1、 本科毕业论文 （ 20 届） 热传导方程差分格式的收敛性和稳定性 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘要 热传导方程的差分法是微分方程数值解法的典型例子 , 差分格式的收敛性和稳定性是研究差分格式能否被用于计算需优先考虑的问 题 . 本篇论文主要介绍了热传导方程差分格式的收敛性和稳定性 , 并得到一些简单结论 . 当网格比 12 时 , 热传导方程显式差分格式是稳定的、 收敛的 ; 而隐式差分格式在任何条件下都是绝对稳定的 . 最后用求稳定性的Fourier 方法加以验证 , 并用此方法应用到其他的热传导方程 . 关键词 : 热传导方程
2、 ; 差分格式 ; 收敛性 ; 稳定性 II Abstract Difference method of heat equation is a typical example of numerical solution of differential equations, and convergence and stability are considered before the difference scheme used to calculate. In this paper, the convergence and stability of difference scheme for
3、heat conduction equation are introduced and some conclusions are obtained. Explicit difference scheme for heat conduction equation is stable and convergence if grid ratio 1/2 , and implicit difference scheme without any condition is absolutely stable. Finally, the results are verified by the Fourier
4、 method, and the method is applied to some other heat conduction equation. Keywords: Heat Conduction Equation; Difference Scheme; Convergence; Stability III 目 录 摘要 .I Abstract . II 1 前言 . 1 2 热传导方程的导出 . 2 3 热传导方程的差分格式 . 4 3.1 热传导方程的显式差分格式 . 4 3.2 差分格式的基本要求 . 6 3.3 隐式格式及其稳定性 . 11 4 求稳定性的 Fourier 方法 .
5、 14 5 差分格 式稳定性的应用 . 16 6 小结 . 18 参考文献 . 19 致谢 .错误 !未定义书签。 1 1 前言 在实际计算物理问题中 , 常常是面对非常复杂的方程，其求解具有有很大难度 ,计算物理由此产生 . 计算物理是以计算机为工具 , 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科 , 是物理、 数学和计算机三者结合的交叉性学科 . 它产生于二战期间美国对核武器的研究 , 伴随着计算机的发展而发展 . 计算物理的目的不仅仅是计算 , 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律 . 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别 , 所不同的只是使用的工具和方法 . 有限差分法是 微分
6、方程和积分微分方程数值解的方法 . 其 基本思想是把连续的定解区域用有限 个离散点构成的网格来代替 , 这些离散点称作网格的节点 ; 把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似 ; 把原方程和定解条件中的微商用差商来近似 , 积分用积分和来近似 , 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组 , 即有限差分方程组 , 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解 . 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解 . 微分方程差分格式的构造在 3, 5, 6中均有详细的论述 , 还有一些差分方法在 7, 8中有所研究 . 差分格式的收敛性 和稳定
