1、 本科毕业论文 （ 20 届） 区间值 min-S蕴涵模糊关系方程的完全解 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 作为经典模糊集的推广 , 区间值模糊集更能反映物理现实中的模糊性和不确定性 . 区间模糊推理在各种模型和控制中有着 广泛的应用 . 在实际的控制系统中 , 人们常常选用不同类型的模糊推理实现系统控制 . 而 不同的模糊推理算法对应不同类型的模糊关系方程 . 区间 S-蕴涵是区间模糊推理的重要组成部分之一 , 因此研究区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程意义非凡 . 本文首先讨论了区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程存在最小
2、解和极大解的充要条件 , 进一步给出了极大解的形式及其个数 . 最后刻画了此类模糊方程的完全解 . 关键词 : 区间 S-蕴涵 ; 区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程 ; 最小解 ; 极大解 ; 完全解 II Abstract As a generalization of the classical fuzzy sets, the interval-valued fuzzy sets can reflect the fuzziness and uncertainty of physical reality better. Interval-valued fuzzy reasoning is
3、widely used in various kinds of model and control. In control system, people often choose different types of fuzzy reasoning to achieve this objection. Different fuzzy reasoning algorithms are corresponding to different types of fuzzy relation equations. Interval-valued S-implication is one of impor
4、tant parts of interval fuzzy reasoning. So, there is a special significance to discuss the interval-valued min-S-implication fuzzy relation equations. In this dissertation, necessary and sufficient conditions that there exist the least solution and the maximal solutions of the interval-valued min-S-
5、implication fuzzy relation equations are represented. Further, the form and the number of the maximal solutions are given. Finally, the complete solutions of this interval-valued fuzzy relation equation are described. Keywords: S-implications; Interval-valued min-S-implication fuzzy relation equatio
6、ns; Least solution; Maximal solution III 目录 摘要 .I Abstract . II 1 前言 . 1 2 预备知识 . 3 2.1 偏序集与格 . 3 2.2 区间值 S-模和 S-蕴涵 . 4 3 区间值模糊关系方程的解集 . 6 3.1 区间值模糊关系方程 , , ,a b x y c d 的解 . 6 3.2 区间值模糊关系方程 ,cdax 的解 . 8 3.3 区间值模糊关系方程 A X B 的解 . 17 4 小结 . 26 参考文献 . 27 致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 美国控制专家 L. A. Zadeh 发表了题为模糊
7、集合 的论文 , 宣告了模糊数学的诞生 . 模糊数学就是一种研究和处理模糊现象的数学方法 . 查德 充分领悟了精确与模糊这一对立统一规律 , 提出了模糊数学的核心 思想 , 就是用数学手段来仿效人脑的思维 , 建立对复杂事物进行模糊度量、模糊识别、模糊推理、模糊控制和模糊决策的本领 1. 1965 年 , L. A. Zadeh 在模糊集合中首先提出了模糊子集的概念 , 建立了子集的 “并 ”、“交 ”、 “补 ”的运算 . 模糊集的概念一经提出 , 便在理论和应用两个方面得到迅速发展 . 近几年来 , 学者们对区间值模糊集的研究兴趣与日俱增 , 其原因是在实际应用中 , 如果信息处理的结果用
