1、、 . 我 们 打 败 了 敌 人 。 我 们 把 敌 人 打 败 了 。排列组合问题 I一、知识点：1 奎 屯王 新 敞新 疆 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 1m种不同的方法，在第二类办法中有 2m种不同的方法，在第 n 类办法中有 n种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 那么完成这件事共有 1N种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 1种不同的方法，做第二步有 2种不同的方法， ，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事有1种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆3排列的概念：从 n个
2、不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 m个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆4排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 m元素的排列数，用符号 nA表示 奎 屯王 新 敞新 疆5排列数公式：(1)2(1)nA（,N）6 奎 屯王 新 敞新 疆 阶乘： !表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 0!7排列数的另一个计算公式：mn=!() 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆8 奎 屯王 新 敞新 疆 组合的概念：一般地，从 个不同元素中
3、取出n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 个元素的一个组合 奎 屯王 新 敞新 疆9组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数用符号mnC表示10组合数公式：(1)2(1)!mnAC或 )!(mn ),nN且 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆11 奎 屯王 新 敞新 疆 组合数的性质 1：mn规定：10C；2： + 奎 屯王 新 敞新 疆二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义
4、和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法 奎 屯王 新 敞新 疆 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个.（答案：30 个）科学分类法 奎 屯王 新 敞新 疆 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 奎 屯王 新 敞新 疆 例如：从 6 台原装计算机和 5 台组装计算
5、机中任取 5 台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种.（答案：350）插空法 奎 屯王 新 敞新 疆 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 奎 屯王 新 敞新 疆 例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_.(答案:3600)捆绑法 奎 屯王 新 敞新 疆 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 奎 屯王 新 敞新 疆 例如：6 名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种.（答案：240）排除法 奎 屯王 新 敞新 疆 从总体中排除不符合条件的方法数
6、，这是一种间接解题的方法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.（答案：30）三、讲解范例：例 1 由数字、组成无重复数字的七位数 奎 屯王 新 敞新 疆(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数 奎 屯王 新 敞新 疆解 (1)：因为三个偶数、必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一
7、步将、四个数字排好有4P种不同的排法；第二步将、三个数字“捆绑”在一起有3种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有15种不同的“插入”方法 奎 屯王 新 敞新 疆根据乘法原理共有34720 种不同的排法 奎 屯王 新 敞新 疆 所以共有 720 个符合条件的七位数 奎 屯王 新 敞新 疆解（2）：因为三个偶数、互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将、四个数字排好，有4P种不同的排法；第二步将、分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的
8、三个位置上，有35种“插入”方法 奎 屯王 新 敞新 疆根据乘法原理共有41440 种不同的排法 奎 屯王 新 敞新 疆 所以共有 1440 个符合条件的七位数 奎 屯王 新 敞新 疆例 将、分成三组，共有多少种不同的分法？解：要将、分成三组，可以分为三类办法：（）分法、（）分法、（）分法 奎 屯王 新 敞新 疆下面分别计算每一类的方法数：第一类（）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法 奎 屯王 新 敞新 疆解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有 46C种不同的分法 奎 屯王 新 敞新 疆解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组
9、有16C种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有15种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以2P 奎 屯王 新 敞新 疆所以共有2156P15 种不同的分组方法 奎 屯王 新 敞新 疆第二类（）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有16C种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有25种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有1660 种不同的分组方法 奎 屯王 新 敞新 疆第三类（）分法，这是一类整体
