1、 本科毕业论文 （ 20 届） 小波分析对于股市的预测 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 I 摘 要 小波分析是现代数学中一个迅速崛起的新领域 ,是调和分析发展史上的新进展 ,同时具有深刻理论和应用十分广泛的双重意义 .小波变化被誉为 “数学显微镜 ”,尤其是对股票数据分析有很好的预测结果 . 小波分析已经在科技资讯产业领域取得了令人瞩目的成就 .利用小波分析的变焦特性研究了股市的周期性 ,并对其成因进行了分析利用 .本文讨论了一种基于小波分析及 AR 模型股市趋势预测算法 .通过利用小波分析得到的实验数据结果进行了分析 ,我们得到的结论是小
2、波分析能够更准确的预测出股市的趋势 ,并能很好的分析出股票的周期性特性 . 关键词 : 小波变换 , 多分辨分析 , 周期性 , AR 模型 II Abstract Wavelet analysis is a new mathematics field, which developed from harmonic analysis and it is important in both theorem and application. As known as mathematics microscope, wavelet analysis has good performance in sto
3、cks prediction. Wavelet analysis in information technology industry has made remarkable achievement. Using the zoom characteristics of wavelet to periodic stock market, we studied the causes of stocks market. In this thesis we discussed a method based on the wavelet analysis and AR model market tren
4、d prediction algorithm. By using the wavelet analysis of experimental data obtained results, we come to the conclusion that the wavelet analysis can more accurately predict stock market trends, and can be a very good analysis of the stock of periodic characteristics. Keywords: wavelet transform, mul
5、ti-resolution analysis, periodic, AR model III 目 录 摘要 . I Abstract. II 前言 . 1 2 小波的理论基础 . 3 2.1 小波分析与发展史 . 3 2.2 多分辨分析与小波 . 3 2.3 小波的分解与重构 . 4 2.4 小波与小波变换 . 5 3 股票的基础知识 . 6 3.1 股票指数及定义 . 6 3.2 股票数据的预处理 . 7 4 小波分析与股市数据分析 . 8 4.1 股市周期的小波分析 . 8 4.2 基于小波分析及 AR 模型的股市趋势预测 . 9 4.3 小 波分析对于股市预测的总结 .14 5 小结 .
6、 16 参考文献 . 17 致谢 . 18 1 1 前言 小波 (Wavelet)这一术语 ,顾名思义 ,“小波 ”就是小的波形 .所谓 “小 ”是指它具有衰减性 ,而称之为 “波 ”则是指它的波动性 ,其振幅正负相间的震荡形式 .小波分析是现代数学中一个迅速崛起的新领域 ,它同时具有深刻理论和应 用十分广泛的双重意义 ,以下主要是对小波分析在股市分析中的应用进行的一些粗略的探讨 . 当今时代 ,股市是衡量经济发展的一个重要因素 ,对于股市的正确预测是国家进行宏观调控和管理的先决条件 ,同时也是提供股民正确投资的依据 .股市风云变幻 ,是一个非常复杂的系统 ,在股市中所有的行情都是受到经济 ,
