1、第四章 不定积分41 不定积分的概念与性质一、原函数问题 1 已知真空中的自由落体的瞬时速度 v(t)=gt其中常量 g 是重力加速度，又知t=0 时路程 s=0，求自由落体的运动规律 s=s(t)解 s(t)=v(t)=gt， (1)容易验证 s(t)= gt2+C，( C 为任意常数) 满足(1)；又因为 t=0 时 s=0，代入上式得 C=0所以所求的运动规律为 s= gt21问题 2 设曲线 y=f(x)经过原点，曲线上任一点处存在切线，且切线斜率都等于切点处横坐标的两倍，求该曲线方程解 y=2x . (2)容易验证 y=x2+C， (C 为任意常数)满足(2)；又因为原点在曲线上，故
2、 x=0 时 y=0，代入上式得 C=0因此所求曲线的方程为 y=x2两个问题本质：已知某函数的导数 F(x)=f(x)，求函数 F(x)定义 1 设在某区间 I 上， F(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx，则 I 上的函数 F(x)称为 f(x)的一个原函数例如：因为(sin x)=cosx 或 d(sinx)=cosxdx，所以 sinx 是 cosx 的一个原函数；因为( gt2)=gt，所以 gt2 是 gt 的一个原函数；1因为( x2)=2x，所以 x2 是 2x 的一个原函数二、不定积分例如：对任意常数 C， gt2+C 都满足(1) ， x2+C 都满(2)，所以 g
3、t2+C 都是 gt 的原11函数； x2+C 都是 2x 的原函数又如：对任意常数 C，都有(sin x+C)=cosx，所以 sinx+C 也都是 cosx 的原函数由此可见，一个函数的原函数并不唯一，而是有无限个如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F(x)=f(x)，那么与 F(x)相差一个常数的函数 G(x)=F(x)+C，仍有 G(x)=f(x)，所以G(x)也是 f(x)的原函数反过来，设 G(x)是 f(x)的任意一个原函数，那么F(x)=G(x)=f(x)， F(x)-G(x)0， F(x)-G(x)=C，( C 为常数) ，即 G(x)=F(x)+C即 G(x)与 F
4、(x)不过差一个常数总结正反两个方面可得两个结论：(1)若 f(x)存在原函数，则有无限个原函数；(2)若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的全部原函数构成的集合为 F(x)+C|C 为常数.1. 不定积分的定义定义 2 设 F(x)是函数 f(x)的一个原函数，则 f(x)的全部原函数称为 f(x)的不定积分，记作 ，即 =F(x)+C|C 为常数dxf)(df)(习惯写法：省却等号右边的花括号，直接简写成 F(x)+C，即=F(x)+Cf)其中 f(x)称为被积函数， f(x)dx 称为积分表达式， x 称为 积分变量，符号“ ”称为积分号， C 为积分常数注意 积分号“ ”
5、是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数所以在不定积分的结果中不能漏写 C 例 1 由导数的基本公式，写出下列函数的不定积分：(1) ； (2) xdcos dxe解 (1)因为(sin x)=cosx，所以 sinx 是 cosx 的一个原函数，所以=sinx+Ccos(2)因为(e x)=ex，所以 ex 是 ex 的一个原函数，所以=ex+Cd例 2 根据不定积分的定义验证：=ln(1+x2)+C21解 由于ln(1+ x2)= ，所以 =ln(1+x2)+Cd不定积分简称积分，求不定积分的方法和运算简称积分法和积分运算由于积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系：(1) =F(x
6、)+C=f(x) 或 d =dF(x)+C=f(x)dx；df)( f)(2) = =F(x)+C 或 = =F(x)+Cf f)例 3 写出下列各式的结果：(1) ；(2) ；(3) d dex)sin(lex22)(arctn解 (1) =exsin(lnx)；(2) = +C；ex22x(3) d =(arctanx)2dx)(arctn2.不定积分的几何意义在直角坐标系中， f(x)的任意一个原函数 F(x)的图形是一条曲线 y=F(x)，这条曲线上任意点( x， F(x)处的切线的斜率 F(x)恰为函数值 f(x)，称这条曲线为 f(x)的一条积分曲线 f(x)的不定积分 F(x)+
7、C 则是一个曲线族， 称为积分曲线族平行与 y 轴的直线与族中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于 f(x)，因此积分曲线族可以由一条积分曲线通过平移得到三、不定积分的基本公式(1) =x+C； (2) x+1+C，(-1)； (3)d 1d=ln|x|+C； (4) =ex+C；1 e(5) +C； (6) =sinx+C；alncos(7) =cos x+C； (8) =cot x+C；dsi d22csin1(9) =tanx+C； (10) =secx+C；22secco1 tase(11) =csc x+C； (12) =arctanx+C；xts 21(13) =arcsinx+Cd
8、21四、不定积分的性质因为 =k =kf(x)，所以f)(f)(性质 1 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号之外，即， (k0)dxff)()(又因为 = f)(21 dxff)()(21= =f1(x)f2(x)，dx所以性质 2 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数的不定积分的代数和，即 dxffdxf)()()(2121性质 2 可推广至有限个函数的和差例 4 求 ex)cos3(y=F(x)xyO解 原式= =2ex-3sinx+Cdxedxecos32cos32注意 得到的 ex 和 cosx 的两个不定积分，各含有任意常数因为任意常数的和仍然是任意常数，故可以合成最后结果
9、中的一个 C今后再有同样情况不再重复说明了例 5 求 23)1(解 dxxdxdx )13(1322= - + - = x2-3x+3ln|x|+ +C3直接利用基本积分和性质来求积分的方法称为直接积分法 例 6 求不定积分 dex)(解 原式= =3ex+x+Cx3)1(例 7 求不定积分 24解 原式= dxxdx)1(1)( 24= x3-x+arctanx+C22例 8 求不定积分 x)1(解 原式= +arctanx+C.dxdxd 11)( 2222 例 9 求 tan解 原式= =tanx-x+Cxx22sec)1(sec例 10 求不定积分 d2oin解 原式= =tanx-c
10、otx+Cxx)sin1c(csi 22例 11 求不定积分 di解 原式= (x-sinx)+C21)cos(21)cos(21os dxx*例 12 某工厂生产一种产品，已知其边际成本 MC=160 ，其中的 x(件)为该产品3产量若当产量 x=512 时，成本 C(512)=17240 元，求成本函数 C(x)解 据边际成本的含义，有 C(x)= 160 所以31C(x)= +C323131 40)(60xd已知 C(512)=17240，代入后得C=17240-240( )=1880325所以这种产品的成本函数为 C(x)=240 +188032练习 4-11什么叫 f(x)的原函数？什么叫 f(x)的不定积分？ f(x)的不定积分的几何意义是什么？并举例说明之2判断下列函数 F(x)是否是 f(x)的原函数，为什么？(1)F(x)=- ， f(x)= ， ( )； 21(2)F(x)=2x， f(x)=x2 ， ( )；(3)F(x)= e2x+， f(x)=e2x， ( )； (4)F(x)=sin5x， f(x)=cos5x， ( )3 =sin2x+C =-cos2x+C 是否矛盾，为什么？dcosin问 dcosin与4写出下列各式结果(1) ； (2) ；)si21( )si1(3) ； (4) dxa dxexcosn