7、性是我们主要关心的内容 , 对一个微分方程建立的差分格式 , 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程 , 即 相容性要求 . 一个差分格式是否有用 , 就 要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解 , 即 收敛性的概念 . 此外 , 还有一个重要的概念必须考虑 , 即差分格式的稳定性 . 因为差分格式的计算过程是逐层推进的 , 在计算第 n 1 层的近似值时要用到第 n 层的近似值 , 直到与初始值有关 . 前面各层若有舍入误差 , 必然影响到后面各层的值 , 如果误差的影响越来越大 , 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖 , 这种格式是不稳 定的 , 相反如果误差的传播是可以控制的 ,
8、 就认为格式是稳定的 . 对差分格式的要求 , 即收敛性和稳定性在 3, 5, 9, 10中有仔细的论述 . 差分格式在各个科学里的应用也是非常广泛的 , 比如 1, 2, 在 4中介绍了在化学 , 生物等等学科上的应用和实用方程 . 本篇论文的内容主要是对热传导方程的收敛性和稳定性做探讨 , 并结合上述文献做出一些结论 . 2 2 热传导方程的导出 考察空间物体 G的热传导问题 , 以函数 ( , , )uxyz 表示物体 G在位置 ( , , )xyz 及时刻 t 的温度 . 依据热传学中的傅里叶实验定律 , 物体在无穷小时段 dt 内沿法线方向 n 流过一个无穷小面积 dS 的热量 dQ
9、 与物体温度沿曲面 dS 法线方向的方向导数 un 成正比 , 即 ( , , ) ,udQ k x y z dSdtn （ 1.1） 其中 ( , , )k xyz 称为物体在点 ( , , )xyz 处的热传导系数 , 它应取正值 . （ 1.1）式中负号的出现是由于热量总是从温度高的一侧流向温度低的一侧 , 因此 , dQ 应和 un 异号 . 在物体 G 内任取一闭曲面 , 它所包围的区域记为 , 由 (1.1)式 , 从时刻 1t 到时刻 2t流进此闭曲面的全部热量为 21 ( , , ) ,ttuQ k x y z dS dtn （ 1.2） 这里 un 表示 u 沿 上单位法线方
10、向 n 的方向导数 . 流入的热量使物体内部温度发生变化 , 在时间间隔 12(, )tt 中物体温度从 1( , , , )u x y z t 变化到 2( , , , )u x y z t 它所应该吸收的热量是 21( , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , , ) ,c x y z x y z u x y z t u x y z t dx dy dz 其中 c 为比热 , 为密度 . 因此就有 21 21( , , , ) ( , , , ) .ttuk d S d t c u x y z t u z y z t d x d y d zn （ 1.3） 假设函数 u
11、关于变量 ,xyz 具有二阶连续偏导数 , 关于 t 具有一阶 连续偏导数 , 利用格林公式 , 可以把（ 1.3）式化为 2211 ,ttu u u uk k k dx dy dzdt c dt dx dy dzx x y y z z t 交换积分次序 , 就得到 21 0.ttu u u uc k k k d x d y d zd tt x x y y z z （ 1.4） 3 由于 12,tt与区域 都是任意的 , 我们得到 .u u u uc k k kt x x y y z z （ 1.5） （ 1.5）式称为非 均匀的各向同性体的热传导方程 . 如果物体是均匀的 , 此时 k ,
12、c 及 均为常数 , 记 2k ac, 即得 22222 2 2 .u u u uat x y z （ 1.6） 当物体是均匀细杆时 , 假设它的侧面是绝热的 , 也 就是说不产生热交换 , 又假设温度的分布在同一截面是相同的 , 则温度函数 u 仅与坐标 x 及时间 t 有关 , 我们得到一维热传导方程 222.uuatx（ 1.7） 如果考虑薄片的热传导 , 薄片的侧面绝热 , 可以 得到二维热传导方程 222 .u u uat x y （ 1.8） 4 3 热传导方程的差分格式 3.1 热传导方程的显式差分格式 我们考虑一维热传导方程的初边值问题 22200 1 20 ( 0 , 0)
13、,( ) ( 0 ) ,( ) , ( ) ( 0) .tx x luua x l ttxu x x lu t u t t (2.1) 为了保证解的连续性 , 所给的初始条件与边界条件必须满足相容性条件 1(0) (0) , 2( ) (0)l . 现在开始建立差分格式 , 首先在它的求解区域 (0 , 0)R x l t 上作矩形网格 . 在 x轴上以步长 lx J , 把 0,l 区间 J 等分 , 并于各分点作平行于 t 轴的网格线 . 在 t 轴以步长 t 作平行于 x 轴的网格线 . 用 nju , njut, 及 22njux分别表示初边值问题的解 (,)uxt 及其偏导数 ( ,