7、相关产业 ,政治和投资者心理等诸多因素的影响 ,各因素的影响程度 ,因时间范围以及方式也不尽完全相同 ,而且股市中各个因素之间的相互关系也是错综复杂的 ,主次关系变化动荡不定 ,难以提取及定量分析 ,因此 ,我们需要找到一个好的办法 ,以避免或减少 这些因素的影响 . 小波变换的概念是在 1974 年由从事信号处理工作的法国工程师莫雷首先提出的 ,通过物理的直觉和信号处理经验 ,建立的实际需求的反演公式 ,当时并未能得到数学家们的认可 ,但随着数学这门科学的发展 ,前人的奠基和偶然的发现 ,著名数学家华迈耶构造出了真正的小波基 .从那时起 ,小波分析开始迅速发展起来了 .它与傅里叶变换 ,窗口
8、傅里叶变换相比 ,它是一个频率和时间的局部网域的变换 ,它能有效的通过伸缩和平移的功能运用多尺度细化分析 (Multiscale Analysis) 对函数或信号提取资讯 ,解决了傅里叶变换解决不 了的许多困难 ,因此小波变换在数学中被誉为 “数学显微镜 ”,在出来非稳定信号上有其特殊的地位和功能 ,尤其是对股票数据分析有很好的预测结果 ,在调和分析发展史上具有里程碑式的意义 . 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的 .现在 ,它已经在科技资讯产业领域取得了令人瞩目的成就 .基于对小波的基本知识包括小波的构造 ,变换 ,多分辨分析 ,分解与重构 ,双正交小波等进行的了解 ,于
9、是对小波分析在股票分析中的应用进行了讨论 .利用小波分析的变焦特性研究了股市的周期性 ,并对其成因进行了分析利用 .讨论了一种基于小波分析及 AR 模型股市趋势预测算法 .通过利用小波分析得到的实验数据结果进行了分析 ,我们得到的结论是小波分析能够更准确的预测出股市的趋势 ,并能很好的分析出股票的周期性特性 . 小波分析是上个世纪 80 年代末开发出来的一种新的信号处理方法 ,小波分析具有的 “适应性 ”和 “放大 ”的功能 ,可有效的处理非平稳信号 ,小波分析理论可以分解成不同频率的信号渠道 ,把原始信号的频率分成较为单一的信号 , 对平滑处理后信号作小波分解 ,然后重构分解的信号 ,2 用
10、非平稳时间序列处理后 ,用类似的平稳时间序列来处理 ,这样就能用一些传统的预测方法对分解重构的时间序列 进行预测了 . 在本文中 ,重点介绍了小波分析在股票的典型的非平稳时间序列预测收盘价股市预测的方法 ,使用了 mallat 算法对数据进行分解 ,对分解后的数据做了平滑处理 ,然后在重构 ,重构之后的数据就成为近似意义上的平稳时间序列 ,这样就得到了原始数据的近似信号 ,通过 AR 模型股市趋势预测算法进行处理 .如图 : 原 始 数 据 小 波 变 换 AR（ p） 模 型 预 测 误 差 均 方 根 值 得 出 结 论 3 2 小波的理论基础 2.1 小波分析与发展史 小波分析是 20
11、世纪中期发展起来的一门数学方法和理论 ,法国科学家格罗斯曼和莫雷在进行地震信号分析时所提出的 ,之后迅速发展 .迈耶在 1985 年对一维情形下的小波函数 的存在性的证明而验证的 ,而且在理论上深入研究 . Mallat 通过多分辨分析的思想 ,明确了 Mallat 算法对小波应用起重要的作用 ,它在小波分析中的地位相当于快速傅里叶级数在经典傅里叶变换中的地位 .由于小波分析理论的应用其重要性 ,所以在科技界的受到高度的重视 .小波分析的出现在数学界被认为是傅里叶分析的突破性研究 ,微分方程 ,计算机视觉 ,在逼近论 ,图像处理 ,模识识别 ,非线性科学等方面使用小波分析取得于许多突破性进展
12、.小波变换的基本思想是类似于傅里叶变换 ,就是使用信号在一维基函数形成空间上的投影 .经典的傅里叶变换是 把信号按三角正弦 ,余弦的基展开 ,将任意函数表示为不同频率的线性迭加的谐波函数 ,可以较好地描述信号的频率特性 ,但它在空间上不适应任何分辨 ,不能作局部分析 .这在理论和应用上带来了许多不足之处 .为了克服这一缺点 ,提出了加窗傅里叶变换 .通过引入一个时间定位 “窗函数 ”改善了傅里叶变换的不足 ,不过他的形状和窗口大小都是固定不变的 ,没有从根本上弥补傅里叶变换的缺陷 .而小波变换在时间和频率中同时具有良好的局部化性能 ,有一个灵活可变的时间 -频率窗 ,它与傅里叶变换 ,加窗傅里
