1、15 级微积分 1复习要点依据微积分教学大纲和教考分离制度对微积分 1 期末考试说明如下：一、 试卷题型与考试知识要求试卷客观题与主观题比例大约为 30%与 70%，客观题主要考查基本概念与基本关系，主观题主要考查基本运算和基本理论。对基本概念、基本关系的要求表述为理解，对基本运算、基本理论的要求表述为会求或会证明。题型（题量） 选择题（8） 填空题（8）计算题（10）证明题（2）分值 16 分 16 分 60 分 8 分二、 知识点及要求第一章 函数、极限与连续（26%）1、理解函数的定义域；（1）函数 的定义域是 . 21yx1,0)(,（2）函数 的定义域是 。 lg()2,（3）函数
2、的定义域是 。2yx(0)（4）函数 的定义域是 。arcos31,52、会求各种未定型的极限.例如 、 、0coslimnx10li(2)xx01lim()xe（1）计算极限 01cosliinx解： = =0cslimix 20lix1（2）计算极限 .10li(2)xx解： = = = 10lim()xx 210li()x210lim()xxe（3）计算极限 .0li()1xxe解： =01lim()xxe01li()xe= = =20lix001limli2xxee2（4）计算极限 01coslitanxx解： = =20cs2limtaxx20()lix（5）计算极限 10li()x
3、x解： = = 10lim()xx 10li()x10=lim()xx.e（6）计算极限 )12(li1x解： =)(lim21x22111(limlilim.2xxx（7）计算极限 .20li(sin)xx解： = = 120lim(si)xx 12ln(si)0ixe120limn(si)xe= = =l(1si)im2x0sil2x（8）计算极限 .2cot0li(3tan)x解： =2cot0lim(13tan)xx 21tan0lim(13t)x 2312tan0lim(3t)x=2312tan0li(t)xx.e（9）计算极限 .10lim(3)xx解： = = = 10li()x
4、x 310li()x310lim()xxe（10）计算极限 2lim()4xx解： =21li()4x22(13lilim.4xx（11）计算极限 1li().n1x解： 1lim().n1xx1lnlilim()xxx111lili.nn2x x（12）计算极限 0cos2lim()x解：2001cos2inlil1n()xx（13）计算极限1li()xxe解： .1lim()lixxe（14）计算极限 201lix解： /20001lililim()xxxe（15）计算极限 0ln12is3x解： 00ln(12)2imli.s33xx3、理解无穷小的运算 (1) 下列极限计算正确的是（
5、D ）.A、 B、 C、 D、01lisnxsinlm1x0sinlx1limsnx(2) = 0 .20ilmsx(3) 0 .1liarctnxx4、理解间断点概念与类型； (1) 设 2()()4fAx是 的 .A、可去间断点 B、无穷间断点 C、连续点 D、跳跃间断点(2) 设 ，则 是（ D ）31()fxx1xA、可去间断点 B、无穷间断点 C、连续点 D、跳跃间断点（3）函数 ， 是函数 的（ A ）.2sin0()fxxx()fxA、连续点 B、跳跃间断点 C、可去间断点 D、无穷间断点5、会利用零点定理证明方程有解（1）证明方程 在 内至少有一个实根32410x(,)证明：设
6、 ()F0()2，()x在 （ ， 1） 内 至 少 有 一 个 零 点即 方程 在（0，1）内至少存在一个实根324（2）证明方程 在（1，2）内至少存在一个实根 .5x证明： . ()3F令 10()50，()x在 （ ， 2） 内 至 少 有 一 个 零 点即 方程 在（1，2）内至少存在一个实根35x（3）证明方程 在 0 和 2 之间至少有一个实根e证明：设 ,()2xF201()0e，()x在 （ ， ） 内 至 少 有 一 个 零 点方程 在 0 和 2 之间至少有一个实根2e（4）证明方程 至少有一个小于 1 的正根1x证明：设 ，2)(xF0，10)(x 1()20F在 （
7、， ） 内 至 少 有 一 个 零 点即 方程 在（0，1）内至少存在一个实根324x第二章 导数与微分(26%)1、理解导数的定义；（1）设 存在，则 （ B ）0()fx 00()(limxfxfA、 B、 C、 D、不存在0f )(0f 0()fx（2）若 存在，则 （ B ）)(0xf 002()lixxfA、 B、 C、 D、0f 0()f 0(2)fx0(2)fx（3）设 在 可导，则 （ B ）()fx0xxA. B. 00()()limhffh00()(limxfxfA. B. 00()2)lixffx0()lixff2、会求函数的导数及二阶导数。 （1）若函数 可导，设 ，求
