1、毕业论文题目数学分析中各种收敛间的关系学院数学与统计学院姓名专业班级10数应三班学号20101010316指导教师讲师提交日期2014年5月20日原创性声明本人郑重声明本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名年月日论文指导教师签名目录引言11数列收敛与级数收敛间的关系12反常积分的收敛、条件收敛和绝对收敛之间的关系13正向级数的敛散性与反常积分敛散性之间的关系24级数的条件收敛
2、和绝对收35函数列的收敛、一致收敛与内闭一致收敛间的关系451NF收敛于XF的定义452函数列NF一致收敛与收敛间的关系453收敛与内闭一致收敛间的关系554一致收敛与内闭一致收敛间的关系66函数项级数间的收敛、一致收敛及内闭一致收敛间的关系761函数项级数与函数列之间的关系77函数项级数的绝对收敛与一致收敛871函数项级数中绝对收敛和一致收敛的相互独立性872函数项级数的绝对收敛和一致收敛的相互关联性98含参量反常积分的一致收敛与函数项级数一致收敛间的关系9参考文献10致谢11数学分析中各种收敛间的关系天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水,741000摘要对数学分析中的各种收敛关系进行了汇总
3、,对各种收敛之间的内容进行了分析、比较列出了它们之间的它们之间的异同,为的是读者在遇到有关收敛问题的难题时,可以方便查找、翻阅关键词数列级数反常积分收敛一致收敛内闭一致收敛RELATIONSHIPSOFTHECONVERGENCEBETWEENNUMBERSASERIESOFNUMBERSANDSERIESYANJUNLISCHOOLOFMATHEMATICSANDSTATISTICS,TIANSHUINORMALUNIVERSITY,TIANSHUIGANSU,741000ABSTRACTTHECONVERGENCEOFMATHEMATICALANALYSISSUMMARIZESTHEREL
4、ATIONSHIPOFVARIOUSANALYSESANDCOMPARISONSOFTHECONVERGENCEBETWEENCONTENTBETWEENTHESIMILARITIESANDDIFFERENCESBETWEENTHEMARELISTEDINORDERWHENREADERSAREEXPERIENCINGISSUESRELATEDTOCONVERGENCEPROBLEMS,YOUCANEASILYFINDIT,READITKEYWORDSSERIES,SERIES,IMPROPERINTEGRAL,CONVERGENCE,UNIFORMLYCONVERGENT,CLOSEDINUN
5、IFORMCONVERGENCE数学与统计学院2014届毕业论文1数学分析中各种收敛间的关系引言文章通过对数学分析中的各种收敛关系的汇总,对各种收敛之间的内容进行了分析、比较列出了它们之间的它们之间的异同,为的是读者在遇到有关收敛问题的难题时,可以方便查找、翻阅同时,也对数学分析中的各种收敛的理解更为方便1数列收敛与级数收敛间的关系定义11如果NA是数列,且为定数A,00N，总对,当NN时,有AAN,我们就说数列收敛于NA常数A常数A就是数列NA的极限,记NLIMAAN或者NAAN若没有极限NA,则称NA不收敛或称NA发散定义22级数的收敛,给定一个数列NA,把它的各项用“”号连接起来,就得到
6、表达式N21AAA称为常数项级数或者级数,记为NA该级数的前N项和记为NSN1KNAN21AAA称之为数项级数的部分和如果级数NA的部分和数列NS收敛于S,就称级数NA收敛,记作SNA11数列的收敛与级数的收敛间的关系级数NA是由数列NA的每一项加起来的,故31若级数NA收敛,则必有NA收敛,且必有NLIMNA0,否则如果NA不收敛于0,则必0,使得NA,由CAUCHY收敛准则,NA发散,这与NA收敛矛盾2NA发散,NA不一定发散。如NA1,知NLIMNA1,但NA,NA收敛,但NA发散3NA发散,则NA必发散,否则就有NLIMNA0,与NA发散相矛盾2反常积分的收敛、条件收敛和绝对收敛之间的
7、关系21反常积分的收敛、条件收敛和绝对收敛的定义数学与统计学院2014届毕业论文2定义14设函数F定义在无穷区间上，A,且在任何有限区间UA，上可积,如果存在极限NLIMJDXXFUA,记作DXXFAJ,并称DXXFA收敛如果NLIMDXXFUA不存在,则称级数DXXFA发散定义2当DXXFA收敛时称DXXFA绝对收敛,DXXFA收敛但不绝对收敛时称DXXFA条件收敛22条件收敛与绝对收敛间的关系1条件收敛不一定绝对收敛例0,PDXXSINXP1因为对任意的1U时,都有2COSU1COSSINXDXU1而PX1当P0时,单调趋于0X,由DIRICHLET判别法知0,PDXXSINXP1总是收敛
8、的另一方面,因为，1XX2COSXX21XXSINXSINX2P其中DTTCOST21DXX2X2COS21满足DIRICHLET判别法的条件,是收敛的,但是DXX211是发散的,所以当时，10PDXXSINX1P07XNU收敛,则必有NLIMXUN0,即XUN收敛于0,否则如果NLIM0XUN则会00,0,XUNNNN时有当对由CAUCHY准则,XNU发散2XNU发散,XUN不一定发散例XNX在BA,0A上不收敛,即在XBA,上发散NXXUN,NLIMXUN0,即XUN收敛于03若XUN发散,则XNU必发散,否则必有NLIMXUN0,就与XUN发散矛盾,数学与统计学院2014届毕业论文8函数
