1、 本科毕业论文 （ 20 届） 浅析调和方程的数值解法 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 调和方程的数值解法是通过离散化利用计算机求调和方程近似解的方法 . 在调和方程数值解法中有 : 有限差分法 , 元体平衡法 , 有限元素 法等等 . 本文的目的是研究调和方程狄利克雷问题的数值解法 , 其中用到有限差分法 , 元体平衡法 , 有限元素法 , 论文分析了这三种方法在求解具体问题中的应用 , 介绍了调和方程在各种条件下求解数值解的解决方案 . 关键词 : 调和函数 ; 差分方程 ; 数值解 . II Abstract Numeri
2、cal solution of harmonic equation is a method of solving the approximate solution of harmonic equation by the discretization using a compute. In the numerical solution method of harmonic equation: finite difference method, element body balance method, finite element method, etc. The purpose of this
3、thesis is to research numerical methods for dirichlet problem of harmonic equation, therein using finite difference method, element body balance method, finite element method. In this paper, three methods are analyses in solving specific problem, and the solution of harmonic equation numerical solut
4、ion in every condition are introduced. Keywords: Harmonic function; Difference equation; Numerical solution. III 目 录 摘要 I ABSTRACT II 1 前言 1 2 调和方程 2 2.1 调和方程的导出 . 2 2.2 调和函数的性质 . 3 3 调和方程的数值解 6 3.1 有限差分法的介绍和应用 . 6 3.2 元体平衡法 . 10 3.3 有限元素法 (里茨法 ) . 12 3.4 有限元素法 (伽辽金法 ) . 13 4 小结 16 参考文献 17 致谢 错误 !未定
5、义书签。 1 1 前言 从 20 世纪开始 ,由于物理学内容的更新 , 数学物理也有了新的面貌 . 伴随着对电磁理论和引力场的深入研究 , 人们的时空观念发生了根本的变化 , 这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间 (用现代术语说 , 洛伦茨流形 ) 的几何学成为爱因斯 坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论 , 许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式 . 在探讨大范围时空结构时 , 还需要整体微分几何 . 在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观 , 更有价值 .在实际求解方程时 , 除了一些特 (数学物理方程在 ) 殊的情况下可以方便地求得其精确解外 , 在一般情况下 , 当方程或定解条
6、件具有比较复杂的形式 , 或求解区域具有比较复杂的形状时 , 往往求不到 , 或不易求到其精确解 . 这就需要我们去寻找方程的近似解 , 特别是数值近似解 , 简称数值解 . 这里主要研究的是调和方程 . 调 和方程 , 又称 Laplace 方程 , 是一类典型的椭圆型方程 , 也是最简单的椭圆型方程 . 在学习这一部分内容时 , 除了弄清楚该方程及相应定解问题的提法与其物理背景以外 , 还需要掌握的内容有 : (1) 调和函数的基本性质 ,包括各类极值原理 , 以及这些性质是如何与定解问题解的适定性相联系的 . (2) 在一些特殊区域中对某些定解问题的求解 , 包括解的显示表达式的导出 .
7、这里需要强调的是 , 调和方程的许多性质都能推广到一般的情形 . 也就是说 , 一般二阶线性椭圆型方程的解也常有类似的性质与极值原理 , 而且其相应定理的证明 思路也与调和方程的情形相仿 . 从这个角度来说 , 我们对调和方程的研究蕴含着更丰富的内容 . 求偏微分方程数值解的方法是多种多样的 , 它本身已形成了一个独立的研究方向 , 其要点是对偏微分方程定解问题进行离散化 . 这里将以二维调和方程的狄利克雷问题和一维热传导方程与一维波动方程的初边值问题为例 , 说明将这些连续型的问题转化为相应的离散型问题的主要处理方法 . 2 2 调和方程 2.1 调和方程的导出 我们来研究调和方程 (又称拉
8、普拉斯方程 ) 2222 2 2 0uuuu x y z (2.1) 及泊松方程 2222 2 2 ( , , )uuuu f x y zx y z (2.2) 的基本定解问题及解的性质 . 方程 (2.1) 及 (2.2) 在力学和物理学问题中经常碰到 . 在研究膜的振动问题中 , 当不随时间而变化的外力 ( , )f xy 作用下膜平衡时 , 膜的位移 u 和时间无关 , 于是膜振动方程 2 2 22 2 2( ) ( , , )u u uT F x y tt x y 就化为膜平衡方程 220 ( ) ( , )uuT F x yxy , 或写为 22 ( , )u u F x yx y
9、T , 它就是二维泊松方程 . 引力位势 在数学史上导致调和方程的一个著名的实例来自牛顿万有引力 . 根据牛顿万有引力定律 , 位于 0 0 0( , , )x y z 处质量为 M 的质点对位于 ( , , )xyz 处具有单位质量的质点的引力 , 其大小等于2Mr, 而作用方向沿着这两点的连线 , 指向 0 0 0( , , )x y z 点 , 其中 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )r x x y y z z 为这两点之间的距离 . 写成向量形式 , 即为 0 0 02( , , ) ( , , )x x y y z zMF x y z r r r r . ( , , )Fx
10、yz 称为引力场函数 . 显然引力场函数是位势函数 3 ( , , ) Mx y z r 的梯度 : F grad . 除了允许相差一个任意常熟外 , 位势函数是唯一确定的 . 若有以密度 ( , , )x yz 分布在区域 上的质量 . 那么它产生的引力场应该为其上各质点产生的引力场的叠加 . 在区域 上的质量所产生的总引力位势应为 2 2 2( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( )dddx y z x y z . 通过直 接计算可以验证 , ( , , )xyz 在 以外满足调和方程 0. 还可以进一步验证 , 若 ( , , )x yz 满足 Holder 条件 , 则 在
11、 内满足泊松方程 4 . 此外还可以从静电场的电 位势中可以得到导出等等 . 定义 2.1 调和方程 (1.1) 的连续解 , 也就是说具有关于变量 x 和 y 的二阶连续偏导数并且满足方程 (1.1) 的连续函数解称为调和函数 . 2.2 调和函数的性质 调和函数有许多重要的性质如解析性 , 解及其导数的有界性估计 , 在无穷远出的衰减性的估计等等 . 这些性质对于解的存在性的讨论 , 方程的求解或近似求解等都很有帮助 . 在此要指出的是 , 这些性质对于一般的二阶线性椭圆型方 程的解往往也是成立的 . 定理 2.1 设函数 u 在区域 内连续且处处成立平均值公式 , 则 u 在 中调和 .