10、“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有26种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有24C种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组 奎 屯王 新 敞新 疆 由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以3P，因此共有3246C15 种不同的分组方法 奎 屯王 新 敞新 疆根据加法原理，将、六个元素分成三组共有：15601590 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆例 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次
11、坐好有6种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有35C种不同的“插入”方法 奎 屯王 新 敞新 疆 根据乘法原理共有356CP7200 种不同的坐法 奎 屯王 新 敞新 疆排列组合问题 II一、相临问题整体捆绑法 例 17 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意
12、合并元素内部也可以作排列.一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。练习：5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解 因为女生要排在一起,所以可以将 3 个女生看成是一个人,与 5 个男生作全排列,有 6P种排法,其中女生内部也有P种排法,根据乘法原理,共有 36种不同的排法.二、不相临问题选空插入法 例 2 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“
13、插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 12 张。 8 个学生，4 个老师，要求老 师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解 先排学生共有8P种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共
14、有 7 个空档可插,选其中的 4个空档,共有 47种选 法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 48P种.三、复杂问题总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例 3.(1996 年全国高考题 )正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有 个.解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有 332 个.练习： 我们班里有
15、43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.解 43 人中任抽 5 人的方法有 543C种,正副班 长,团支部书记都不在内的抽法有 540C种,所以正副班长,团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 5403种.四、特殊元素优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例 4 (1995 年上海高考题
16、 ) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 72 种不同的排法.例 5 （ 2000 年全国高考题） 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余 7 名队员选出2 名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共
17、有 252 种 .五、多元问题分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例 6 （ 2003 年北京春招） 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A42 B30 C20 D12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 A62种；2.相临：共有 A22A61种。故不同插法的种数为：A 62 +A22A61=42 ，故选 A。例 7 （ 2003 年全国高考试题） 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4
18、种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：区域与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色 用三种颜色着色有 =24 种方法, 用四种颜色着色有 =48 种方法,从而共有 24+48=72 种方法,应填 72. 六、混合问题先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略例 8 （ 2002 年北京高考） 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种解：本试题属于均分组问题。则 12 名同学均分成 3 组共有 种方法,分配到三个不同的路
19、口的不同的分配方案共有： 种，故选 A。 例 9 （ 2003 年北京高考试题） 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A24 种 B18 种 C12 种 D6 种解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C 32种,不同的排法有: A 31A22,故不同的种植方法共有 A31C32A22=12，故应选 C. 七相同元素分配档板分隔法 例 10把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方
