1、 本科毕业论文 （ 20 届） 区间值 XOR 模糊蕴涵性质研究 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 Bedregal 给出了由经典 t-模 、 s-模和模糊补生成的模糊 XOR 蕴涵的概念和特征 . 然而在实际应用中 , 经典模糊集无法更 好地描述事物的模糊性和不确定性 . 因此讨论由区间值 t-模 、 s-模和模糊补生成的区间值模糊 XOR 蕴涵的性质和构造方法更有实际意义 . 于是本文构造了由区间值 t-模 、 s-模和模糊补生成的区间值模糊 XOR 蕴涵 , 进一步探讨了区间值模糊XOR 蕴涵满足的模糊蕴涵公理化体系条件 ,
2、并讨论了它们之间的关系 . 最后给出了由不同区间值 t-模 , s-模和模糊补生成的区间值模糊 XOR 蕴涵的一些例子 . 关键词 : 区间值 t-模 ; 区间值 s-模 ; 区间值模糊补 ; 区间值模糊 XOR 蕴涵 ; 特征 II Abstract The characterization of XOR implications generated from t-norm, s-norm and negations was presented firstly by Bedregal. However, the classical fuzzy sets cannot reflect effe
3、ctively the fuzziness and uncertainty in handling informatio n. It is very important to discuss the properties of interval-valued XOR implications generated by interval-valued t-norm, s-norms and fuzzy negations. In this dissertation, we first construct the interval-valued XOR implications generated
4、 by interval-valued t-norm, s-norms and fuzzy negations. And then discuss the characterizations of interval-valued XOR implications as well as the relationships among them. Finally, some interval-valued XOR implications are shown. Keywords: Interval-valued t-norm; Interval-valued s-norm; Interval-va
5、lued fuzzy negation; Interval-valued XOR implication; Characterization III 目录 摘要 . I Abst ract .II 1 前言 . 1 2 预备知识 . 3 3 区间值模糊 XOR 蕴涵特征及其之间的关系 . 6 4 强补生成的区间值模糊 XOR 蕴涵的特征之间的关系 . 11 5 小结 . 15 参考文献 . 16 致谢 . 错误 !未定义书签。 1 1 前言 1965 年 , 美国自动控制论专家 Zadeh 在模糊集合 (Fuzzy Sets)一文中首次引入了隶属函数 (membership function)
6、的概念 . 用其刻画一个元素属于模糊集合的程度 . 进一步引入语言变量和近似推理来处理客观世界不能精确描述的问题 . Zadeh 首次用数学的观点来刻画模糊现象 , 这就标志着一门新的学科 -模糊数学的诞生 1. 短短几十年人们对模糊数学的研究卓有成效 . 1972年 Lee迈出了模糊逻辑中自动演绎的第一步 2. 1975 年 Zadeh 提出真值取在 “语言集 ”上的模糊逻辑 , 成功地描述了命题的模糊性质 , 但是语言真值之间的运算无法封闭 3 . 1980 年刘叙华提出了值域为格的模糊逻辑 , 并于1984年提出了值域为格的算子模糊逻辑 4. 1985年 Schwarz讨论了语言真值的区
7、间值表示 5. 1986 年 Turksen 研究了基于范式的区间值模糊集 6. 模糊连接词是模糊逻辑的重要构件 . 通常用三角范数 t 表示逻辑 “与 ”, 三角余范数 s表示逻辑 “或 ”, 强补 n 表示逻辑 “非 ”, 蕴涵算子 表示逻辑 “蕴涵 ”. 然而人们关于蕴涵算子取法的争论越来越多 , 并且一直没有定论 . 我们常常提及的蕴涵算子 有 S-蕴涵、 R-蕴涵、 QL-蕴涵 78. 它们从不同的方面阐述了人们对于蕴涵算子的理解 . 1991年法国学者 Dubois和 Prade对蕴涵算子提出了 10个条件 , 称为 D-P条件 9. 值得一提的是 10 条 D-P 条件不是相互独
8、立的 , 其中有一半均可删去 . 当然 , 把这些可由其他条件推得的条件一一并列出也有其好处 , 使人可以清楚的看到全部性质 . 从直观上 、 理论上和应用上都能较好的反映了人们对蕴涵算子的要求 , 所以 D-P 条件成为人们分析所给蕴涵算子的 “标尺 ”之一 . XOR 连接词在电脑编程中起着非常重要的作用 . 例如许多加密算法中进行原始运算 . 在二元数据处理中 , 一次性密钥是一种加密算法 , 它的码薄结合随机密钥通过模加法或异或运算生成 . XOR 连接词也广泛的应用于别的领域 . 例如它在神经网络中作为门槛 ; 用于光谱鉴定 ; 用算法来消除缓存冲突的错误 ; 用于构造无冲突的散列函
9、数 ; 用于技术开发加入 IP 路由器等等 . 此外 , 针对搜索网址的相互排斥性 , 运用 XOR 连接词可提高布尔网搜索逻辑能力 . 由于其非线性 , XOR连接词常用在神经网络支持向量机以及量子运算 . Bedregal 在文献 10中 运用模糊 XOR 连接词的 定义构造模糊 XOR 蕴涵 , 分析了其主要性质及相互关系 . 这些结果能用来软计算当中来设计控制系统的信息处理系统以及应用、决策、专家系统、模式识别等等 . 在实际应用中 , 如果信息处理的结果用区间值模糊集来表示则更能反映其模糊性和不确定性 . 尽管模糊蕴涵成为模糊命题的 “语言 ”, 它的 0,1-真值仍然是精确的 .
