1、 1 / 37 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考 的重点 内容， 已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题 ，在高考中以各种题型中均出现， 对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大 . 【方法点评】 类型 一 利用导数研究函数的极值 使用情景： 一般函数类型 解题 模板 ： 第一步 计算 函数()fx的 定义域 并求出函数()fx的导函数()； 第二步 求方程( ) 0的根 ； 第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论
2、写出极值 . 例 1 已 知函数xxxf ln1) ， 求函数fx的 极值 . 【答案】 极小值为 1，无极大值 . 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令( ) 0fx，可解出其极值点，然后根据导函数大于 0、小于 0即可判断函数()fx的增减性，进而求出函数()的极大值和极小值 【变式演练 1】 已知函数 3 2 2()f x x ax bx a 在 1处有极值 10，则 (2)f等于 （ ） A 11 或 18 B 11 C 18 D 17或 18 【答案】 C 【解析】 2 / 37 试题分析：baxxxf 23)( 2, 101 023 2aba ba 114012 232 b
3、aaa ab或 33ba当 33ba时 , ,0)1(3)( 2xxf在 1x处不存在极值 当 114ba时， )1)(113(1183)(2 xxxxxf，0)(),1,311( xf；)(),1( xfx,符合题意所以 114ba181622168)2( f故选 C 考点： 函数的单调性与极值 【变式演练 2】 设函数 21ln 2f x x ax bx ，若 1x是fx的极大值点，则 a的取值范围为（ ） A 1,0B 1, C 0,D , 1 0, 【答案】 B 【解析】 考点： 函数的极值 【变式演练 3】 函数xmxmxxf )1(2)1(2131)( 23 在)4,0(上无极值，
4、则 m_. 【答案】 【解析】 试题分析：因为xmxmxxf )1(2)1(2131)( 23 ， 所以 2( ) ( 1 ) 2( 1 ) 2 1f x x m x m x x m ，由 0fx得 2x或 1xm，又因为3 / 37 函数xmxmxxf )1(2)1(2131)( 23 在)4,0(上无极值，而 2 0,4，所以只有 12m， 3时，fx在 R上单调，才合题意，故答案为 3. 考点： 1、利用导数研究函数的极值； 2、利用导数研究函数的单调性 . 【变式演练 4】 已知等比 数列na的前 项和为12nnSk，则32( ) 2 1f x x k x x 的极大值为（ ） A 2
5、 B52C 3 D72【答案】 B 【解析】 考点： 1、等比数列的性质； 2、利用导数研究函数的单调性及极值 【变式演练 5】 设函数( ) (1 )f x x a x ax 有两个不同的极值点 1x， 2， 且对不等式 12( ) ( ) 0f f x恒成立 ， 则实数 a的取值范围是 【答案】1( , 1 , 22 【解析】 试题分析：因为( ) ( ) 0f x f x,故得不等式 3 3 2 21 2 1 2 1 210x x a x x a x x ,即 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 1 2 0x x x x x x a x x x x a x x , 由于
6、 2 3 2 1f x x a x a , 令 0fx得方程 23 2 1 0x a x a , 因 24 1 0aa , 故 122 133x x aaxx ， 代 入 前 面 不 等 式 , 并 化 简 得4 / 37 1 a 22 5 2 0aa ,解不等式得 1或1 22 a，因此 , 当 1a或1 22 a时 , 不等式 120f x f x成立 ,故答案为1( , 1 , 22 . 考点： 1、利用导数研究函数的极值点； 2、韦达定理及高次不等式的解法 . 【变式演练 6】 已知函数 32 20f x x ax x a 的极大值点和极小值点都在区间 1,1内 , 则实数 a的取值范
7、围是 【答案】32a【解析】 考点：导数与极值 类型二 求 函数在闭区间上的最值 使用情景： 一般函数类型 解题模板：第一步 求出 函数()fx在开区间(, )ab内所有极值点； 第二步 计算函数 在极值点和端点的函数值 ； 第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 . 例 2 若函数 2xf x e x m x ，在点 1, 1f处的斜率为 1e （ 1）求实数 m的值； （ 2）求函数fx在区间 1,1上的最大值 【答案】（ 1） 1；（ 2） maxf x e. 【解析】 试题分析：（ 1）由(1) 1fe 解之即可； 5 / 37 （ 2） 21xf x e
8、x 为递增函数且 11 1 0 , 1 3 0f e f e ,所以在区间( 1,1)上存在 0x使 0( ) 0fx ，所以函数在区间 0 1 x上单调递减，在区间 0 ,上单调递增，所以 m a x m a x 1 , 1f x f f，求之即可 . 试题解析： （ 1） 2xf x e x m ， 12f e m ，即 21e m e ，解得 1m； 实数 m的值为 1； （ 2） 21xf x e x 为递增函数， 11 1 0 , 1 3 0f e f e ， 存在 0 1,1x ，使得 0 0fx ，所以 m a x m a x 1 , 1f x f f， 11 2 , 1f e
