1、- 1 -2009 年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）数学（理工农医类）第 I 卷一， 选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。（1 ） 已知集合 ,则1,3579,0,36912ABNACBI(A) (B) , 57(C) (D) 9,(2) 复数 32ii（A）0 （B）2 （C ）-2i (D)2（3 ）对变量 x, y 有观测数据理力争（ ， ） （i=1,2, ，10） ，得散点图 1；对变量 u ，v 有1xy观测数据（ ， ） （i=1,2,，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。1uv（A）变量 x 与
2、 y 正相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关（C ）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关（4 ）双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为21（A） （B ）2 （C） （D）133（5 ）有四个关于三角函数的命题： x R, + = : x、y R, sin(x-y)=sinx-siny1p2sin2cosx12p: x , =sinx : sinx=cosy x+y=3042其中假命题的是（A） ， （B） ， （3） ， （4） ，1p42p4p32p4- 2 -（6 ）设 x,y 满足24
3、1,xyzxy则（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C ）有最大值 3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7 ）等比数列 的前 n 项和为 ，且 4 ，2 ， 成等差数列。若 =1，则 =ans1a31a4s（A）7 （B ）8 （3）15 （4）16（8 ） 如图，正方体 的棱线长为 1，线段 上1ACB1BD有两个动点 E，F，且 ，则下列结论中错误的是 2（A） （B） /ABCD平 面（C）三棱锥 的体积为定值（D）异面直线 所成的角为定值,EF（9 ）已知 O，N，P 在 所在平面内，且，且 ，则点,0ABABNCPABCPAO，N，P 依次是 的（
4、A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C ）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）（10 ）如果执行右边的程序框图，输入 ，那么输出的各个数的合等于2,0.5xh（A）3 （B） 3.5 （C ） 4 （D）4.5（11 ）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c ）为2m（A）48+12 （B ）48+24 （C ）36+12 （D）36+2422- 3 -（12 ）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值设 f（ x）=min , x+2,10-x (x 0),则 f（x）的最大值为2x（A）4 （B）5
5、 （C ）6 （D）7第 II 卷二、填空题；本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13 ）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2） ，则直线 的方程为_.（14 ）已知函数 y=sin（ x+ ） （ 0, - ）的图像如图所示，则 =_ （15 ）7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答） 。（16 ）等差数列 前 n 项和为 。已知 + - =0， =38,则 m=_anS1ma2m21S三、解答题：解答应写出说明文字，证
6、明过程或演算步骤。（17 ） （本小题满分 12 分）为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A， B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂平面内（如示意图） ，飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出） ；用文字和公式写出计算 M，N间的距离的步骤。- 4 -（18） （本小题满分 12 分）某工厂有工人 1000 名， 其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人） ，另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人） ，现用分层抽样方法（按 A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查
7、100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数） 。（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表 2.表 1：生产能力分组0,10,120,130,40,5人数 4 8 x5 3表 2：生产能力分组 10,210,310,410,5人数 6 y 36 18（i）先确定 x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方
8、图直接回答结论）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m - 5 -（19 ） （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 倍，P 为侧棱 SD 上2的点。 （）求证：ACSD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若 SD 平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小（）在（）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 使得 B
9、E平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值；若不存在，试说明理由。（20 ） （本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.（）求椭圆 C 的方程；（）若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， =，求点 M 的OP轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21 ） （本小题满分 12 分）已知函数 32()xfxabe- 6 -（I） 如 ，求 的单调区间；3ab()fx（II） 若 在 单调增加，在 单调减少，证明()fx,2(,
