1、 1 / 4 2018 北京市朝阳区高三第二次综合练习 数 学（理） 第 卷（共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 个小题 ,每小题 5分 ,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2| log 1A x x， |1B x x ，则 AB （ ） A (12， B (1 )， C (12)， D 1 )， 2.在 ABC 中， 1AB ， 2AC ，6C ，则 B（ ） A4B4或2C 34D4或 343.执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为（ ） A 10 B 13 C 40 D 121 4.在极坐标系中，直线 l ： cos sin
2、 2 与圆 C ： 2cos 的位置关系为（ ） A相交且过圆心 B相交但不过圆心 C.相切 D相离 5.如图，角 ， 均以 Ox 为始边，终边与单位圆 O 分别交于点 A ， B ，则 OAOB（ ） A sin( ) B sin( ) C.cos( ) D cos( ) 2 / 4 6.已知函数22() x xafx x x a ， ， 则“ 0a ”是“函数 ()fx 在 0 )， 上单调递增”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者
3、得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1分 .若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ） A 4 B 5 C.6 D 7 8.若三个非零且互不相等的实数 1x ， 2x ， 3x 成等差数列且满足1 2 31 1 2x x x ，则称 1x ， 2x ， 3x 成一个“ 等差数列” .已知集合 | 100M x x xZ， ，则由 M 中的三个元素组成的所有数列中，“ 等差数列”的个数为（ ） A 25 B 50 C.51 D 100 第 卷（共 110 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9.计算21(1 )i
4、 10.双曲线 22xy（ 0 ）的离心率是 ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 . 11.若 3 1()nxx展开式的二次项系数之和为 8 ，则 n ；其展开式中含31x项的系数为 .（用数字作答） 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 . 13.已知不等式组 0 21 ( 1)yxyy k x在平面直角坐标系 xOy 中所表示的平面区域为 D ， D 的面积 S ，则下面结论： 当 0k 时， D 为三角形；当 0k 时， D 为四边形； 3 / 4 当 13k时， 4S ；当 103k 时， S 为定值 . 其中正确的序号是 14.如图，已知四
5、面体 ABCD 的棱 AB 平面 ，且 2AB ，其余的棱长均为 1.四面体 ABCD 以 AB 所在的直线为轴旋转 x 弧度，且始终在水平放置的平面 上方 .如果将四面体 ABCD 在平面 内正投影面积看成关于 x 的函数，记为 ()Sx，则函数 ()Sx的最小值为 ； ()Sx 的最小正周期为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15.已知函数 ( ) 2 si n (si n c os )f x x x x a 的图象经过点 ( 1)2， aR . （ 1）求 a 的值，并求函数 ()fx 的单调递增区间； （ 2）若当 0 2
6、x ，时，不等式 ()f x m 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 16.某市旅游管理部门为提升该 市 26 个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分 .每项评分最低分 0 分，最高分 100 分 .每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下： 请根据图中所提供的信息，完成下列问题： （ 1）若从交通得分排名前 5 名的景点中任取 1个，求其安全得分大于 90 分的概率； （ 2）若从景点总分排名前 6 名的景点中任取 3 个，记安全得分不大于 90 分的景点个数为 ，求随机变
7、量 的分布列和数学期望； （ 3）记该市 26 个景点的交通平均得分为 1x ，安全平均得分为 2x ，写出 1x 和 2x 的大小关系 .（只写结果） 17. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PBC 平面 ABCD . PBC 是等腰三角形，且 3PB PC.在梯形 ABCD 中，AB DC ， AD DC ， 5AB ， 4AD ， 3DC 4 / 4 （ 1）求证： AB 平面 PDC ； （ 2）求二面角 A PB C的余弦值； （ 3）在线段 AP 上是否存在点 H ，使得 BH 平面 ADP ？请说明理由 . 18. 已知函数 2( ) 2xf x xe ax ax （ a
8、R ） （ 1）若曲线 ()y f x 在点 (0 (0)f， 处的切线方程为 30xy ，求 a 的值； （ 2）当 1 02 a时，讨论函数 ()fx 的零点个数 . 19. 已知抛物线 2:2C y x . （ 1）写出抛物线 C 的直线方程，并求出抛物线 C 的焦点到准线的距离； （ 2）过点 (2 0)， 且斜率存在的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A ， B ，且点 B 关于 x 轴的对称点为 D ，直线 AD与 x 轴交于点 M . 1）求点 M 的坐标； 2）求 OAM 与 OAB 面积之和的最小值 . 20. 若无穷数列 a 满足：存在pqaa（ p ， *q ， p
9、q ），并且只要pqaa，就有p i q Ia ta(t 为常数，1 2 3i ， ， ， ），则成 na 具有性质 T . （ 1）若 na 具有性质 T ，且 3t ， 1 4a ， 2 5a ， 4 1a ， 5 5a ， 7 8 9 36a a a ，求 3a ； （ 2）若无穷数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2nnSb（ bR ），证明存在无穷多个 b 的不同取值，使得数列 na 具有性质 T ； （ 3）设 nb 是一个无穷数列，数列 na 中存在 pqaa （ p ， *qN ， pq ），且 1 cosn n na b a （ *nN ），求证：“ nb 为常数列”是“对任意正整数 1a ， na 都具有性质 T ”的充分不必要条件 .
