1、 本科毕业论文 （ 20 届） 浅谈欧拉积分 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 求解定积分是学习高等数学的一个重要内容 , 也是解决数学问题的一个基本技能 . 求解定积分的方法一般来说是先求出原函数 , 然后再根据牛顿莱布 尼茨公式进行计算 . 这种方法对于一般的定积分求解问题比较实用 . 在实际问题中 , 有许多定积分的原函数 , 难以计算或者计算过程非常繁杂 . 欧拉积分恰恰就是我们解决这样问题的一个有效工具 . 本文将主要通过熟悉 Euler 积分的基本性质 , 来讨论如何利用 Euler 积分来表达其他的积分 . 全文共分
2、四 章 , 第一章介绍了 Euler 积分的发展历史及其主要 作用 . 第 二 章 介绍了 Euler 积分及其基本变形 . 第 三 章 介绍了 Euler 积分的相互转换及利用 Euler 积分表示其他积分 . 第四章介绍了余 元公式的利用 . 第 五 章总结了本文的主要工作 . 关键词 : 微积分 ; Euler 积分 ; 余元公式 ; 倍元公式 ; 递推公式 II Abstract Solving the definite integral is an important part to learn higher mathematics, but also a basic mathema
3、tical problem. The general method of solving the definite integral is to find the original function, then calculate according to Newton - - Leibniz formula. This method for solving the average definite integral is more practical. In practical problems, there are many definite integral, whose origina
4、l function is difficult to calculate or have very complicated calculation process. Euler integration is such an effective tool to solve precisely the problem. In this article, we will focus on several basic properties of Euler integration to discuss how to use Euler integration to express other poin
5、ts. The article is divided into four chapters. The first chapter presents the development history of the points and its major function. The second chapter presents the points and its basic deformation. The third chapter presents the mutual conversion. The fourth chapter presents the use of Yuan form
6、ula. The fifth chapter summarizes the main work. Keywords: Calculus; Euler integral; Yuan formula; Times yuan formula; Recursive formulaIII 目 录 摘 要 .I Abstract . II 1 前言 . 1 2 Euler 积分及其基本变形 . 4 3 Euler 积分的相互转换及利用 EULER 积分表示其他积分 . 7 4 余元公式的应用 . 11 5 小结 . 13 参考文献 . 14 致谢 . 14 1 1 前言 莱昂哈德欧拉（ Leonhard
7、Euler, 1707 年 4 月 5 日 1783 年 9 月 18 日） , 是瑞士数学家和物理学家 . 他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔弗里德里克高斯） . 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人 , 例如： y F x (函数的定义由莱布尼兹在 1694 年给出 ). 他是把微积分应用于物理学的先驱者之一 . 欧拉出生于瑞士 , 在那里受教育 . 欧拉是一位数学神童 . 他作为数学教授 , 先后任教于圣彼得堡和柏林 , 尔后再返圣彼得堡 . 欧拉是有史以来最多产的数学家 , 他的全集共计 75 卷 . 欧拉实际上支配了 18 世纪的数学 , 对于当
8、时新发明的微积分 , 他推导出了很多结果 . 在他生命的最后 7 年中 , 欧拉的双目完全失明 , 尽管如此 , 他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作 . 欧拉的一生很虔诚 . 然而 , 那个广泛流传的传说却不是真的 . 传说中说到 , 欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里 , 挑战德尼狄德罗：“先生 , /a b n n x；所以上帝存在 , 这是回答 !” 欧拉的离世也很特别：据说当时正是下午茶时间 , 正在逗孙儿玩的时候 , 被一块蛋糕卡在喉头窒息而死 . 小行星欧拉 2002 是为了纪念欧拉而命名的 . 极限的思想方法可追溯到古代 , 3 世纪 , 中国数学家 刘徽 创立的割圆术用圆内接正九
9、十六边形的面积近似代替圆面积 , 求出 圆周率 的近似值 3.141024 , 并指出：“割之弥细 , 所失弥少 , 割之又割 , 以至不可割 , 则 与圆合体而无所失矣 ”.刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法 , 正是 极限思想 的具体体现 .数列极限 是函数极限的基础 , 一个数列 na 如果当 n 无限增大时 , na 与某一 实数 无限接近 , 就称之为收敛数列 , a 为数列的极限 , 记作例如 , 数列的极限为 0 . 从 微积分 成为 一门学科来说 , 是在十七世纪 , 但是 , 微分和积分的思想在古代就已经产生了 . 公元前三世纪 , 古希腊 的阿基米德在研究解决抛物弓形的面
10、积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中 , 就隐含着近代积分学的思想 .作为微分学基础的 极限理论 来说 , 早在古代以有比较清楚的论述 .比如我国的 周庄 所著的庄子2 一书的 “天下篇 ”中 , 记有 “一尺之棰 , 日取其半 , 万世不竭 ”.三国时期的刘徽在他的割圆术中提到 “割之弥细 , 所失弥小 , 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆周和体而无所失矣 .”这些都是朴素的、也是很典型的极限 概念 . 到了十七世纪 , 有许多 科学问题 需要解决 , 这些问题也就成了促使微积分产生的因素 .归结起来 , 大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的 ,
11、 也就是求即时速度的问题 .第二类问题是求 曲线 的切线的问题 .第三类问题是求函数的最大值和最小值问题 .第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心 、 一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力 . 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、 物理学家 都为解决上述几类问题作了大量的研究工作 , 如 法国 的费尔玛、 笛卡尔 、罗伯瓦、笛沙格； 英国 的巴罗、 瓦里士；德国 的开普勒； 意大利 的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论 .为微积分的创立做出了贡献 . 欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一 , 他不但为数学界作出贡献 , 更把数学推至几乎整个物理的领域 .