9、项级数的收敛、一致收敛及内闭一致收敛收敛间的关系跟函数列的完全一样7函数项级数的绝对收敛与一致收敛绝对收敛为数项级数中所具有的概念,但是一致收敛却是函数项级数中所引出来的,在函数级数中,如果把收敛域中某一特定点带入函数项级数,就将函数项级数变为数项级数,此时便出现了函数项级数在收敛域中各点是否绝对收敛和它本身是否一致收敛交织在一起的问题871函数项级数中绝对收敛和一致收敛的相互独立性函数项级数里,绝对收敛与一致收敛是相互独立的两个概念,两者没什么必然的联系,可以举出一些绝对收敛但不是一致收敛,一致收敛但非绝对收敛的例子例19函数项级数上非一致收敛都绝对收敛，但在对RRXXXN,122证0RX对
10、,XUXUNNN1LIM11111LIM212222XXXXXNNN,当时，0X0122NXX,所以函数项级数NXX221在R上绝对收敛但该级数的余项NNNNXXXXXR222122111111RMXNNMZN1,1,3100对,使得311122MMMMMR所以NXX221在R上非一致收敛例2211XNN在R上一致收敛,但RX0对,非绝对收敛证11,11NKKZN对,即级数11N的部分和在R上一致有界RX对,21XN单调减小,并且NXN112,也就是012上一致收敛于在RXN,跟数学与统计学院2014届毕业论文9据DIRICHLET判别法知,211XNN在R上一致收敛但RX对,有111LIM2
11、NXNNN,而N1发散,所以211XNNRX对非绝对收敛72函数项级数的绝对收敛和一致收敛的相互关联性XNU的绝对收敛与一致收敛虽然没有什么必然的联系,但是在一定条件下,却能得到绝对收敛和一致收敛同时成立的结论,即SWEIERSTRAS的判别法XNU定义在D数集上,NM是收敛的正项级数,也就是绝对收敛,对于DX,都有2,1,NMXUNN,我们就称XNU在D上一致收敛例函数项级数，在2NSINNX上一致收敛,因为，对X,有221SINNXNN,而正项级数21N是收敛的7310对于各项单调的级数,还可以有如果各项单调的级数XNU在BA,的两个端点处绝对收敛,则此级数必在BA,上绝对且一致收敛证因为
12、ANU与BNU都收敛,令BUAUMNNN,MAX,则BUAUMNNN0,由迫敛性知,NM收敛由于XUN在BA,上单调,从而有,2,1,NBXAMXUNN,由正项级数的比较判别法及函数项级数的优级数判别法知XNU在BA,上绝对且一致收敛8含参量反常积分的一致收敛与函数项级数一致收敛间的关系7DYYXFC,在I上一致收敛的充分必要条件为对的单调递增数列XUDYYXFCAANAANNN1,1函数项级数其中在I上一致收敛数学与统计学院2014届毕业论文10证因为反常积分DYYXFC,在I上一致收敛,所以对MAACM,0使得当时,对于所有的,AADYYXFIX，总有,又因为NAN,故对0M,都存在正整数
13、N,只要满足M0N,就能得到由,MAANM对于一切的,AADYYXFIX，总有,从而得出111,MNMMNNAAAAAAMNDYYXFDYYXFDYYXFXUXU,这就表明了级数XNUDYYXFNNAA1,在I上一致收敛反证如果DYYXFC,在I上不一致收敛,则00,使得对MC,AAIXM和,使得0,AADYYXF,现取C,1MAXM1,则存在IXM112AA和,使得0121,AADYYXF,一般的取2,MAX12NANMNN,则有IXMNN12N2NAA和,使得0N2N12N,AADYYXF,由上述所得到的函数列NA是递增数列,且NNALIM,现考察级数XUNDYYXFNAANN11,由0N
14、2N12N,AADYYXF知存在某个正数0,对NZ,只要NN,就XUIXNN2，使得0N2N12N,AADYYXF,这与级数XUNDYYXFNAANN11,在I上一致收敛相矛盾,从而DYYXFC,在I上一致收敛11参考文献1华东师范大学数学系数学分析（第四版）M北京高等教育出版社,20102吉米多维奇,数学分析习题集题解M济南山东科学技术出版社,19813苏婷,周静含参量反常积分一致收敛法探讨J周口师范学院学报,2011,28（2）42454刘玉莲,傅沛仁数学分析（第三版）M北京高等教育出版社,19925陈传璋,金福临数学分析M北京高等教育出版社,19936宋泽成含参量瑕积分的一致收敛法探讨J
15、唐山师范学院学报,2008,30512157黄慧,陈辉含参量反常积分的一致收敛性J高等数学研究,14（1）3419938陈纪修,於崇华,金路数学分析M北京高等教育出版社,20009程其囊,张奠宇事变函数与泛函分析基础第三版M北京高等教育出版,198210杨曼英关于函数列收敛与一致收敛的一点思考J娄底师专学报,200411滕文凯收敛与一致收敛J承德名族师专学报,200012马雪雅,齐晓波函数列的收敛与一致收敛J昌吉学院学报,200612致谢在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师老师的悉心指导,在此表示衷心的感谢代老师严谨治学的态度使我受益匪浅在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,最后才能使得我顺利完成论文同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友
