1、绝密考试结束前2009 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5页，选择题部分 1至 2页，非选择题部分 3至 5页。满分 150分，考试时间 120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共 50分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24SRVSh球的体积公式 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱
2、柱的高h棱台的体积公式3V其中 R 表示球的半径 )(3121S棱锥的体积公式 其中 S1、S 2 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高13VSh其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高 如果事件 互斥，那么h ,AB()()PABP一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设 ， ， ，则 （ ）UR|0x|1BxUABA B C D|01x|0x|1x1 B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质【解析】 对于 ，因此
3、 UCxU|12“ ”是“ ”的 （ ）0xA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2 A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度【解析】对于“ ” “ ”；反之不一定成立，因此“ ”是“ ”的0x0x0xx充分而不必要条件3设 （ 是虚数单位），则 （ ）1zi2zA B C D1i1i1i3D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度【解析】对于 22(1)1ziii4设 是两个不同的平面， 是一条直线，以
4、下命题正确的是 （ ）,lA若 ，则 B若 ，则 ,l/,/llC若 ，则 D若 ，则 / 4C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系【解析】对于 A、B、D 均可能出现 ，而对于 C 是正确的/l5已知向量 ， 若向量 满足 ， ，则 （ (1,2)a(,3)bc()/ab()cac）A B C D7,937,97,397,935D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用【解析】不妨设 ，则 ，对于 ，(,)Cmn1,2
5、,(,1)acmnab/cab则有 ；又 ，则有 ，则有3(1)2b307,93mn6已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且1(0)xyabFAB轴，BF直线 交 轴于点 若 ，则椭圆的离心率是 （ ）AP2ABA B C D32 13126D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用【解析】对于椭圆，因为 ，则2AP12,OAFace7某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是（ k）A B 45C D677A 【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用，通过对程序语言的考查，充分体现了数学程序语言中循环语
6、言的关键【解析】对于 ，而对于0,1ksk，则 ，后面是 ，不1,32ks,38,k13,82,4ksk符合条件时输出的 48若函数 ，则下列结论正确的是（ ）()()afxRA ， 在 上是增函数0,B ， 在 上是减函数aR()fx0,)C ， 是偶函数D ， 是奇函数8C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问【解析】对于 时有 是一个偶函数0a2fx9已知三角形的三边长分别为 ，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为（ 3,451）A B C D3 69C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识，全面而不失灵活，
7、考查的方法上面的要求平实而不失灵动，既有切线与圆的位置，也有圆的移动【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现10已知 是实数，则函数 的图象不可能是（ ）a()sinfxax10D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度【解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为 ，而 D 不符合2,1,2TaT要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了 非选择题部分（共 100分）注意事项：1用黑色字
8、迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。11设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则 na12qnnS4a1115 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前 项和的知识联系【解析】对于4 4314413(),15()sqsaq12若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，cm则此几何体的体积是 312 18 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几
9、何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为 ，139319因此其几何体的体积为 1813若实数 满足不等式组 则,xy2,40,xy的最小值是 2313 4【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性区域的要求，也体现了线性目标函数最值求解的要求【解析】通过画出其线性规划，可知直线 过点 时，23yxZ,0min234xy14某个容量为 的样本的频率分布直方图如下，则在区间 上的数据的频数为 10 45)14 30【命题意图】此题考查了频率分布直方图，通过设问既考查了设图能力，也考查了运用