12、欧拉对数学的研究如此广泛 , 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理 .欧拉 (euler)积分是其重要贡献之一 , 它 的 广义积分定义的特殊函数 ,在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到 . 设函数 ()fx在 , ab 上有界 , 在 , ab 中任意插入若干个分点 01 1nna x x x x b 把区间 ,ab 分成 n 个小区间 0 1 1, , ,nnx x x x , 在每个小区间 1,iixx 上任取一点 1i i i ixx , 作 函数值 if 与小区间 长度 的乘积 iifx , 并作出和 1n iiis f x 如果不论对 ,
13、ab 怎样分法 , 也不论在小区间上的点 i 怎样取法 , 只要当区间的长度趋于零时 , 和 s 总趋于确定的极限 I , 这时我们称这个极限 I 为函数 ()fx在区间 , ab 上的定积分 , 记作 dba f x x, 即 : 110 1d l imnba if x x I f x . 对于微积分学中定积分计算问题来说 ,通常的做法是先求出原函数 ,再利用牛顿 莱布3 尼茨公式代入上下限进行计算 . 但对于一些特征较为明显的题目 ,有时也采用变量替换 , 递推等技巧方法来处理 . 这种方法对于一般 的定积分求解问题比较实用 . 在实际问题中 , 笔者曾查阅大量“数学分析”教材和全国部分考
14、研资料 ,发现诸多定积分计算问题蕴涵许多较强的技巧性 ,尤其针对一些难度较大的定积分计算问题 ,如果只局限于上述方法 , 通常是不易计算出结果来的 ,有时若技巧使用不当 , 还可导致计算过程繁杂、事倍功半 . 而如果将其进行适量的变量代换 , 变为我们熟悉的定积分 , 那么这一问题就得到了很好的解决 .欧拉积分恰恰就是我们解决这样问题的一个有效工具 1 , 本文重点阐述了 gamma 函数 , beta 函数的性质 , 并通过列举实例的方法揭示出二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用 , 从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法 , 同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系 ,
15、 在提高解题能力的同时 , 也加深对数学的理解和应用 . 4 2 Euler 积分及其基本变形 对于微积分学中定积分计算问题来说 ,通常的做法是先求出原函数 ,再利用牛顿 莱布尼茨公式代入上下限进行计算 . 但对于一些特征较为明显的题目 ,有时也采用变量替换 , 递推等技巧方法来处理 . 笔者曾查阅大量“数学分析”教材和全国部分考研资料 ,发现诸 多定积分计算问题蕴涵许多较强的技巧性 ,尤其针对一些难度较大的定积分计算问题 ,如果只局限于上述方法 , 通常是不易计算出结果来的 ,有时若技巧使用不当 , 还可导致计算过程繁杂、事倍功半 .众所周知 ,数学分析中函数与 B 函数是两个非常重要的非初
16、等函数 ,人们曾经对此进行了仔细地研究 ,如同三角函数和对数函数那样 , 还专门制作了函数和 B 函数表 ,下面来回顾一下 . 2.1 函数 （第二型欧拉积分） 定义 2.1 10 edaxa x x , 0a (2.1) 基本变形 2210 edata t t =2, （令 2xt 时） 0a . (2.2) 1 10 1(ln ) daatt = (令 1lnx t 时 ), 0a (2.3) 2.2 性质 2 性质 2.1 10 edaxa x x 在 0, 内一致 收敛 , a 在 0, 上连续 . 有连续的各阶导数 , 求导可在积分号下进行： 10 e ln dn axa x x x
17、 (2.4) 性质 2.2 （递推公式） 1aa , 特别由 1 知 21 , n n! nN 由 12 , 知 2 1 !122nnn （ 2.5） 函数只在正半轴有定义 . 利用递推公式可定义 0a 时 a . 性质 2.3 （余元公式） ( ) (1 ) sinaa a 01a . （ 2.6） 性质 2.4 (倍元公式 )（又称 Legender 公式） 212 2aa a a 0a （ 2.7） 5 2.3 函数 （第一型欧拉积分） 定义 2.2 1 110, 1 dqpp q x x x 0pq、 . 基本变形 2 1 2 1, 2 c o s s in dpqpq , （令 2c
18、osx 时） 10,d1 p pqup q uu , （令 1ux u 时） 进而将此积分拆成 0,1 , 1, 两段积分 , 后者作变换 1u t , 仍把 t 写成 u ,则有 1110,d1pqpquup q uu 性质 2.53 1 2 1 2, ; , 0 , ; 0 ,p p q q , 该积分在 1 2 1 2, ; ,p p q q 上一致收敛 . ,pq 在 0, ;0, , 上连续 , 有连续的各阶偏导数 . 性质 2.6（对称性） ,p q q p . 性质 2.7（递推公式） 11, , 1 1 ,qpp q p q p qp q p q 特别 , 对正整数 m ,n
19、有 1 ! 1 !, 1!nmmn mn 性质 2.8（余元公式） ,1 sinpp p , 01p 特别 11,22 性质 2.9（ Dirichlet 公式） , pqpq pq. 证明 4 1100e d e d yp x q yp q x x y 1100 e d dxypqx y x y . 6 作变量置换 (1 ),.x u vy uv Ju , 其中 J 是 Jacobi 行列式 . 于是 1 1 100 1 e d d vp q up q u v u v u u 1 11100= e d u 1 d vpp q u qu v v ,p q q p ,p q p q . 因此有 , pqpqpq.
