1、1132 排列问题 1：航空公司如果在甲乙丙丁四个城市中每两个城市都开直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？分析：为便于观察，我们以树形图进行枚举如下：丁丙乙甲 丁丙甲乙 丁乙甲丙 丙乙甲丁由此可知共 种单程飞机票1234上述问题，我们可以理解为如下两个步骤完成这样一件事：第一步：从甲乙丙丁四个城市中选出一个城市作为出发城市，有 种选择；4第二步：从剩下的三个城市中选出一个城市作为目的地，有 种选择；3所以由乘法原理，共有 种直达机票34同样的问题在 13.1 的问题（3）中即将开始中国足球超级联赛 支俱乐部队一个赛际主客场制共安排多少场比赛？12我们可以理解为如下两个步骤完成这样一件事：
2、第一步：从 支俱乐部队中选出一个城市作为主场，有 种选择；12 12第二步：从剩下的 支俱乐部队中选出一个城市作为客场，有 种选择；所以由乘法原理，共有 场比赛1出发城市 目的城市 第 1 步 第 2 步 主场 客场 第 1 步 第 2 步 2问题 2：在 个数字中选出 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？913分析：可考虑分三步完成，如图第一步：从 个数字中选出 个数字作为百位上数字，有 种选择；9119第二步：从剩下的 个数字中选出 个数字作为十位上数字，有 种选择；8 8第一步：最后从剩下 个数字中选出 个数字作为个位上数字，有 种选择；7 7所以由乘法原理，共有 个不同的三位数
3、9在运用乘法原理时，可发现它们的每一步中选择对象都来自于同一个对象集，而且在完成一件事的过程中每一个对象不能重复选取，并且有次序性这类似与生活中的“排队”现象从这两个例子中可看出，如果将城市、比赛队伍、数字这些研究的对象抽象为元素，那么这些问题都是同一类型的问题问题（1）可看作从 个不同的元素中任取 个进行“排队”的种数问题；和从 个4212不同的元素中任取 个进行“排队”的种数问题；2问题（2）可看作从 个不同的元素中任取 个进行“排队”的种数问题；93所谓“排队”即从中选出元素按一定的次序排成一列，我们称之为一个排列一般地，从 个不同的元素中取出 （ ）个元素，按一定的次序排成一列，我们称
4、nmn为从 个不同的元素中取出 个元素的一个排列其中，当 时，我们称为 个元素nmn的一个全排列显然，两个排列相同，当且仅当取出元素相同且排列次序相同从 个不同的元素中取出 （ ）个元素的所有排列的总数，称为从 个不同的元素nmnn中取出 个元素的排列数，用符号 表示 而 的全排列数为 PnmP百位 十位 个位第 1 步 第 2 步 第 3 步3问题（1） ，和 ；12342P13221P问题（2） 50789例 1：试写出从 这 个字母中每次取出两个的所有排列，并计算其排列数edcba,解：（略） 20452P例 2：在全班 名同学中任意选出 名同学担任班长、副班长和学习委员，共有多少种不3
5、同的选法？分析：一种选法（班长，副班长，学习委员） ，即从全班 名同学中选出 名同学的一个503排列，故所有选法的个数即从 个元素中取出 个元素的排列数50350P如何计算 350P确定一组不同的选法可考虑分三步完成，如图第一步：从 名同学中选出一名同学担任班长有 种选法；5050第二步：从剩下的 名同学中选出一名同学担任副班长有 种选法；4949第一步：最后从剩下 名同学中选出一名同学担任学习委员有 种选法；8 8所以，由乘法原理共有 种选法1760489503P从中可以看出，从 个不同的元素中取出 个元素的排列数 可按如下方法计算：nmmnP每一个排列可看作是从 个不同的元素中取出 个元素
6、放入 个有序空位上而得，即一种填法就是一个排列填 个空位可分为 步完成：m第 1 步：从 个元素中取出 1 个元素填入第 个空位,共有 种填法；n1n班长 副班长 学习委员第 1 步 第 2 步 第 3 步第 1 空位 第 2 空位 第 3 空位 第 m1 空位 第 m 空位第 1 步 第 2 步 第 3 步 第 m1 步 第 m 步4第 2 步：从剩下 个元素中取出 1 个元素填入第 个空位,共有 种填法；1n21n第 3 步：从剩下 个元素中取出 1 个元素填入第 个空位,共有 种填法；232第 步：从最后剩下 个元素中（前面已填了 个元素）取出 1 个元素填入m1mn1m第 个空位,共有
7、 种填法；由乘法原理，全部填满 个空位共有 填法2nn所以 这里 121nPmn 这一公式称为排列数公式其共有 个连续正整数相乘积的形式m特别地，当 的全排列数n1231nPn为表示方便，我们将正整数 到 的连续乘积 ，称为 的阶1!n记 为乘那么， !nP例 2： 名学生排成两排拍照，每排 人，共有多少种不同的排法？105解：方法 1： 名学生排成两排，第一排共有 种排法；第二排共有 种排法；510P5P由乘法原理，共有 !10510P方法 2： 名学生排成两排，其等价于 名学生排成一排，可指定左边 名学生为5第一排，余下 名学生为第二排，两者一一对应故所求问题的每一个排法等价于名学生的一个
8、全排列，其全排列数 10 !10P练习 1：求满足 的 值92nP练习 2：（1）试猜测： 的展开形式；!（2）化简： 1321!n 5练习 3：安排 名工人分别当车工、钳工、刨工、铣工、油漆工，已知工人甲不能当钳工5和油漆工，问有多少种安排方法？例 3：某次电影展，有 部参赛影片，影展组委会要求某影院分两天播映这 部电影，每12 12天 部，其中有两部不能在同一天放映，共有多少种不同的排片方法？6注：带限制要求的元素一般可优先考虑安排。 练习（3）例 3例 4： 本各不相同的书，数学书 本，英语书 本，语文书 本，832（1）要求 本数学书， 本英语书和 本语文书分别放在一起，共有多少种排法？32（2）要求 本数学书和 本英语书分别放在一起，共有多少种排法？例 5：用 这 个数字可以组成多少个满足下列条件的数？901（1） 没有重复数字的三位数？（2） 没有重复数字的三位奇数？考虑到 1232121 mnnmnnPm!为使该公式在 时亦成立，可规定n1!0所以， !mPn6例 6：求证： 212mnPn
