1、20102011 学年度第二学期 农机、电气、电子、机制、网络、土木工程、工管、物理、计算机、工管接本、机制接本 专业线性代数试卷（A 卷）答案一.选择题（每小题 5 分，共 25 分）1设 均为 n 阶矩阵，且 ，则有（ C ）,ABBOA 或 ； B ； C 或 ； DO0AB。 02 若 ， ，则 ( B )317123EA ； B. 6； C. ； D. 12.93设矩阵 ，4 维列向量 ， ， ， 线性无关，则向量组20531234， ， ， 的秩为（ D ）1A234AA1； B. 2； C3； D4；4. 设 ， ， 是 的基础解系，则基础解系还可以是（ B ）230xA ； B
2、 ；13kk1231,C ； D 。2, 25. 若二次型 是正定的，数 满足条件( 21231313(,)fxaxbcx,abcD )A B 0,abc,0C D c二设 ，解矩阵方程 。 （13 分）1231416AX答案：方程两边左乘 ,右乘 ，得 ,所以 ,所以A ()6EA，-5 分16()XAE因为 , -3 分2341234EA则 -5 分12636()63241XAE三求 4 阶行列式 的值。 （12 分）234aabbDccdd答案： 123412 112()3 34 4aabb bbrracdcc ccdd d （每个变换 2 分）2134 0(1)2(1)34rcabab
3、cd四已 知 向 量 组 线 性 无 关 ， 且 ， ，321,1323。 证明向量组 线性无关。 （12 分）3 2,答案：设 ，即1230kk13 123()()()0-4 分整理得 -2 分13233k由于 线 性 无 关 ， 故 有 -2 分321,1320k系数行列式 ，由克拉默法则，方程组有唯一零解：01532D， -3 分123k所以 线性无关。 -1 分,五求线性方程组 的通解。 （18 分）12346590137xx答案： 122659031659034747Ar213r 026（写出增广矩阵 3 分，32r 13102124r 30512每个变换 1 分，变换结束总共 8
4、分）方程组的基础解系存在，且基础解系中含有 2 个解向量。-1 分原方程组等价于 ， -1 分12435xx令自由未知量 ，得方程组一个特解 。-2 分240(5,0)原方程组对应的齐次方程组等价于 ，分别令 ， ，代入1243xx241x240同解方程组得 ， ，则得对应齐次方程组的基础解系为：130x13， -4 分1(,)2(,01)所以原方程组的通解为 （ ， 为任意常数） 。-2 分1kk2六设二次型 123233, 4fxxx1、写出此二次型的系数矩阵 。A2、用正交变换 将此二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵 。 （20 分）yPx P答案：1、 -3 分3012A2、 -3 分det()E00122(1)3得到 A 的特征值为 ， 。-2 分1,23则化为标准形为 。-2 分fy对于 ，解齐次方程组 ，对系数矩阵做初等行变换1()0EAx()E4021等价于 ，令 ，得 单位化得()0Ax123xx1(0,)； -3 分1,2同理 时，23()EA0201对应的特征向量分别为 ， 正交，单位化得231,(,)TT23,-5 分23(1,0)(,)T所求的正交变换矩阵为 -2 分123(,)P012
