点边值问题的变分形式 , 并在 1次和 2次 Lagrange 型有限元空间中 , 利用泛函分析以及Sobolev 空间等有关知识 讨论了两点边值问题的有限元解法 , 文章的最
2、后还探讨了一个两点边值问题的具体算例 , 通过区间的等距剖分 , 我们求出了该问题的数值解 . 关键词 : 两点 边值问题 ; 单元 ; 有限元 II Abstract Through a large study of differential equations, People found only a few problems with analytical method can get the exact solution. While most of the questions is through numerical method, Finite element method is
3、a kind of modern development up effective numerical method. It deals with many kinds of complicated engineering problems is an effective tool, and also it is an important means of scientific calculations. This paper introduced the two-point boundary value problems and its Variation. In one and two-d
4、imensional Lagranges finite element space, we discussed the two-point boundary value problems with finite element solution through the use of functional analysis and related theories of sobolev space. In the end of this article we also discussed a specific example of two-point boundary value problem
5、, and we find out the numerical solution of the problem in uniform mesh scale. Keywords: Two-point boundary value problems; element; finite element III 目 录 摘要 . I Abstract . 错误 !未定义书签。 1 前言 . 错误 !未定义书签。 1.1 有限元方法简述 . 1 1.2 本文的主要工作 . 1 2 两点边值问题的有限元解法 . 4 2.1 两点边值问题的等价变分问题 . 4 2.2 一次拉格朗日型有限元空间 . 5 2.3
6、 二次拉格朗日型有限元空间 . 8 2.4 有限元方程的形成 .11 3 算例 . 错误 !未定义书签。 4 小结 . 17 参考文献 . 18 致谢 . 19 1 1 前言 1.1 有限元方法 简述 有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法 , 是处理各种复杂的工程问题的有效工具 , 也是进行科学计算的重要手段 . 早在 1943 年 , Courant 发表了一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文 1, 但当时没有引起人们的注意 , 直到 1956 年 , 波音公司的Clough, Turner 和 Martin从力学角度用虚功原理 , 给出了三角形的单元刚度表达式 2,
7、 并求出平面应力问题的正确解答 , 1960 年美国人 Clough 教授在研究平面弹性问题时 , 首先使用了 “ 有限元方法 ” 这一名词 . 在工程师研究和应用有限元方法的同时 , 很多数学家开始研究该方法的数学基础 , 1963 年 , Besseling, Melosh 和 Jones 等人探讨了有限元方法的数学原理 , 我国的胡海昌教授于 1954年提出了广义变分原理 3, 钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系 4, 冯康教授研究了有限元精度与收敛性问题 . 他提出了对于二阶椭圆型方程各类边值问题的系统性的离散化方法 , 给出了离散解的稳定性定理、逼近性定理和收敛性
8、定理 , 并揭示了此方法在边界条件处理、特性保持、灵活适应性和理论牢靠等方面 的突出优点 5. 这些特别适合于解决复杂的大型问题 , 并便于在计算机上实现 . 对于不同物理性质和数学模型的问题 , 有限元求解法的基本步骤是相同的 , 只是具体公式推导和运算求解不同 . 有限元求解问题时首先应讨论问题的求解域 , 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域 , 并将求解域离散化 , 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域 , 习惯上称为有限元网络划分 ; 然后确定状态变量及控制方法 : 一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示
9、, 为适合 有限元求解 , 通常将微分方程化为等价的泛函形式 ; 接下来进行单元推导 : 对单元构造一个适合的近似解 , 即推导有限单元的列式 , 其中包括选择合理的单元坐标系 , 建立单元试函数 , 以某种方法给出单元各状态变量的离散关系 , 从而形成 单元矩阵 ; 最后将单元总装形成离散域的总 矩阵方程 , 反映对近似求解域的离散域的要求 , 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件 . 并联立方程组求解 , 有限元法最终导致联立方程常用的求解方法如直接法、选代法和随机法 . 求解结果是单元结点处状态变量的近似值 . 1.2 本文的主要工作 本文的主要工作是按有限元方法求解两点边值问题 2
10、,0)(,0)(,),()dd(ddbuaubxaxfquxupxLu (1.1) 其中 .0)(),(,0)(),(),()(0m i n1xqICqpxpICpICxf(1.2) 若 记 )()(),()()()( 221 ILxfILxfxfIH , )0)(),()()()( 11 auIHxuxuIH E , 则可将上述问题 (1.1)和 (1.2)转化为等价的变分问题 求 )(1 IHu E , 使 ),(),( vfvua , )(1 IHv E , (1.3) 其中 dd( , ) ( ) d ,dd( , ) d .babauva u v p q u v xxxf v f v
11、 x (1.4) 然后 , 将 )(1 IHE 的试探函数和检验函数子空间均取为 hEV , 可得近似变分问题 (参考文献6) 求 hEh Vxu )( , 使 hEhhhh Vvvfvua ),(),( , (1.5) 再将上述问题等价的写成有限元方程的形式 求 nj jjh xuxu 1 )()( , 使 nifua jjh ,2,1),(),( , (1.6) 其中 njxj ,2,1),( 为线性元空间 hEV 的 Lagrange 节点基函数 . 于是 , 得到相应的矩阵表达形式 bAU , (1.7) 其中 ),(),( ),(),( 1 111 nnn naa aaA , ),(
12、),( 1nffb . (1.8) 这样 , 我们就得到了两点边值问题的有限元求解方法 , 最后 , 我们可以试着讨论具体的模型问题 3 .0)1(,0)0(,10,2s in24 2uuxxuuLu (1.9) 我们可以利用中矩形近似计算积分 , 代入上述问题的有限元方程 , 可以较为精确求出上述问题的数值解 . 4 2 两点边值问题的 有限元解法 2.1 两点边值问题的等价变分问题 我们首先考虑下面的两点边值问题 .0)(,0)(,),()dd(ddbuaubxaxfquxupxLu (2.1) 其中 .0)(),(,0)(),(),()(0m i n1xqICqpxpICpICxf(2.