10、图表解决实际问题的水平和能力【解析】对于在区间 的频率/组距的数值4,5为 ，而总数为 100，因此频数为 300.315某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288超过 50 至 200 的部 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318分超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388若某家庭 5 月份的高峰时间
11、段用电量为 千瓦时，低谷时间段用电量为 千瓦2010时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）15 【命题意图】此题是一个实际应用性问题，通过对实际生活中的电费的计算，148.既考查了函数的概念，更侧重地考查了分段函数的应用【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为 ；对于低50.6810.59峰部分为 ，二部分之和为50.280.31416设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数nanS48S122S列类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， ， 成等nbnT4 162T比数列16 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列
12、中等差8124,T数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列 的前 项积为 ，则 ， ，nbnT4812,T成等比数列162T17有 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 ，其0 ,1k中 ,19k从这 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 ）不小于 ”为,0 91014，A则 ()P17 【命题意图】此题是一个排列组合问题，既考查了分析问题，解决问题的能力，14更侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平【解析】对于大于 14 的点数的情况通
13、过列举可得有 5 种情况，即，而基本事件有 20 种，因此7,8;916,;78,19()PA14三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分 14 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足ABC, ,abc，2cosA （I）求 的面积； （II）若 ，求 的值3BC 118解析：（） 53)2(1cos220090423又 ， ，而 ，),0(A54cos1sin2A35cos. bACB所以 ，所以 的面积为：5bcBC2541inb（）由（）知 ，而 ，所以5b所以 32cos22 a19（本题满分 14 分）如图， 平面 ，DA
14、BC， ， ，/EBDAE10分别为 的中点（I ）证明： 平面 ；,PQ, /PQD（II）求 与平面 所成角的正弦值B19（）证明：连接 ， 在 中， 分P,E,别是 的中点，所以 ， 又 ，, 21/BC2/所以 ，又 平面 ACD ，DC 平面 ACD， DCP/所以 平面 ACDQ（）在 中， ，所以ABQA, A而 DC 平面 ABC， ，所以 平面 ABCE/EB而 平面 ABE， 所以平面 ABE 平面 ABC， 所以 平面 ABEEC由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP/所以 平面 ABE， 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP，DP所以直线 AD
15、与平面 ABE 所成角是 A在 中， ，ARt5122C1sin2QC所以 5i20（本题满分 14 分）设 为数列 的前 项和， ， ，其中 是nSna2nSk*nNk常数（I） 求 及 ；1an（II）若对于任意的 ， ， ， 成等比数列，求 的值*mNm24m20、解析：（）当 ，1,1kSa（ ）12)1()(,22 knnnn 经验， （ ）式成立， ka（） 成等比数列， ，m42,m42.即 ，整理得： ，)18)()14( kkk 0)(对任意的 成立， N0或21（本题满分 15 分）已知函数 32(fxaxxb(,)aR（I）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，
16、求 的值；()fx 3（II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围(1,)解析：（）由题意得 )()(2 200904232009042320090423又 ，解得 ， 或3)2()0afb0b3a1（）函数 在区间 不单调，等价于x1,导函数 在 既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数即函数 在 上存在零点，根据零点存在定理，有)(f,， 即：01 0)2()1(23)()(23 aa整理得： ，解得)1(5a522（本题满分 15 分）已知抛物线 ： 上一点 到其焦点的距离C0xpy,4Am为 174（I）求 与 的值；pm（II）设抛物线 上一点 的横坐标为 ，过 的直P
17、()tP线交 于另一点 ，交 轴于CQx点 ，过点 作 的垂线交 于另一点 若MCN是 的切线，求 的最小值Nt22解析（）由抛物线方程得其准线方程： ，根据2py抛物线定义点 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 ，解得)4,(mA 41721p抛物线方程为： ，将 代入抛物线方程，解得yx2)4,(mAm（）由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为 0，设其为 。,2tPQk则 ，当 则 。)(:2ktylPQ,02ktx),(2tM联立方程 ，整理得：yxt2 )2t即： ，解得 或)()(tkt ,tx，而 ， 直线 斜率为,2QPNNk1，联立方程)(1)(:2tkxtkylNQyxtkty2)()(整理得： ，即：022 ttx01)(2tktkx，解得： ，或)(t ktx1)(tkx，,)(2kktN20090423)1(1)( 22ktktktKNM而抛物线在点 N 处切线斜率： ktyktx 2)(1)( 切MN 是抛物线的切线， ， 整理得ttk2)(20212ttk，解得 （舍去），或 ，)(42t3t 3t2mint