10、为了在逻辑上2 加强建模能力和处理不确定信息 , Zadeh 引进了区间模糊蕴涵的概念 . 近年来 , 2-型模糊蕴涵受到越来越多的关注 , 因为比起经典模糊蕴涵 , 它们为 “文字计算 ”提供了更好的框架 1 1. Alcalde 等人在文献 12中给出了一种区间值模糊蕴涵算子的构造性方法 .该方法提供了一种简单的方式去构造区间值模糊蕴涵 . 本文将构造区间值 XOR 蕴涵 , 进一步探讨区间值模糊XOR 蕴涵满足模糊蕴涵公理化体系中的哪些条件和它们之间的关系 , 并给出不同区间值模糊 XOR 蕴涵的一些例子 . 本论文内容安排如下 : 第二节简单回顾了区间值 t-模、 s-模、模糊补和区间
11、值模糊 XOR蕴涵的概念以及模糊蕴涵满足的公理化条件 . 第三节我们讨论区间值模糊 XOR 蕴涵的特征及其之间的关系 . 第四节我们讨论了由强补生成的区间值模糊 XOR蕴涵 的特征之间的关系 . 最后给出了一些区间值模糊 XOR 蕴涵的例子 . 3 2 预备知识 模糊逻辑连接词的特征和表示是模糊逻辑中的最重要和最有意义的话题之一 . 下面我们将首先回顾一些本文中会特别使用的定义 . 令 0 ,1 , | , 0 ,1 L x y x y表示闭区间 0,1 上的区间集 . 定义 2.112 1 1 2 2 , , , 0 , 1 x y x y L, 我们定义 1 1 2 2 1 2 1 2 ,
12、 , ,x y x y x x y y . 易知如此定义的 是 0,1L 上的一个偏序关系 . 定义 2.213 (Moore 距离 )我们称 1 1 2 2 1 2 1 2( , , , ) m a x | |, d x y x y x x y y 为Moore 距离 . 定义 2.312 00 , 0,1x y L 的一个邻域可以被定义为： 00( , , ) , | ( ,B x y x y d x 00, , ) y x y . 定义 2.412 如果 , 0,1x y L , ( ( , , )f B x y 都是 ( , )f x y 的邻域 , 那么称映射 : :f 0,1 0,
13、1LL 是连续的 . 定义 2.510 函数 2: 0,1 0,1LL为区间值 t-模 , 如果 , , , 0 ,1(iix y x y L i 1,2) 以下条件 : (T1) 1 1 1 1 , , , , x y x y x y x y (T2) 1 1 2 2 1 1 2 2 , ( , , ) ( , , ) , x y x y x y x y x y x y (T3) 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , , x y x y x y x y x y x y (T4) , 1,1 , x y x y 定义 2.610 函数 2: 0,1 0,1LL为区间值 s-模 ,
14、 如果 , , , 0 ,1(iix y x y L 1,2)i 以下条件 : (S1) 1 1 1 1 , , , , x y x y x y x y (S2) 1 1 2 2 1 1 2 2 , ( , , ) ( , , ) , x y x y x y x y x y x y 4 （ S3） 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , , x y x y x y x y x y x y （ S4） , 0 , 0 , x y x y 定义 2.710 满足 ( 0 , 0 ) 1 , 1 , ( 1 , 1 ) 0 , 0 NN的减函数 : 0 ,1 0 ,1N L L 称作区间
15、值模糊补 . 进一步 : (i) 如果一个区间值模糊补是严格递减且连续的 , 那么 N 就叫做严格补 ; (ii) 如果一个区间值模糊补是一个对合 , 即 ( ( , ) ) , , , 0 , 1 N N x y x y x y L ,那么 N 就叫做强补 . 例 2.112 n 是定义在 1,0 上的补 , 那么区间值模糊补 N 可表示为 : )(),( ynyxN , 1,0,),( yxxn . 若 n 是强补 , 那么 ( ( , ) ) ( ( ) , ( ) ) ( ( ) ) , ( (N N x y N n y n x n n x n n y ) , xy . 即 N 也是强
