1、第五节 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量 有微小变化时，求函x数 的微小改变量)(xfy.)(xfxfy这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数 ，差值)(xf却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将 表)(ff y示成 的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化x的一种数学模型.分布图示 引言 问题的提出 微分的定义 可微的条件 例 1-2 基本微分公式 微分运算法则 例 3 例 4 微分的几何意义 复合函数的微分法 例 5 例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 微分近似计算公
2、式 例 11 例 12 常用近似计算公式 例 13 误差计算 例 14 内容小结 课堂练习 习题 2- 5 返回内容要点一、微分的定义定义 1 设函数 在某区间内有定义, 及 在这区间内, 如果函数的增)(xfy0x量 可表示为)(00fxfy(5.1)(oA其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 在点 可微, 并且称 为函数 在fy0xA)(xfy点 处相应于自变量改变量 的微分, 记作 , 即0xxd(5.2)x二、函数可微的条件(5.8)fy)(5.9)xd即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”.三、微分的几何意义四、基本初等函数的微分公式与微分运算法
3、则五、微分形式不变性无论 是自变量还是复合函数的中间变量, 函数 的微分形式总是可以按微分定u )(ufy义的形式来写，即有 dfy)(这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算.六、利用微分进行近似计算： 近似值的计算 误差计算. (5.10)dy例题选讲微分的定义例 1 (E01) 求函数 当 由 1 改变到 1.01 的微分.2xy解 因为 由题设条件知 ,d,x01.xd所以 .021.2dy例 2 (E02) 求函数 在 处的微分.3xy解 函数 在 处的微分为 32dxdy23)(.1基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例 3 (E03) 求函数 的
4、微分.xey23解 因为 23)(xxx232)2(xe所以 dedy或利用微分形式不变性 )()(232xxeddxex232 .)23(dxx例 4 (E04) 求函数 的微分.ysin解 因为ix2icox所以 dy.sin2d微分形式的不变性例 5 (E05) 设 求 .),1sin(xyy解 设 则,iu2)(sdducos)12()(xddx2)1cos(.)1cos(dx注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便.例 6 设 求),1ln(2xey.y解 )1ln(2xedy)1(22xxed)(22xdexxde12.12xe例 7 (
5、E06) 设 求),l(2y.y解 1lnxd )1(122xdx dxx122.12x例 8 (E07) 已知 求 .,2xeydy解 2)(dxy422xde .)1(32dxex例 9 (E08) 在下列等式 的括号中填入适当的函数, 使等式成立.tcos(1) ; (2) dtdcos)( )()(in2xdd解 (1) ,ins1tt;sin1t一般地，有 .css1tCt(2) ,cos421o)(i 222 xdxxd).(cs4()(sin2例 10(E09) 求由方程 所确定的隐函数 的微分3yxey)(xfydy.解 对方程两边求微分, 得 ),2()(3xd),(2)(3
6、ydxydex ,2dyyexy于是 .2exy利用微分进行近似计算例 11(E10) 半径 10 厘米的金属圆片加热后 , 半径伸长了 0.05 厘米, 问面积增大了多少?解 设 (厘米), (厘米).,2rA1005.r（厘米 ）.dAr205.12例 12 计算 的近似值.36cos解 设 为弧度), 取xf)(,sin)( xf(,30x60,213f .2f所以 360cos06cs 360sinco36021.492例 13(E11) 计算下列各数的近似值 :(1) (2) ;5.983.03e解 (1) 33.1.3105.3015.0.9(2) 03.103.e.97例 14(E12) 正方形边长为 米，求出它的面积，并估计绝对误差与相对误05.412差.解 设正方形的边长为 ,面积为 ,则xy.2x当 时, 41.2x ).(801.5)4.2(2my.8241.41. xx边长的绝对误差为 面积的绝对误差为 ,.x).(0241.5.m面积的相对误差为 %.4081.52y课堂练习1. 求函数 的微分 .xydy2. 因为一元函数 在 的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导)(f0数, 导数就是微分”,判断这种说法对吗?3. 设 且 , 证明,0AnB|, (A, B 为常数)1nA并计算 的近似值.10