8、 .()fx2()yfxy解： 2 2,4().y fx（2）若函数 可导，设 ，求 .()fx()yfy解： 2,2.yx（3）若函数 可导，设 ，求 .()fx()yfy解： 2,().yxfx 3、会求隐函数的导数。（1）已知由 确定了 ，求 xye()fy解：方程两边对 求导数，得 (1)xeyx（2）设函数 由方程 所确定，求)(xy1ye解：方程两边对 求导数，得 ()x1yye（3）设函数 由方程 所确定，求 .)(xy0yxe解：方程两边对 求导数 xexye(4) 设函数 由方程 所确定，求 .)(xy32x y解：方程两边对 求导数 2()ye2.3xye(5) 设函数 由
9、方程 所确定，求 .)(xy2+sin1xyy y解：方程两边对 求导数 co()0e cos2xye4、理解参数方程确定函数的导数， (1) 已知 ，求 .sincoxtyy解： sita.dt x(2) 已知 ，求 .2teyy解： 21.ttdt xe(3) 已知 ，求 .sincotyy解： sisincos.ttdet xt5、会利用对数求导法求导.(1) 已知 ，求 ；xyy解：方程两边取对数 lnlx两边对 求导数x1lyx(1ln)(ln)xy(2) 已知 ，求 ；2xy解：方程两边取对数 2lnlnx两边对 求导数 x21lyx21(2ln)(ln)xyx（3) 已知 ，求
10、；siny解：方程两边取对数 lnsilnyx两边对 求导数x1colsixysin1sin(coslnsi)(col)x xyx6、理解函数的微分。（1）已知 求 ；l,dy解： 1(ln)l(ln).dyxxxd（2）已知 求 ；si2,dy解： (n)i2cos(in2cos).dyxxxdxxd（3）已知 求 ；2ta,y解： 2 2()tsec(tasec).yxxxxx7、理解连续、可导、可微的关系；（1） 函数 在点 处可微是 在点 处连续的( B ).()f0()f0（2） 函数 在点 处连续是 在点 处可微的( A ). xx（3） 函数 在点 处可微是 在点 处可导的( C
11、 ).()f0()f0（4） 函数 在点 处连续是 在点 处可导的( A ). xx（5）函数 在点 处可导是 在点 处连续的( B ).()f0()f0A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件第三章 微分中值定理及导数应用(28%)1、理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论；（1）函数 在区间 满足罗尔定理结论的23yx1,.514（2）函数 在区间 满足罗尔定理结论的3yx0, 3（2）函数 在区间 满足拉格朗日中值定理结论的21,2 12（4）使函数 适合罗尔定理条件的区间是（ D ）223()(1)fxxA、 ； B、 ； C、 ； D、 .1,3
12、4,50,1（5） 对于函数 ，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）.2fx（A） ； （B） ； （C） ； （D）2,00,11,22,2、会求函数的单调区间和极值。（1）求 的单调区间和极值； 教材例题 73295yx（2）求 的单调区间和极值1x解： 定义域为 (,)2616(2)1yxx0,令 得x(,2)-2 （-2,1） 1（1， ）y+ 20 - -7 +极大值 极小值 在 上单调递增，在 上单调递减 .(,21)2,1极大： ，极小： .,(20xf()7xf（3）求 的单调区间和极值32y解： 定义域为 (,)236(2)yxx120,yx令 得x(,)0（0，2） 2（
13、2， ）y+ 0 - -4 +极大值 极小值 在 上单调递增，在 上单调递减.(,02)0,2极大： ，极小： .0,(),xf2,()4xf在 上单调递增，在 上单调递减 .(211极大： ，极小： .,()2xf ,()7xf3、会利用单调性证明不等式及判断方程根的唯一性（1）当 时，证明 ；教材例 5021ln()x（2）当 时，证明 .2xta证明：设 ，则 在 上连续， ()taf()fx0,)2因为 2sec1tanx当 ,时 所以 单调递增 0()0f()fx因此 ， 即 ()fxtan（3）当 时，证明不等式： 1xe证明：设 ，则 在 上连续()xfe()f1,)因为 ，xe当 时 所以 单调递增1x()0f()fx因此 即1fe（4）当 时，证明： .0x2x证明：设 ，则 在 上连续， 1()f()f0,)因为 122xfx当 时， 所以 单调递增0x()0f()f因此 即 . ()f12x（5）证明不等式：当 时，证明 .0tansix证明：设 则 在 上连续且 ， ()tansifxx()f0,)2(0)f因为 2ecof