16、补 . 定义 2.810 满足下列边界条件的函数 2: 0,1 0,1LL为区间值模糊蕴涵 , 0,0 0,0 1,1; 1,1 1,1 1,1; 0 , 0 1,1 1,1; ,1 0 , 0 0 , 0 ( )a 定义 2.910 如果 0,1L 上存在一个 t-模、 s-模和一个强补 N使得 11 , , ( , x y x y x y 11( , ) ( , ) ) ( ( , ) , ) ( ( , )N x y N x y N x y x y N x y 11 , )xy , 则称 为区间值模糊 XOR 蕴涵 . 从经典蕴涵的性质出发 , Alc alde 等人 12提出了检验区间
17、值模糊蕴涵满足的一些其他的性质 . 概括如下 : 1 1 2 2 , , , , , 0 , 1 x y x y x y L. 1a 若 , 2211 yxyx , 则 1 1 2 2 , , , , x y x y x y x y . 2a , 2211 yxyx , 则 , 2221 yxyxyxyx . 3a 1,1,0,0 yx . 4a 1,11,1, yx . 5a ,1,1 yxyx . 6a 1,1, yxyx . 5 7a ),(,),(, 22112211 yxyxyxyxyxyx . 8a ,1,1, 1111 yxyxyxyx . 9a , 1111 yxyxyx .
18、10a 1 1 1 1 , , ( , ) ( , )x y x y N x y N x y , N 为强6 3 区间值模糊 XOR 蕴涵特征及其之间的关系 我们首先讨论 在任意条件下 , 区间值模糊 XOR 满足的性质 , 并且讨论区间值模糊 XOR满足所有公理化条件时 , 他们之间的关系 . 定理 3.1 区间值模糊 XOR 蕴涵满足 a2, a3, a5. 证明 , , , 0 , 1 , 1 , 2 .iix y x y L i 首先 , 我们讨论 , , x y N x y 的单调性 . 令 1 1 2 2 , , x y x y . 取 1 1 2 20 .3 , 1 ; 0 .5
19、 , 1x y x y . 则 1 1 1 1 , ,M x y N x 1 0 . 3 , 1 0 . 3 , 1 0 . 3 , 1 0 , ( 0 . 3 ) 0 . 3 , 1 y N n ; 2 2 2 2 2 , , 0 . 5M x y N x y , 1 0 . 5 , 1 0 . 5 , 1 0 , ( 0 . 5 ) 0 . 5 , 1 Nn 12MM当 1 1 2 2 , , x y x y . 取 1 1 2 20 , 0 ; 1, 1x y x y . 则 1 1 1 1 1 , , 0 , 0 0 , 0 0 ,M x y N x y N 0 1,1 1,1; 2
20、2 2 2 2 , , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 0 , 0 1 , 1 M x y N x y N 1M 2M 当 1 1 2 2 , , x y x y . 取 1 1 2 20 .3 , 0 ; 0 .5 , 0x y x y . 则 1 1 1 1 1 , , 0 . 3 , 0 0 . 3 ,M x y N x y N 0 0 . 3 , 0 1 , 0 . 3 1 , 0 . 3 nn ; 2 2 2 2 2 , 0 . 5 , 0 0 . 5 , 0 M x y N x y N 0 .5 , 0 1 , (0 .5 ) 1 , (0 .5 ) nn12MM当 1 1 2
21、 2 , , x y x y . 综上所述 , , , x y N x y 不具有单调性 . 其次 , 设 1 1 2 2 , , x y x y , 则 1 1 2 2 , , N x y N x y . 11 , , ( , x y x y x y N 1 1 1 1 1 1, , ( , , ) ( , , ) ( , , , )x y N x y N x y x y N x y x y x y N x y N x y 2 2 1 1( , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , ,N x y x y N x y x y x y N x y N x y N x y x y 22) ( , , )N x y x y 22 , , x y x y . 所以区间值模糊 XOR 满足 a2. 0 , 0 , ( 0 , 0 0 , 0 , ) ( 0 , 0 0 , 0 ) ( , 0 , 0 )x y N N x y N x y N ( 0 , 0 1 , 1 , ) ( 0 , 0 1 , 1 ) ( , 1 , 1 ) 1 , 1N x y x y . 所以区间值模糊 XOR 蕴涵满足 a3.
