1、- 50 -第二章 导数与微分教学要求：1、重点内容：导数的概念，导数正确理解导数作为变化率的概念，微分是函数增量的线性主部的概念，掌握函数局部线性化的思想。2、熟练掌握初等函数的求导法则，明确初等函数的导数仍是初等函数的几何意义，初等函数导数的求法，微分的概念。本章计划 14 学时（习题课 2 学时）2.1 导数概念在很多实际问题中，当我们研究量的变化时，变化的快慢常是一个很重要的问题。例如物质运动的速度、物体温度变化的速度等，它们的共同问题即量的变化快慢问题，即量的变化速度问题，先从两个实际例子出发，然后导出本章的研究对象导数。一两个引例- 51 -1、质点作变速直线运动的瞬时速度某点作直
2、线运动 s=f(t)为运动规律（位置函数），求质点在时刻 t0时的速度 V(t0)。当时间由 t0变化到 t 时，质点在这一段时间 t-t0内从位置 s0=f(t0)移动到 s=f(t)平均速度 ，0)(tfts如果时间间隔选得较短，这个比值与 t0时刻的速度近似，这个平均值能大致描述在 t0时的运动速度，容易想象，tt 0的过程中， 这种描述愈精确。确切地：令 tt 0，取上式比值的极限，如果极限存在，设为 v，即 v= ，这时就把这个极限值 v0)(lim0tft称为质点在时刻 t0的（瞬时）速度。如：初速为零的自由落体运动 在时刻 t 的速21gts度为 v= 0022 )(lim1li
3、lim000 tttgtsttt 2、切线问题（曲线在一点的切线斜率）（1）切线的一般定义设 M 为曲线 C 上一定点，在 C 上另取一点 N，作割线 MN，当点 N 沿曲线 C 趋向点 M 时，如果割线MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT，直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线。 （极限位置：只要弦 - 52 -|MN|0，NMT0）（2）C；y=f(x) M(x0,y0) y0=f(x0)要定出曲线C 在点 M 的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点 M 外另取 C 上一点 N(x,y),割线 MN 的斜率。当点 N 沿的 倾 角为其 中 MNxfxytg,)(00CM
4、时， xx 0，如果当 xx 0时，上式的极限存在，设为 k，即 k= 存在，则此极限 k 是割线斜0)(lim0xfx率的极限，即切线的斜率 k=tg。NMT= 及 xx 0时 可见 xx 0时NMT0。像这两个实际问题一样，还有许多问题：非均匀细棒的线密度总是、比热问题、角速度（加速度）等，都要研究在非均匀的变化过程中因变量对自变量的变化率，从中抽取具体的物理意义，单纯研究变量间的内在联系，得到微分学基本概念导数。二导数的定义1、有关变化率的概念都归结为如下的极限：分别是 x,y 的增量:)(,)(lim0000 xfxxfx 和这 里)(, 000fffy- 53 -xffxyxx )(
5、limli,0, 0000 或上 式 可 写 为即 。定义：设函数 y=f(x)在点 x0的某邻域内有定义，当自变量 x 在 x0处取得增量 （点 x+ 在该邻域内）时，相应地因变量 y 取得增量 ；如果 与)(00xfxfyy之比当 0 时的极限存在，则称函数 y=f(x)在点xxx0处可导，并称此极限为 y=f(x)在点 x0处的导数，记为，即 =0y0xy fxfy)(limli0or .00)(,),(xxdff *1.不同形式:.hxfxfxff hx )(li)(li)( 00000 *2. 是因变量 y 在区间 上的平均变化y0,率, 是 y 在点 x0处的变化率,反映了 y 随
6、 x 的变化0x而变化的快慢程度。*3.如果上式极限不存在,则称 f(x)在 x0处不可导。2、导函数-如果 y=f(x)在开区间 I 内的每点处都可导,就称函数 f(x)在开区 间 I 内可导。这时,对任一xI,都对应着 f(x)的一个确定的导数值。这样，这个函数叫原来函数 y=f(x)的导函数，记作 。dxfyxf或,简称导数。即- 54 -，在求极hxfxfxfxffy hx 00 limlim或限过程中，x 是常量， 是变量。而 00xff三.求导数举例例 1. f(x)=C,求 xf0limlim00 hChxfh* 区 别ff例 2. f(x)=xn，求在 x=a 处的导数。112
7、1limli nnnnax axxfff 即 12100!lili nnnxx xxyy ，有为 常 数更 一 般 地 ynn ,1 1x例 3. f(x)=sinxxx xxfx xcos2sinlmcosli 2sincs2liisil00 00 同法可得 xsin例 4例 求 .0001i2 处 的 导 数在 xxf- 55 - 有 界 量无 穷 小 * 01sinlim01sinlimli 0200 xxfxyxf x例 5 处 的 导 数求 在f由 此 得处 不 可 导在不 存 在 时时显 然 .0,lim1lim,1li00lili00 000 xfxy xxxf xxx四.单侧导
8、数与不可导的例子是一个极限值,由极限存在的充要条件为左、0f右极限存在且相等，得分别称为 f(x)hxfxfhxfxf hh 0000limlim 在 x0的左、右导数， 显然：f(x)在 x0可导00,fff(x)的左、右导数存在且相等。例.求 处 的 导 数在001sinxxxf。不 存 在不 存 在 ,silmsil00 fhhhh ex: 。处 的 导 数在 11n2xxxf- 56 -如果不 存 在10lim1ln21lim11lni 1ln21ln2li11lm0 00 0fx xffxxffx xx x f(x)在开区间(a,b)内可导,且 都存在,就说bfa及f(x)在闭区间上
9、可导 。五导数的几何意义由 y=f（x）图形知， 是割线的斜率xy，而这个,为 割 线 的 倾 角tg 00lim, xf存 在若时极限是 k， 为切线的倾角。若xftg则切线垂直于 x 轴（x=x 0）。,0xf易知，y=f(x) 在 M0(x0,y=0)处的切线与法线方程为:yy0= (xx0) yy0=-f 001xf例: 求 y=x3在 (1,1)处与点(0,0)处 的切线方程（！），,0,312xxyy：证明 y=0在 x=x=0处的切线方各为 02xy证 xyxyxyxf 0200000 ,2,2 由切 线- 57 -例：曲线 上哪一点处的切线与直线23xy平行？（，）六可导与连续
10、的关系可导一定连续连续不一定可导。证明：由于0lim0.lim0 xfyxfyxxfAyxx即 .0处 连 续函 数 在时x反例 。在 原 点 没 有 切 线但 不 可 导处 连 续在 .x连续是可导的必要条件，非充分条件。例 连续不可导几个特殊点：角点。左、右极限存在但不相导。拐点。左、右极限分别为 、 。尖点。左、右极限同时为 或 。小结:1.验证函数在某点可导:a.可直接根据定义.b.有时要求左、右导数分段函数在分段点处。2.下列三种情形，x 0处肯定不可导。- 58 -a.在 x0处不连续 。 在 x=0 处。x1b.在 x0处连续。左、右导数至少有一个不存在。在 x=0 连续，但左、右导数都不存1sin在。C.在 x0处连续。左、右导数都存在，但不辅导。在 x=0 处连续，左、右 导数存在不相 导。x