20、法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。解：先让 2、3 号阅览室依次分得 1 本书、2 本书；再对余下的 7 本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在 7 本相同书之间的 6 个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有 15 种分法。八转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.例 11 高二年级 8 个班,组织一个 12 个人的年级学生分会,每班要求至少 1 人,名额分配方案有多少种?分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,
21、结果容易理解.解： 此题可以转化为:将 12 个相同的白球分成 8 份,有多少种不同的分法问题,因此须把这 12个白球排成一排,在 11 个空档中放上 7 个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成 8份,显然有 71C种不同的放法,所以名额分配方案有 71C种.九剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例 12 袋中有 5 分硬币 23 个,1 角硬币 10 个,如果从袋中取出 2 元钱,有多少种取法?分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质
22、考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.0523+0.1010=2.15 元,所以比 2 元多 0.15 元,所以剩下 0.15 元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角,所以共有 103种取法.十对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.例 13 期中安排考试科目 9 门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,
23、能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有921P种.十平均分组问题:例 146 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；（2）分为三份，每份 2 本；（3）分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本。 解：（1）根据分步计数原理得到： 9046C种；（2）分给甲、乙、丙三
24、人，每人两本有2种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有3A种方法根据分步计数原理可得：346x，所以153246Cx因此，分为三份，每份两本一共有 15 种方法。（3）这是“不均匀分组”问题，一共有 032516C种方法（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 63A种方法（5）可以分为三类情况：“2、2、2 型”即（1）中的分配情况，有906C种方法；“1、2、3 型”即（4）中的分配情况，有 03516种方法；“1、1、4型”，有 9C种方法，所以，一共有 90+360+90540 种方法总之，排列、组合应
25、用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：9（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 953， 485.不能整除就产生了余数 .通常的表示是：65321 2， 3857 3.上面两个算式中 2 和 3 就是余数，写成文字是被除数除数=商 余数.上面两个算式可以写成653212
26、， 38573.也就是被除数=除数商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例 17 5397 被一个质数除，所得余数是 15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-155382 ，而 538223 19971323.因为除数要比余数 15 大，除数又是质数，所以它只能是 23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例 18 求 645763 除以 7 的余数.解：可以先去掉 7 的倍数 630000 余 15
27、763，再去掉 14000 还余下 1763，再去掉 1400 余下 363，再去掉 350 余 13，最后得出余数是 6.这个过程可简单地记成645763 157631763 363136.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：6457631500010006.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例 19 有一个大于 1 的整数，它除 967，1000 ，2001 得到相同的余数，那么这个整数是多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001 的两两之差，即1000-96733 311，2001-1
28、000100171113 ，2001-967103421147.这个整数是这三个差的公约数 11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差 1000-967 与 2001-1000，那么差2001-967（2001-1000）（1000-967）1001331034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57 被 13 除余 5，152 被 13 除余 9，那么 57+152=209 被 13 除，余数是 591
29、4 被 13 除的余数 1.例 20 有一串数排成一行，其中第一个数是 15，第二个数是 40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第 1998 个数被 3 除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被 3 除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被 3除所得的余数相加，然后除以 3，就得到这个数被 3 除的余数，这样就很容易算出前十个数被3 除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被 3 除的余数与第一、第二两个数被 3 除的余数相同.因此这一串数被 3 除的余数，每八个循环一