12、 定理 2.2 设函数 u 在区域 中调和 , 则它在该区域中解析 . 定理 2.3 设 为有界区域 , 对每个 k , 20( ) ( )ku C C , ku 在 中调和 , 今若ku 在 上一致收敛于 u , 则 20( ) ( )u C C , 且 u 在 中调和 . 例 2.1 设 u 在以 0p 为中心 , 以 R 为半径的球 B 中调和 , 非负 , 则对任一点 PB , 记0PP ,必有 0022( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )R R R Ru P u P u PRR. 4 证明 不妨设 u 在 B 中连续 . 否则 , 可对充分小的 0 , 在球 0()RB
13、P 中进行讨论 , 再令 0 即可 . 由球上的 Poisson 公式知 222 2 3 / 21( ) ( )4 ( 2 c o s ) MB Ru P u M d SR R R , 注意到 2 2 2 2( ) 2 c o s ( )R R R R , 由 0u , 可知 2232021( ) ( )4 ( )1()( ) 4()()()MBMBRuP u M dSRRRu M dSRRRRuPR. 同理可得不等式的左边一般 . 证明完毕 . 例 2.2 设定义于区域 中的函数 u 在光滑曲面 S 的两侧是调和函数 , 在 S 上函数本身及其一阶导数连续 , 则 u 在整个区域 中调和 .
14、 证明 ：设 S 将区域 分成 1 , 2 两部分 , 是 内一任意闭曲面 . 当 完全落在 1或 2 内时 , 对 内的任一点 0M , 有 000 1 1 1( ) ( ) ( ) 4 MM M M M uu M u M d Sn r r n . (2.3) 如果 有一部分落在 1 内 , 一部分落在 2 内 , 记在 1 内的一部分为 1 , 在 2 内的一部分为 2 , 且在 所围的区域中 , 属于曲面 S 的那部分为 S , 则当 01M 时 , 则会有公式 0010 1 1 1( ) ( ) ( ) 4 MM M M MS uu M u M d Sn r r n , (2.4) 0
15、021 1 10 ( ) ( ) 4 MM M M MSuu M d Sn r r n . (2.5) 注意到 u 在 S 上是连续的 , 它的一介导数也是连续的 , 但在 S 作为 1 的边界与 S 作为 25 的边界这两种情况下外法相反 , 所以 (2.4) 中的S与 (2.5) 中的S绝对值相等 , 符号相反 . 将 (2.4) 与 (2.5) 两式相加 , 就得知当 01M 时 (2.3) 成立 . 同理 , 当 02M 时 , (2.3) 也成立 . 最后由 u 在 S 上的连续性知 , 当 0MS 时 , (2.3) 仍成立 . 因为将 (2.3) 中的 取为以 0M 为中心的球面
16、 , 可立刻得到平均值公式 , 所以再利用定理 2.1 就可知 u 在 内调和 . 证明完毕 . 6 3 调和方程的数值解 3.1 有限差分法的介绍和应用 要求得 狄利克雷问题 (3.1) 的数值近似解 , 首先要将相应的微分方程离散化 , 这就导致有限差分法 . 考虑定解问题 2222 0 , ( , ) ,( , )uu x y Dxyu f x y (3.1) 其中方程 (3.1) 在 (, )xy 平面的一个有界区域 D 中满足 , 为 D 的边界 , 设其为分段光滑 , 而 f 为在 上给定的连续函数 . 为了用差分法解该定解问题 , 先作平行于坐标轴的两族直线 iox x ih,
17、jox y jh. 这两族直线讲区域 D 分割乘若干个小方格 (称为网格 ). 小方格的变长 h 称为步长 . h 表示由小方格的边所连成的封闭折线 , h 应尽量与原边界 接近 . h 所包围的区域记为 hD . 点 ( , )ijxy 称为网格节点 . 所谓差分法就是以 h 为边界 , 在区域 hD 内求定解问题 (3.1) 的近似解 . 设 , ( , )i j i ju u x y , 则可将定解问题 (3.1) 的微分方程化为差分方程 1 , , 1 , , 1 , , 12222 0i j i j i j i j i j i ju u u u u uhh . 上式两边同乘以 2h 后整理得 1 , 1 , , 1 , 1 ,40i j i j i j i j i ju u u u u . (3.2)