13、2) 若记 )(2IL 表示 I 上平方可积的可测函数全体 , 即 22 ( ) ( ) ( ) dbaL I f x f x x , (2.3) 其中 )(xf 为 )(xf 的一阶广义导数 , 则 )()(),()()()( 221 ILxfILxfxfIH , (2.4) 构成一个线性函数空间 7, 我们记 )0)(),()()()( 11 auIHxuxuIH E , (2.5) 则可将上述问题 (2.1)和 (2.2)转化为等价的变分问题 6 求 )(1 IHu E , 使 ),(),( vfvua , )(1 IHv E , (2.6) 其中 dd( , ) ( ) d ,dd(
14、, ) d .babauva u v p q u v xxxf v f v x (2.7) 由 Ritz-Galerkin 法 , 为了能利用计算机求解虚功方程 , 需适当选取 )(1 IHE 的有限维子空间 nV 来近似代替 )(1 IHE , 这时变分问题 (2.6)的近似变分问题为 7 求 nn Vu , 使得 nnnnn Vvvfvua ),(),( , (2.8) 在此基础上 , 我们可以构造出有限元空间作为 近似子空间 , 并建立有限元方程 . 2.2 一次拉格朗日型有限元空间 5 给定 baI , 的任意一个网格剖分 bxxxxa nn 110 , 我们称 1 iii xxh 为
15、第 i 个 剖 分 单元 iii xxe ,1 的剖分步长 , ini hh 1max称为 baI , 的步长 , )1,2,1( nixi 称为第 i 个内部剖分节点 , 令 kP 是次数不超过 k 次得代数多项式的全体 , 则可以引入有限维分段代数多项式函数空间 0)(,1),(:)( auniePuICuV hikehhhE i, (2.9) 我们称 hEV 为 k 次 Lagrange 型有限元空间 . 下面我们以 1k 为例 , 对上述 1 次 Lagrange 型有限元空间 (简称线性元空间 )给出某些性质 (1)线性元空间 hEV 的维数 8 nnnVm hE 1)1(2d im
16、: , (2.10) 不难看出 , hEV 中的函数在任意剖分单元 iii xxe ,1 上形如 : bxa , 为 1 次线性函数 .一般情况 下 , 也有 1)1()1(d im: nnkVm hE . (2.11) (2) hEV 中元素 (函数 )的表示式 对 hEh Vu , 首先给出其 m 个自由度 (待定系数 )的设定 , 其关键是给出 )(xuh 在任意剖分单元 iii xxe ,1 上待定系数的设定 . 最自然的选取方法是 : 当 ii xxx ,1 时 , 令 xbaxu iih )( , (2.12) 即 )(xuh 在任意剖分单元 ie 上的 2 个待定系数为 : ia
17、 , ib . 由于上述 2 个待定系数缺乏几何意义 , 所以常用 )(xuh 在 ie 上的某 2 个点上的函数值作为待定系数 . 从理论说 , 这 2 个点可以在剖分单元 ie 中任意选取 , 但这样可能会使得 )(xuh 在整个求解区域上待定系数的个数达不到最少 , 最多为 n2 , 见下图 2.1 1ix 0,ix 1,ix ix 6 图 2.1 ie 单元两点剖分示意图 这是因为这些待定系数所确定的线性元函数 )(xuh 不会自然满足连续性条件 , 它需要强加上去 . 因此会产生附加约束方程 , 从而将导致建立的有限元方程的规模不能达到最小 . 下面 , 我们取点 1,0, , ii
18、 xx 为 ie 两个端点 , 见下图 10, ii xx , ii xx 1, 1ix ix 图 2.2 ie 单元端点示意图 这些待定系数为 nixuu ihi ,2,1),(: 它们的个数 n 恰好等于线性元空间 hEV 的维数 , 并且它们可以为相邻单元所共用 . 我们之所以能将 )(xuh 在节点 ix 上的函数值 iu 取为待定系数 , 是因为 )(ICuh , 否则只能将 )(xuh在 ix 处的左、右极限值 )( ih xu 和 )( ih xu , 分别取为 )(xuh 在与 ix 左、右相邻的剖分单元 ie 和1ie 上的待定系数 . 上面确定的线性元函数 )(xuh 自然满足连续性条件 , 而连续性条件不会产生附加约束方程 , 即建立的有限元方程的规模是最小的 . 下面 , 我们给出 )(xuh 用这些未知数 iu 所表示的两种表示式 . (1)分段表示 (单元形状函数 ) )(xuh 在任意剖分单元 iii xxe ,1 上的表达式 , 其图形如下图所示 0,ix 1,ix 1ix ix 图 2.3 nUx在 ie 单元上示意图 由 Lagrange 插值公式知 9 )()()()()( 1,0,11,1,0,0, xluxluxluxluxu iiiiiiiie i , (2.13)