13、叶变换相比 ,能更好的从信号中提取所需信息 ,因此小波变换 在数学中被誉为 “数学显微镜 ”,在出来非稳定信号上有其特殊的地位和功能 ,尤其是对股票数据分析有很好的预测结果 ,在调和分析发展史上具有里程碑式的意义 . 2.2 多分辨分析与小波 在小波分析的理论中 ,多分辨分析是小波函数构造的理论基础 ,它可将此前所有的正交小波基的构造统一起来 ,使小波理论产生突破性的进展 .同时 ,在多分辨分析理论分析的基础上 ,S. Mallat 引人了一种计算离散栅格小波变换的快速算法 ,即 Mallat 算法 .它可以避免 a 值越大 ,对()t 的采样就得越密的缺点 ,这一算法在小波分析中的地位非常重
14、要 ,相当于快速傅里叶变换(FFT)在经典傅里叶分析中的地位 . Mallat的工作不仅使小波分析理论取得了里程碑式的发展 ,同时也使多尺度分析在众多领域取得了许多重要的理论和应用成果 .目前 ,小波分析已经成为应用最广泛的多尺度分析 . 定义 :空间 2()LR中的一列闭子空间 jV j z 称为 2()LR的一 个多分辨分析 (MRA),如果满足如下条件 : 4 单调性 2 1 0 1 2. . . . . . ,V V V V V 逼近性2 ( ) , 0 ,jjzjz L R VjV 伸缩性 1( ( ) ) ( ( 2 ) ) , ,jjf x V f x V j Z 平移不变性 0
15、( ( ) ) 9 ( ( ) ) , ,jf x V f x k V k Z Riesz 基存在性 : 0gV 使 ( ) g x k k Z构成 0V 的 Riesz基 . 而我们现 在讨论的是将 Riesz基换成了正交基 ,这时我们称上述的多分辨分析 ( MRA) 为正交多分辨分析 ( 正交 MRA). 就是说存在 0V 使得 0, ; n nZ 是 0V 的正交基 , 这里/2, ( ) 2 ( 2 ) , .jjjn x x n j n Z 通常我们称 为这个多分辨分析的尺度函数 ,并且对于所有的 , ; , jnj Z j n Z是 jV 的正交基 .对于多分辨分析 j j ZV
16、我们给出他的正交补j j ZW ,就是对于任意的 jZ ,令 jW 为 1jV 中 jV 的正交补 ,即 1 .jjV V W 定理 :假设 j j ZV 为一个具有尺度函数 的正交多分辨分析 ,则下列尺度关系式成立 : ( ) ( 2 ),kkzx h x k 2 ( ) ( 2 ) ,kh x x k d x 1( 2 1 ) ( ) ( 2 ) .jjkzx x x k 2.3 小波的分解与重构 多小波分析是近几年来发展起来的基于小波分析理论的一种新理论 ,多小波可以同时具有对称性 ,正交性 ,短支撑性 ,高阶消失距 ,这些性质是传统实 系数小波不能同时具有的 .多小波的构造方法有多种
17、,主要利用多小波函数和多尺度函数的正交性 ,紧支撑性 ,对称性 ,高阶消失距 ,逼近性和插值性等多方面进行构造 .多小波的分解与重构算法是传统小波分解与重构算法进一步扩展 ,可以利用类似与 Mallat 塔式算法来对多小波进行分解与重构 ,但是与传统小波分解与重构算法相比 ,其复杂性和计算量有所增加 . 根据 2.2中的多分辨分析与小波给出的定义 ,则可以得出以下多小波分解和重构公式 : 1 , , 21 , , 22,2j k n j k nnj k n j k nnc H cd G c 5 *, 1 , 2 1 , 22 ( ) .j n k j k n k j k nkc H c G d
18、 这里 , 1, , , , , ,( . ) ,Tj k j k r j kc c c , 1 , , , , , ,( . ) .Tj k j k r j kd d d 与传统小波分解与重构算法比较 ,多小波分解和重构算法有两个显著特点 : (1)多小波分解前需要经过预滤波器预处理 ,多小波重构后需要经过后滤波器的后处理 . (2)传统小波的塔型算法的下一级是上一级的一维离散序列与相应一维滤波器序列的卷积 ,而多小波塔型算法是 r 维离散序列与相应滤波器矩阵的卷积 , 由于上述多小波分解与重构算法的两个特点 ,致 使其比传统小波的分解与重构算法明显复杂 ,增加了实际的计算量 ,不利于该算法