30、次，因为1998 8249 6，所以，第 1998 个数被 3 除的余数，应与第六个数被 3 除的余数一样，也就是 2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制 .计算钟点是1，2 ，3 ，4，5，6，7 ，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六 .这也是一个循环，相当于一些连续自然数被 7 除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象. 用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12 个数的循环，就说周期是 1
31、2，7 个数的循环，就说周期是 7.例 20 中余数的周期是 8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37 被 11 除余 4，27 被 11 除余 5，3727999 被 11 除的余数是 4520被 11 除后的余数 9.199772852 ，就知道 19971997 被 7 除的余数是 224.例 21 191997 被 7 除余几？解：从上面的结论知道，19
32、1997 被 7 除的余数与 21997 被 7 除的余数相同. 我们只要考虑一些 2 的连乘，被 7 除的余数.先写出一列数2，224，222 8 ，222216，.然后逐个用 7 去除，列一张表，看看有什么规律. 列表如下：事实上，只要用前一个数被 7 除的余数，乘以 2，再被 7 除，就可以得到后一个数被 7 除的余数.（为什么？请想一想. ）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是 2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，因此，余数是每隔 3 个数循环一轮.循环的周期是 3.1997 3 665 2.就知道 21997 被 7 除的余数，与 21997
33、被 7 除的余数相同，这个余数是 4.再看一个稍复杂的例子.例 22 70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0 ，1 ，3，8，21，55，.问：最右边一个数（第 70 个数）被 6 除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的 3 倍减去再前一个数：313-0，8=33-1 ，21=83-3，55=213-8，不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被 6 去除，那就太麻烦了. 能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个
34、数的余数乘 3，减去再前一个数的余数，然后被 6 除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现 03-1 这在小学数学范围不允许，因为我们求被 6除的余数，所以我们可以 03 加 6 再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是 12.70 125+10.因此，第七十个数被 6 除的余数，与第十个数的余数相同，也就是 4.在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以 3 余 2，除以
35、5 余 3，除以 7 余 2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式. 这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的. 目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例 23 有一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，问这个数除以 12 余几？解：除以 3 余 2 的数有：2 ， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23.它们除以 12 的余数是：2，5 ，8 ，11，2 ，5，8，11，.除以 4 余 1 的数有
36、：1 ， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，.它们除以 12 的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，.一个数除以 12 的余数是唯一的.上面两行余数中，只有 5 是共同的，因此这个数除以 12的余数是 5.上面解法中，我们逐个列出被 3 除余 2 的整数，又逐个列出被 4 除余 1 的整数，然后逐个考虑被 12 除的余数，找出两者共同的余数，就是被 12 除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例 23 的问题改变一下，不求被 12 除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5 12整数，整数可以取 0，
37、1，2 ， ，无穷无尽. 事实上，我们首先找出 5 后，注意到 12 是 3 与 4 的最小公倍数，再加上 12 的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以 3 余 2，除以 4 余 1”两个条件合并成“ 除以 12 余 5”一个条件.孙子算经提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例 24 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求符合条件的最小数.解：先列出除以 3 余 2 的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，再列出除以 5 余 3 的数：3 ， 8， 13， 18， 23， 28
38、，.这两列数中，首先出现的公共数是 8.3 与 5 的最小公倍数是 15.两个条件合并成一个就是8 15整数，列出这一串数是8， 23， 38，再列出除以 7 余 2 的数2 ， 9， 16， 23， 30，就得出符合题目条件的最小数是 23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被 105 除余 23.最后再看一个例子.例 25 在 100 至 200 之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被 3 整除，中间的能被5 整除，最大的能被 7 整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被 3 整除，第二个能被 5 整除（又是被 3 除余 1）.例如，找出 9 和 10
