1、高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ .例 2 一个正方体的各顶点均在同
2、一球的球面上，若该正方体的表面积为 4，则该球的体积为_.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2，则此球的表面积为 .例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16 B. 20 C. 24 D. 323.求多面体的外接球的有关问题例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面89周长为 ，则这个球的体积为 .3解 设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有xhhx243689213正六棱柱的底面圆的半径
3、 ，球心到底面的距离 .r 23d外接球的半径 . 体积： .2drR34RV小结 本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球2dr的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外3接球的表面积是_.例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积 .942rS小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体cba,的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有 . 出现“墙角”结构利用补形知识，联系R22
4、c长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ，cba,则体对角线长为 ，几何体的外接球直径为 体对角线22cbal R2长 即l2R练习：在四面体 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分ABCD别为 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面3,61积。球的表面积为 1642RS例 6 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点2在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 3436例 7 已知球 的面上四点 A、B、C、D， ， ，OABC平 面，则球 的体积等于 .3BCAD解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球
5、的直径，由于 ，ABCD平 面，联想长方体中的相应线段关系，构造如图 4 所示的长方体，BCA又因为 ，则此长方体为正方体，所以 长即为外3D接球的直径，利用直角三角形解出 .故球 的体积等于 .（如3CO29图 4）DACBO图 4ACBDO图 52、例 8（2008 年安徽高考题）已知点 A、B、C、D 在同一个球面上， ， ，若 ，则球的体BCDA平 面8,132,6积是解析：首先可联想到例 7，构造下面的长方体，于是 AD为球的直径，O 为球心， 为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，4OCB只要求出 即可，在 中，求出 ，所以 ，ARt460O故 B、 C 两点间的球面距离是 .（
6、如图 5）3本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是A. B. C. D. .16202432小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点ABCDS 2都在同一球面上，则此球的体积为 CBAS,解:设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 ，1OO如图 1 所示.由球的截面的性质，可得 .ABCD平 面1又 ，球心 必在 所在的直线上.ABCDSO平 面SCDA BSO1图3 的外接
7、圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就ASC是外接球的半径.在 中，由 ，22,2ACSACS得 .为 斜 边 的 直 角 三 角 形是 以 ACS 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 .12 34球V小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五 .确定球心位置法例 5 在矩形 中， ，沿 将矩形ABCD3,4BCA折成一个直二面角
8、 ，则四面体 的外接ABCDD球的体积为A. B. C. D.125912561253125解:设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，O可知 .点 到四面体的四个顶点 的距离相DOCBA DCBA,等，即点 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示.外接球的半径.故 .25R612534RV球出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三CA ODB图 4角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上，O且 求球 的体积。BCA10,5,7ACPB解： 且 ,因为 所以知:2210)5(22P所以 所以可得图形为：PCA在 中
9、斜边为BRtA在 中斜边为取斜边的中点 ，在 中ABCRtOC在 中P所以在几何体中 ，即为该四面体的外接球的球心AB所以该外接球的体积为52AR 3504RV球【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1. （陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A 43 B 3 C 43 D123答案 B2. 直三棱柱 1ACB的各顶点都在同一球面上，若2, 0，则此球的表面积等于 。 解:在 中 , 12AC,可得 23BC,由正弦定理,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为 ，在 RTO
10、中，易得球半径 5R，故此球的表面积为 240. 3正三棱柱 1ABC内接于半径为 的球，若 ,AB两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案 84.表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A 23 B 13 C 23 D答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由2384a知，1，则此球的直径为 2，故选 A。5.已知正方体外接球的体积是 3，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 2 B. 2 C. 324 D.34答案 D6.（2006 山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 3 B. 13 C. 13 D. 19答案
11、C7.（2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为 3，则这个球的体积为 答案 348. （2007 天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 答案 49.（2007 全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2410.（2006 辽宁）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_答案 6711.（辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 2 12.（2009 枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）A 3B 2C 16D以上都不对答案 CABCPDEF13.设正方体的棱长为 ，则它的外接球的表面积为（ ）233A 38 B2 C4 D 34答案 C