19、的实际实现 . 2.4 小波与小波变换 小波变换的基本思路是通过伸缩和平移变换原始信号通 ,分解后得到为一系列子带信号 ,并具有不同空间分率 ,不同频率特性和方向特性的 ,这些子带信号具有良好的时域 ,频域和其它的特色 .这 些特征可用来表示原始信号的局部特征 ,从而实现信号的时频局部变化分析 ,进而克服了傅里叶分析在处理这些非平稳信号和复杂图像时所存在的局限性 . 近几年小波神经网络是在小波理论突破的基础上提出的一个新的网络 .由于小波变换具有良好的时频 局部化性质 ,以及它的多分辨率功能 ,构造的小波神经网络也呈现出了良好的识别性能 .并且以小波理论为依据了小波网络的结构 ,可避免 BP网
20、络结构设计上的盲目性 ,是相当有发展前景的一种网络 . 对于小波变换的基本理论而言 ,基本小波函数的选择是很重要的 ,常常由实际应用选定 .在几何形状上小波函数一般都具有两个基本特征 :必须是振荡函数和快速收敛的函数 .在选择或构造小波函数自身时 ,必须有以上两个准则 .小波函数的几何形状变化由尺度因子和平移因子的不同所决定 . 小波分析不仅是完美的数学内容 ,而且还有重要的价值应用 ,特别是对于信号的暂 态信号分析 ,图像边缘检测 ,图像去噪 ,模式识别 ,数据压缩 ,分形信号分析等 .小波变换触摸了应用数学 , 计算机科学 ,物理学 ,图像处理 ,信号与信息处理 ,地震勘探等多个学科 .数
21、学家认为 ,小波分析是一种新的数学分支 ,它是功能分析 , 傅里叶分析 ,连贯性分析 ,数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为 ,小波分析是时间 ,尺度分析和多分辨分析的一种新技术 ,它在信号分析 ,图像识别 , 数据压缩 ,语音合成 ,地震勘探 ,计算机视觉 ,大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果 .其中本文重点介绍的 是小波分析用于股市股价的 预测处理系统 . 6 3 股票的基础知识 3.1 股票指数及定义 股票指数是指股票的价格指数 .是由证券交易所或金融服务机构编制的表明股票行市变动仅供参考的指标变化 .由于起伏无常的股票价格波动 ,投资者必然面临股票市场
22、股价变动的风险 .对于具体某一种股票的价格变化 ,投资者容易了解 ,但对于股票的价格各种变化 ,要逐一了解 ,这是不容易的 ,而且非常麻烦 .为了适应这种情况和需要 ,一些金融服务机构就利用市场的优势 ,编制并公开发布出股票价格指数 ,作为市场价格变动的指标 .因此 ,投资者据可检验自己的投资效果 ,并用以预测股票市场的趋势 .同时 ,新闻界 ,公司老板乃至政界领导人等也以此为参考指标 ,来观察 ,预测社会政治 ,经济发展形势 .因为上市股票种类繁多 ,计算全部上市股票或指数的平均价格是艰巨而复杂的 ,因此人们常常从上市股票中选择一些富有代表性的样本股票 ,并计算这些样本股票的平均价格指数 .
23、来表示整个市场的股票价格总趋势及涨跌幅度 .计算平均股价指数时经常考虑以下四点 :(1)样本股票必须有一个典型的范例 ,普通性 ,为此 ,选择样本对应考虑其产业布局 ,市场影响力 ,股票等级 ,其他的因素 .(2)要有科学的计算手段和依据 .计算依据的途径必须统一 ,一般都是用收盘价 作为计算的依据 ,不过随着计算频率的增加 ,有的以每小时价格甚至更短的时间价格计算 .(3)计算方法应具有高度的适应性 ,能对不断变化的股市行情作出相应的调整或修正 ,使股票指数或平均数有较好的敏感性 . (4)基期应具备较好的代表性和均衡性 . 股票指数由于是反映一国国民经济发展状况和趋势的 “晴雨表 ”,一般
24、应该由一些具有权威性和名气大的金融服务公司或金融研究组织编制 ,并定期公布 ,才能反映股价变化的综合因素 .同时 ,股票指数要求能够准确 ,综合地反映股市价格变化及其发展趋势 ,使投资者根据股票指数资料进行分析 ,从中找出具有规律 性的结论 ,并依据自己的投资经验 ,对股市的行情变化进行预测 ,从而减少投资的盲目性 ,获得更多的投资回报机会 . 股票指数一般具有三大功能 : (1)作为市场活动的反映以及整体经济活动的指标 . (2)作为衡量投资的表现 ,特别衡量基金的表现 . (3)作为金融产品为题材的基础上 ,特别是作为机构投资者发展风险管理和避险工具的基础 . 计算股票指数时 ,往往把股票指数和股价平均数分开计算 .并且计算股票指数 ,要考虑三个因素 :一是抽样 ,即在众多股票中抽取少数具有代表性的成份股 ,二是加权 ,按单价或总值加权平均 ,或不加权平均 ,三是计算程 序 ,计算算术平均数 ,几何平均数 ,或兼顾价格与总值 .按定义 ,股票