8、区间值模糊集来表示则更能反映其模糊性和不确定性 , 而且在模糊推理过程中可以有效地减少模糊信息的丢失 2. 模糊关系方程的研究是模糊诊断和模糊控制的理论基础 . 对模糊关系方程的研究主要集中在理论和应用两个方面 , 理论上主要是讨论各种合成算子关系方程及其解集刻画 , 应用方面主要集中在模糊系统的分析 , 医疗诊断 , 决策或模式识别 3. 在理论上 , 模糊关系方程的研究开始于 1976年 E. Sanchez4的工作 . Sanchez得出的该问题的第一个公式和基本研究成果被应用于医疗诊断当中 . 他 指出 , 若模糊关系方程解集不空 , 则存在一个最大解 , 并给出了解存在的充要条件及最
9、大解的求解方法 . 此后 , 模糊关系 方程求解的核心就是如何确定最大解下方的解 . 人们在方程有解时不仅证明对每一个解存在一个小于等于它的极小解 , 且极小解的个数是有限的 , 由此给出了确定方程整个解集的方法 . 在以后的 30余年里 , 模糊关系方程解集的刻画工作仍在进行 , 主要是改进极小解的确定方法 , 并估计解集中极小元的个数 . 在 Sanchez 提出了模糊关系方程以后 , 许多 学者先后在方程求解问题的各个方面作出了贡献 , 主要有新的合成类型 , 完全解 , 获取极小 /极大解的算法等 . 2004 年 , 罗艳斌和李永明对基于 S-蕴涵的 min- 模糊关系方程的解进 行
10、了讨论 5. 2007 年 , 熊清泉和王学平讨论了 完备Brouwerian 格 inf- 模糊关系方程的解 6. 研究模糊关系方程的目的 , 一方面是为了丰富布尔方程的理论并推广布尔方程中的有关工作 , 另一方面也是为了深刻揭示并处理如医疗诊断这类复杂系统中的模糊现象 . 理论的研究 , 最终目的是解决实际问题 . 作为经典模糊集的推广 , 区间值模糊集更能反映物理现实中的模糊性和不确定性 . 因此 , 研究区间值上的模糊关系方程己成为人们感兴趣的课题之一 . 张伯生于 1995 年 讨论了区间值上的模糊关系方程解的定义 , 并用符号定义法求出其全体解集 7. 2005 年 , Wang
11、研究了区间值 min-S-norm 模糊2 关系方程 , 给出了这类模糊关系方程的可行解 , 一致解和可控制解 , 并讨论这类区间值模糊关系方程的解集问题 8. 区间模糊推理在各种模型和控制中有着广泛的应用 . 在实际的控制系统中 , 人们常常选用不同类型的模糊推理实现系统控制 . 而 不同的模糊推理算法对应不同类型的模糊关系方程 . 区间 S-蕴涵是区间模糊推理的重要组成部分之一 , 因此研究区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程意义非凡 . 本文通过对区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程最小解和极大解的讨论 , 刻画了方程的完全解 . 本文内容安排如下 : 第二章主要回顾偏序集和格的基本概念
12、以及一些基本性质 . 介绍了区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程及其分解 . 第三章首先讨论了区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程存在最小解和极大解的充要条件 , 进一步给出了极大解的形式及其个数 . 最后刻画了此类模糊方程的完全解 . 3 2 预备知识 2.1 偏序集与格 定义 2.19 设 P 是一个集合 , P 上的二元关系 叫做一个偏序关系 , 如果满足 : 自反性 , aa ; 传递性 , ,a b b a a b ; 反对称性 , ,a b b c a c . 则称 ,P 为一个偏序集 . 定义 2.29 设 ,P 是一个偏序 集 , A 是 P 的非空子集 , aA . 若对 x
13、A , 有xa , 则称 a 是 A 的一个最大元 ; 若不存在 yA , 使得 a y a y, 则称 a 是 A 的一个极大元 . 对偶地 , 取 bA , 若对 xA , 有 xb , 则称 b 是 A 的一个最小元 ; 若不 存在 yA , 使得 b y b y, 则称 b 是 A 的一个极小元 . 定义 2.39 设 A 是偏序集 ,P 的任意子集 , xP . 若对 aA , 总有 ax , 则称x 为 A 在 P 内的一个上界 ; 反之 , 若对 aA , 总有 xa , 则称 x 为 A 在 P 内的一个下界 . 定义 2.49 令 uA表示 A 在 P 内所有上界组成的集合