14、 )uxtt 及22( , )uxtx在点 ( , )jnxt 之值 . 当初边值问题（ 2.1）的解在区域内部适当光滑时 , 对任一区域内部的节点 ( , )jnxt 利用泰勒公式可以得到 1212( , ) ( ) ,2nnnj j jnnju u u x tut t t tt t t 422112 2 42 ( , )() ( ) .( ) 1 2nn n nj j j njju u u u x tux | x x | xx x x 由上面两式解出 njut, 22njux, 并代入（ 2.1）的第一式 , 得到 12 4211222 2 42 ( , ) ( , )() .( ) 2
15、1 2n n n n nj j j j j j nu u u u u u x t u x ttxaat x t x （ 2.2） 又限于在节点上的考察 , （ 2.1）中的初始条件与边界条件可分别化为 5 00 1 2( ) ( 1 , , 1 )( ) , ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) .jnn Ju j x j Ju n t u n t n （ 2.3） 略去（ 2.2）右端的小量 , 就得到用差分方法求解初边值问题（ 2.1）的格式 I： 1112200 1 220,()( ) ( 1 , , 1 ) ,( ) , ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) .n n n n nj
16、 j j j jjnnJU U U U UatxU j x j JU n t U n t n （ 2.4） 这里由于差分方程（ 2.4）的解 U 与原初边值问题（ 2.1）的解 u 一般是不同的 , 所以用不同的记号表示 .用格式 I 近似热传导方程的初边值问题（ 2.1） , 所忽略掉的项 , 即截断误差是2( ) ( ) ).O t O x 记 22()ta x . 格式 I 可以简写为 11100 1 2( 1 2 )( ) ( 1 , , 1 ) ,( ) , ( ) ( 0 , 1 , 2 , ) .n n n nj j j jjnnJU U U UU j x j JU n t U
17、n t n （ 2.5） 它表示未知函数 U 在第 1n 排任一内节点上之值依赖于它在第 n 排上三个节点上之值 . 我们可以看到差分方程（ 2.5）可按 t 增加的方向逐排求解 . 事实上 , 根据初始条件与边界条件 , 可以知道第 0 排上 0 ( 0,1, , )JU j J 的值 ; 再用（ 2.5）的第一式和第三式 , 可以算出第一排上 1( 0,1, , )jU j J 的值 ; 类似地可以算出第二 , 第三排及第 0n 排上0( 0,1, , )njU j J 的值 .这里我们有一个定义 , 如果一个差分格式 , 其每一排各节点上的数值可直接由前面各排节点的数值计算得到 , 则称
18、这个差分格式为显式差分格式 . 所以格式 I是一个显式差分格式 . 上述求差分方法可以这样简化求得 , 假定微分方程初值问 题的解 (,)uxt 是充分光滑的 . 由 Taylor 级数展开有 6 111 21111( , ) ( , )( ) ,( , ) ( , )( ) ,2( , ) ( , )( ) ,( , ) ( , )( ) ,( , ) ( , )(2nj n j njnj n j njnj n j njnj n j njnj n j nju x t u x t uOtu x t u x t uOtu x t u x t uOhhxu x t u x t uOhhxu x t
19、 u x t uOhhx 2211 222),( , ) 2 ( , ) ( , )( ) .nj n j n j nju x t u x t u x t uOhht （ 2.6） 其中 为时间步长 , h 为空间步长 . 由（ 2.6）的第一式和第六式我们有 1 1 1222222( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )( ) .j n j n j n j n j nnju x t u x t u x t u x t u x tahuua O htx 如果 u 是（ 2.1）的光滑解 , 即满足 222uuatx的光滑函数 , 那么我们就得到了差分近似 1 11222 0 ( 0 , 1 , 2 ; 0 , 1 , 2 , )n n n n nj j j j ju u u u ua j nh 3.2 差分格式的基本要求 3.2.1 差分格式的相容性 相容性是指差分格式是否逼近微分方程的问题 , 并不涉及差分方程的解 . 而是将微分方程的解代入到差分方程中所得到的局部截断误差是否随着 0x , 0t 而趋于零 ? 若局部截断误差趋 于零 , 则称差分方程和微分方程是相容的 . 按照热传导方程的差分格式 , 1 11222 0()n n n n nj j j j jU U U U ULatx （ 3.1）