39、，下一个连续的自然数是 11.3 和 5 的最小公倍数是 15，考虑 11 加 15 的整数倍，使加得的数能被 7 整除.11 15356 能被 7 整除，那么 54，55，56 这三个连续自然数，依次分别能被 3，5 ，7 整除.为了满足“在 100 至 200 之间”将 54，55 ，56 分别加上 3，5，7 的最小公倍数 105.所求三数是159 ， 160， 161.注意，本题实际上是：求一个数（100200 之间），它被 3 整除，被 5 除余 4，被 7 除余 5.请考虑，本题解法与例 24 解法有哪些相同之处？关于某些数学应用题目的固定算法(记住在应试中剩时间呦) 不断更新中1
40、 四个连续自然数的积为 1680，它们的和为（ ）A 、26 B、52 C、20 D、28解析：四个连续自然数，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被 2 整除，但是不能被 4 整除，选项中只有 26 符合。2、 有 300 张多米诺骨牌，从 1300 编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？答案是 256 号。解析：总结出的公式是：小于等于总数的 2 的 N 次方的最大值就是最后剩下的序号。3、 一本 300 页的书中含“1”的有多少页？答案是 160 页解析：关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的 1/10 乘以 2，再加上 100。4、 有一个数，除以 3 余 2，除
41、以 4 余 1，问这个数除以 12 余数是几？A、4 B、5 C、6 D、7解析：设这个数除以 12，余数是 A，那么 A 除以 3 余数是 2；A 除以 4，余数是 1。而在1、2.11 中，符合这样条件的 A 只有 5。5、 中午 12 点，时针与分针完全重合，那么到下次 12 点，时针与分针重合多少次？答案：11 次解析：关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S 为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定 S 后算出 T 的最大值就知道相遇多少次。 ）6、一个边长为 8 的正立方体，由若干个边长为 1 的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，问一共有多少小立
42、方体被涂上了颜色？答案：296解析：公式：（大正方形的边长的 3 次方）（大正方形的边长2）的 3 次方。病句类型有六种，即：搭配不当、语序不当、残缺或赘余、结构混乱、语意不明、不合逻辑。综观历年的高考语文病句辨析试题，其所选的病句错误类型都是十分“典范”的，虽然通过各种措施增加迷惑性，但总体来说，其“病征”是十分突出的，而且也有一些规律可寻，如果抓住这些“病征”顺藤摸瓜，加以甄别，就更容易判断出该句是不是有病，是何种语病。笔者对一些典型的病句进行了比较分析，罗列了以下一些规律： 一、出现了并列的短语，可能是搭配不当、分类不当、语序不当或语意不明 1有关部门对极少数不尊重环卫工人劳动、无理取闹
43、、甚至殴打侮辱环卫工人的事件，及时进行了批评教育和严肃处理。(搭配不当， “事件”不可以“批评教育”) 2我们家乡美丽而富饶，这里土地肥沃，特别适宜种果树、棉花、甘庶，此外，还适宜栽种梨树和枣树。(分类不当， “梨树和枣树”都是“果树”) 3全厂职工讨论和听取了厂长关于改善经营管理的报告。(语序不当，应为“听取和讨论”，有时间上的先后关系) 4近日新区法院审结了这起案件，违约经营的小张被判令赔偿原告好路缘商贸公司经济损失和诉讼费三千余元。(语意不明，是 “经济损失和诉讼费”计“三千余元”还是单“诉讼费”“三千余元 ”) 二、出现了多重定语和多重状语，可能是语序不当 1批评和自我批评是有效的改正
44、错误提高思想水平的方法。(应将“有效的”调至“方法”前) 2昨天，许多代表热情地在休息室里同他交谈。(应将“热情地”调至“同他交谈”前) 3这期培训班是全国职工教育委员会和国家经委联合于今年五月底举办的，来自全国各地的二百多名职工代表参加了这次培训。(“联合”应调至“举办”前，让位于时间状语) 三、出现了数量短语，可能是语意不明、重复、语序不当、用词不当 1三个学校的学生会干部在教导处开会，研究本学期第二课堂活动的开展问题。(表意不明，是“三个学校” 还是“三个学生会干部 ”) 2国产轿车的价格低，适于百姓接受，像“ 都市贝贝 ”市场统一售价才 608 万元， “英格尔”是688 万元，新款“
45、桑塔纳 ”也不过十几万元左右。(重复， “十几万元”本为约数，不可以再用“左右”) 3开展批评和自我批评是端正党风、增强党的凝聚力的行之有效的一种方法。(语序不当， “一种”应在“行之有效”之前 ) 4华能集团三电厂今年对锅炉设备进行了改造，吨煤发电量增加了 1.5 倍，煤消耗量域少了 1.2倍。(用词不当， “减少”不可以用倍数) 5中国第一个计算机集成制造系统工程研究中心建成后，国内外同行对其先进的功能大加赞赏，先后有二万三千多人次前来参观。(用词不当， “人次”是复量词，不可以做主语) 6早晨五六点钟，通往机场的街道两旁便站满了数万名欢送人群。(用词不当， “人群”是集合名词) 四、出现
46、了介词，可能是搭配不当、结构混乱、主客体颠倒、主语残缺 1他们在遇到困难的时候，并没有消沉，而是在大家的信赖和关怀中得到了力量，树立了克服困难的信心。(搭配不当，应为 “从中”) 23 月 17 日，6 名委员因受贿丑闻被驱逐出国际奥委会。第二天，世界各人报纸关于这起震惊国际体坛的事件都作了详细报道。(介词使用不当，应为“对”) 3焦裕禄这个名字对青年人可能还有些陌生，可对四十岁以上的人却是很熟悉的。(主客体颠倒，应为“对青年人来说”、 “对四十岁以上的人来说”) 4为什么对于这种浪费人才的现象，至今没有引起有关部门的重视呢?(滥用介词造成主语残缺，应删去“对于” 五、出现了关联词(连词 )，
47、可能是搭配不当、残缺、语序不当 1只有从根本上解决了为什么人的问题，就能更好地为人民服务。(关联词搭配不当，应为必要条件，用“只有才”) 2尽管你的礼品多么微薄，但在农民心上，却象千斤重的砝码。(关联词和副词搭配不当，此处应用确指的“这么” ， “无论”和“不管”后应用不确指的 “多么”) 3他虽然是个农民，平常喜爱学习，识不少字，编秧歌也在行。(关联词残缺，应在“平常 ”前加“但是”) 4由于技术水平太低，这些产品质量不是比沿海地区的同类产品低，就是成本比沿海的高。(关联词位置不当，主语不一致，关联词应在主语之前，应将“不是”调至“ 质量”前) 5如今“阿 Q”一类的“字母词”已遍布汉字文化圈内，不但进入了教科书，而且活跃在各媒体上。(语序不当，出现了递进关系，程度重的应放在后面，应为“不但活跃在各媒体上，而且进入了教科书”) 6用语不妥贴，造句不合文法，行文缺乏条理，拖沓冗长，就会把意思弄得含混晦涩，令人误解甚至费解。(语序不当，应为 “费解甚至误解”) 六、出现了代词，可能是语意不明、重复 1这个精致的灯笼将作为今天得分最高的嘉宾的礼品赠送给他。(语意不明， “他”到底指谁，指代不明) 2老人在 80 岁的时候，还清楚地记得哥哥参加学生运动时对自己的评价：一个温情主义者。 (语意不明， “自己” 到底是指“老人”还是指“ 老人”的“ 哥哥”) 3由于这次