14、. 若 uA存在最小元 , 则称其为 A 在 P 内的上确界 , 记为 supA . 对偶地 , 令 lA表示 A 在 P 内所有下界组成的集合 . 若 lA的存在最大元 , 则称其为 A 在 P 内的下确界 , 记为 infA . 定 义 2.59 在一个偏序集 ,L 中 , 如果任意两元 x , y 都有上确界 xy 和下确界xy 则称偏序集 ,L 为一个格 . 定义 2.69 格 ,L 叫做一个完备格 , 如果 L 的任意非空子集 S 都有上确界 S 和下确界 S . 定义 2.79 格 L 称为分配格 , 若它满足以下条件 : ,x y z x y x z x ,yz L , , ,
15、,x y z x y x z x y z L . 定义 2.89 令 ,abc L , 若 a b c , 有 ab 或 ac , 则称 a 是 L 的交既约元 . 引理 2.1 若1m iiba且 b 是交既约元 , 则存在 0i , 使得0iba. 4 引理 2. 2 设 p 是 L 上的交既约元 , 若 1niipx , 则 iN , 使得 ipx . 定义 2.99 aL , 若存在交既约元 12, , , nq q q 使得 12 na q q q , 则称 a 有有限交分解 . 进而 , 若 iN , 有 1 1 1i i na q q q q , 则称该分解是不可约的 , 此时
16、, 称 a 有不可约有限交分解 . 引 理 2.39 分配格中任意元素的交不可约有限交分解是唯一的 . 2.2 区间值 S-模和 S-蕴涵 令 0 ,1 , , , 0 ,1L x y x y x y 表示闭区间 0,1 上的区间集 . 定义 2. 1010 , , , 0 , 1a b c d L, 我们定义 , , ,a b c d a c b d . 易知如此定义的 是 0,1L 上的一个偏序关系 , ,L 为一个偏序集 . 进一步 , 定义 , , , , ,a b c d c d a b c d , , , , ,a b c d a b a b ,cd , 易知 0,1L 是一个完备
17、有限分配格 . 定义 2. 1110 满足 0, 0 1,1N , 1,1 0, 0N 的减函数 : 0,1 0,1N L L为区间值模糊补 . 进一步 ,N N x y x y , , 0,1x y L , 则区间值模糊补 N 是对合补 . 例 2.110 n 是定义在 0,1 上的补 , 那么区间值模糊补可表示为 ,N x y n y n x , , 0,1xy . 定义 2. 1210 函数 2: 0 ,1 0 ,1LL称做区间值 S-模 , 若 , , , 0 ,iix y x y L 1 , 1,2i , 满足以下条件 : 1 1 1 1, , , ,x y x y x y x y
18、, 1 1 2,x y x y x 2 1 1 2 2, , ,y x y x y x y , 1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , ,x y x y x y x y x y x y , , 0 , 0 ,x y x y. 定义 2. 1311 由 1,x y x 1 1 1 1 1, , , , , , , 0 , 1y N x y x y x y x y L 定义5 的运算称为区间值 S-蕴涵 , 其中 为区间值 S-模 , N 为区间值对合补 . 6 3 区间值模糊关系方程的解集 定义 3.1 设 ,ij ij nmA a b , ,jl jl mkX x y , ,il i
19、l nkB c d , 称 B A X区间值 min-S 蕴涵模糊关系方程，其中 “ ”表示 min-S 蕴涵合成 . 区间值 min-S 模糊关系方程 A X B (3-1) 可分解如下 : A xb (3-2) 这里 1 1 2 2, , , , , , Tmmx y x y x yx, 1 1 2 2, , , , , , Tnnc d c d c db. 方程 (3-2)可进一步分解为 ,cdax (3-3) 这里 1 1 2 2, , , , , ,a mma b a b a b, 1 1 2 2, , , , , , Tmmx y x y x yx. 方程 (3-3)的进一步分解为
20、 , , ,a b x y c d (3-4) 方程 (3-4)是方程 (3-2)在 1nm时的特殊情况 . 3.1 区间值模糊关系方程 , , ,a b x y c d 的解 令 1 是方程 (3-4)的解集 . 我们有 定理 3.1 若 S 模“ ”连续 , , , , 0 ,1a b c d L , 则 (3-4)的解集 1 ,N a b ,cd . 证明 “ ”因为 1 , 所以 , 0,1x y L , 使得 , , ,N a b x y c d. 由S 模单调性及 , 0,0xy 得 , , , 0 , 0N a b x y N a b . 又因为 ,N a b 0,0 ,N a b , 所以 ,cd ,N a b x y ,N ab 0,0 N ,ab . “ ” ,N a b c d , 令 , , ,f x y N a b x y. 因为 , 0,1x y L , , 0 , 0 ,N a b N a b, , 1,1 1,1N a b , 又因为“ ”是连续 ,的 且 ,N ab