10、2)6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （22 ）本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，已知 的两条角平分线 和 相ABCADCE交于 H， ，F 在 上，06且 。E（I） 证明：B,D,H,E 四点共圆：（II） 证明： 平分 。Ew.w.w.k.s.5.u.c.o.m （23 ） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程。已知曲线 C ： （t 为参数） ， C ： （ 为参数） 。1cos,3inxy28cos,3inxy（1 ）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；12（2 ）若 C
11、 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线2t2PQM（t 为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3,:xy（24 ） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲如图，O 为数轴的原点， A,B,M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点的距离，y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和.（1 ）将 y 表示成 x 的函数；- 7 -（2 ）要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1解析：易有 ，选 ANACB1,572解析： ,选
12、 D32ii32322613iiiii3.解析：由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关,选 C4.解析：双曲线 - =1 的焦点(4,0)到渐近线 的距离为 ,选 A24x1yx4023d5.解析： ： x R, + = 是假命题； 是真命题，如 x=y=0 时成立； 是真1p2sin2cosx12p3p命题， x , =sinx； 是假命题，0i sinisinxx， 4。选 A.22如 =,y时 ， sin=coy,但 x+6.解析：画出可行域可知，当 过点（2，0 ）时， ，但无最大值。选 B.zmin2z7.解析： 4 ，2 ， 成等差数列，1a3,选 C
13、.221311 4,4,40,15qaq即 ， S8.解析：A 正确，易证 B 显然正确，;ACDBACE平 面 ， 从 而；C 正确，可用等积法求得；D 错误。选 D./,/EFBD平 面 易 证9.解析：;, 0OONOABC由 知 为 的 外 心 ； 由 知 ， 为 的 重 心0, .PAPABAPBCC， ，同 理 ， 为 的 垂 心 ， 选10.【 解析】第 1 步：y 0， x1.5；第 2 步：y0 ，x1；第 3 步：y0，x0.5；第4 步：y0，x0；第 5 步： y0，x0.5 ；第 6 步：y 0.5，x1；第 7 步：y 1，x1.5；第 8 步：y 1，x2；第 9
14、 步： y1，退出循环，输出各数和为：0.5111 3.5 ，故选.B。11.【 解析】棱锥的直观图如右，则有 PO4，OD3 ，由勾股定理，得 PD5 ，AB6 ，全2面积为： 662 65 6 44812 ，故选.A 。222212.【 解析】画出 y2 x，y x2，y 10 x 的图象，如右图，观察图象可知，当 0x2 时，- 8 -f（x）2 x，当 2x3 时，f（x）x2，当 x4 时，f（x）10x，f（x）的最大值在x4 时取得为 6，故选 C。.13.解析：抛物线的方程为 ，4y21121, xAxyBx则 有 ，2121121244yyxy两 式 相 减 得 ， ，直 线
15、 l的 方 程 为 -=x,即答案：y=x14.解析：由图可知， 544,2,125Tx把 代 入 y=sin有 ：89,5101=sin答案： 9015.解析： ，答案：140374C16.解析：由 + - =0 得到1ma2m。122210, 13810mmaSa又答案 10(17) 解：方案一：需要测量的数据有：A点到 M，N 点的俯角 ；B 点到 M，1,N 的俯角 ；A ，B 的距离 d （如图）2,所示） . .3 分第一步：计算 AM . 由正弦定理 ；21sin()dAM第二步：计算 AN . 由正弦定理 ；21is()N- 9 -第三步：计算 MN. 由余弦定理 .2 1co
16、s()MNAMAN方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角 ， ；B 点到 M，N 点的府角 ， ；A ，B 的距离 d （如图12所示）.第一步：计算 BM . 由正弦定理 ；12sin()d第二步：计算 BN . 由正弦定理 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12is()BN(18) 第三步：计算 MN . 由余弦定理解：2 2co()MNBM（）甲、乙被抽到的概率均为 ，且事件“甲工人被抽到 ”与事件“乙工人被抽到”10相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .10p（） （i）由题意知 A 类工人中应抽查 25 名，B 类工
17、人中应抽查 75 名.故 ，得 ，4852x5x，得 . 6317y1y频率分布直方图如下从直方图可以判断：B 类工人中个体间的关异程度更小 .（ii） ，48531051251422Ax，6368.877B3.10x- 10 -A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为 123，133.8 和 131.1 .（19 ）解法一：（）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意 。在正方形 ABCD 中， ，所SACACBD以 ,得 .CSD平 面 CS()设正方形边长 ，则 。a2a又 ，所以 ,2O06SO连 ，由（）知 ,所以 , w
18、.w.w.k.s.5.u.c.o.m PACBD平 面 ACOP且 ,所以 是二面角 的平面角。ACDP由 ,知 ,所以 ,S平 面 S03即二面角 的大小为 。P03（）在棱 SC 上存在一点 E，使 /BPAC平 面由（）可得 ，故可在 上取一点 ,使 ,过 作 的平行线24DaSNDNPC与 的交点即为 。连 BN。在 中知 ，又由于 ,故平面SCA/O/E，得 ,由于 ,故 ./BENPA平 面 /BEPC平 面 21P： ： 21S： ：解法二：（） ；连 ,设 交于 于 ，由题意知 .以 O 为坐标原DABCD平 面点， 分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立坐标系 如图。OBCS， ， xyzxyz设底面边长为 ，则高 。a62SOa于是 (0,),(,0)Dw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2(,)Ca(0,)O