9、f e ， m ax 1f x f e考点： 1.导数的几何意义； 2.导数与函数的单调性、最值 . 【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（ 1）问中，难度偏小 ，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围 . 【变式演练 7】 已知xexxf 1)( . （ 1）求函数)(xfy最值； （ 2）若)()( 2121 xxxff ，求证：021 x. 【答案】（ 1） )(f取最大值1)0()(
10、 max fxf，无最小值；（ 2）详见解析 . 【解析 】 试题解析： （ 1） 对)(xf求导可得xxxx e xe exexf 2 )1()(， 6 / 37 令0)( xe xxf得 x=0. 当)0,(x时，0)( xf，函数)xf单调递增； 当),0( 时，)( f，函数)f单调递减， 当 x=0时，)(xf取最大值1)0()( max fxf，无最小值 . （ 2）不妨设 21xx，由（ 1）得 当)0,(时，0)( f，函数)f单调递增； 当),0( x时，)( xf，函数)xf单调递减， 若)()( 21 xff ，则 210 xx ， 考点： 1.导数与函数的最值； 2.导
11、数与不等式的证明 . 【变式演练 7】 已知函数( ) lnf x x x，2( ) 2g x x ax . （）求函数()fx在 , 2( 0)t t t上的最小值； （）若函数( ) ( )y f x g x有两个不同的极值点 1 2 1 2, ( )x x x且 21lnxx，求实数 a的取值范围 . 7 / 37 【答案】（）m in110() 1ln ,teefxt t t e ，；（）2 ln 2ln 2 ln( ) 133a . 【解析】 试题分析：（）由 ( ) ln 1 0f x x ，得极值点为1x e，分情况讨论10 t e及1t e时，函数)(xf的最小值；（）当函数(
12、 ) ( )y f x g x有两个不同的极值点，即 l 2 1 0y x x a 有两个不同的实根 1 2 1 2, ( )x x x，问题等价于直线ya与函数( ) ln 2 1G x x x 的图象有两个不同的交点，由)(xG单调性结合函数图象可知当m in 1( ) ( ) ln 22a G G 时， 12,xx存在，且21xx的值随着 a的增大而增大，而当 21ln2xx时，由题意1122ln 2 1 0ln 2 1 0x x ax x a ， 214代入上述方程可得44 ln 23，此时实数 a的取值范围为2 ln 2ln ln( ) 1a . 试题解析：（）由 ( ) ln 1
13、0f x x ，可得1x e， 10 t e时，函数()fx在(, )te上单调递减，在1( , 2)te 上单调递增， 函数()在 , 2( 0)t t t上的最小值为11()f ee， 当1t e时， 在, 2tt上单调递增， m in( ) ( ) lnf x f t t t ， m in110() 1ln ,teefxt t t e ，； 8 / 37 两式相减可得1 122ln 2( ) 2 ln 2x xxx 214xx代入上述方程可得44 ln 23， 此时2 ln 2ln 2 ln( ) 133a ， 所以，实数 a的取值范围为2 ln 2ln 2 ln( ) 1a ； 考点：
14、导数的应用 【变式演练 8】 设函数 ln 1f x x. （ 1）已知函数 21 3 14 2 4F x f x x x ,求Fx的极值； （ 2）已知函数 2 2 1 0G x f x ax a x a a ,若存在实数 2,3m,使得当 0,xm时 ,9 / 37 函数Gx的最大值为 Gm,求实数 a的取值范围 . 【答案】（ 1）极大值为 0，极小值为3ln2 4；（ 2） 1 ln2, . 【解析】 ,F x F x随 x的变化如下表 : 0,11 ,22 2,Fx 0 0 3ln2 4当 1x时 ,函数取得极大值10F ;当 2x时 ,函数Fx取得极小值 32 ln 2 4F .
15、当1 12a, 即12a时 , 函数fx在10,2a和1,上单调递增 , 在1,12a上单调递减 , 要10 / 37 存在实数 2,3x,使得当 0,xm时 , 函数Gx的最大值为Gm,则 1 22GGa,代入化简得 1l n l n 2 1 04a a . 令 11l n 2 l n 2 142g a a aa , 因 11 1 04ga aa 恒成立 , 故恒有 1 1 1l n 2 0 ,2 2 2g g a 时 ,式恒成立 ; 综上，实数 a的取值范围是 1 ln2, . 考点：函数导数与不等式 【 高考再现 】 1. 【 2016高考 新课标 1卷】（本小题满分 12分）已知函数
16、221xf x x e a x 有两个零点 . (I)求 a的取值范围； (II)设 x1,x2是fx的两个零点 ,证明：2xx. 【答案】(0 )试题解析 ;（ ）( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )xxf x x e a x x e a （ i）设 0a,则( ) ( 2) xf x x e,()fx只有一个零点 （ ii）设 ,则当( ,1)x时 ,( ) 0；当(1, )x 时 ,( ) 0fx所以()在( 1)上单调递减 ,在(1 )上单调递增 又(1)fe,(2)fa,取 b满足 0且ln2ab,则 22 3( ) ( 2) ( 1 ) ( ) 022af b b a b a b b ,
