1、偏微分方程概述及运用 matlab 求解偏微分方程常见问题徐敏摘要 偏微分方程简介，matlab 偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程关键词 MATLAB 偏微分方程 程序如 果 一 个 微 分 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 只 含 有 一 个 自 变 量 ， 这个 方 程 叫 做 常 微 分 方 程 ， 也 简 称 微 分 方 程 ： 如 果 一 个 微 分 方 程 中出 现 多 元 函 数 的 偏 导 数 ， 或 者 说 如 果 未 知 函 数 和 几 个 变 量 有 关 ，而 且
2、方 程 中 出 现 未 知 函 数 对 几 个 变 量 的 导 数 ， 那 么 这 种 微 分 方 程就 是 偏 微 分 方 程 。一 ， 偏 微 分 方 程 概 述偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中
3、的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的 Courant 研究所、法国的信息
4、与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平 、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距二，偏微分方程
5、的内容偏 微 分 方 程 是 什 么 样 的 ？ 它 包 括 哪 些 内 容 ？ 这 里 我 们 可 从 一个 例 子 的 研 究 加 以 介 绍 。 弦 振 动 是 一 种 机 械 运 动 ， 当 然 机 械 运 动 的 基 本 定 律 是 质点 力 学 的 F=ma， 但 是 弦 并 不 是 质 点 ， 所 以 质 点 力 学 的 定 律 并 不 适用 在 弦 振 动 的 研 究 上 。 然 而 ， 如 果 我 们 把 弦 细 细 地 分 成 若 干 个 极小 极 小 的 小 段 ， 每 一 小 段 抽 象 地 看 作 是 一 个 质 点 ， 这 样 我 们 就 可以 应 用 质 点 力
6、学 的 基 本 定 律 了 。 弦 是 指 又 细 又 长 的 弹 性 物 质 ， 比 如 弦 乐 器 所 用 的 弦 就 是细 长 的 、 柔 软 的 、 带 有 弹 性 的 。 演 奏 的 时 候 ， 弦 总 是 绷 紧 着 具 有一 种 张 力 ， 这 种 张 力 大 于 弦 的 重 量 几 万 倍 。 当 演 奏 的 人 用 薄 片 拨动 或 者 用 弓 在 弦 上 拉 动 ， 虽 然 只 因 其 所 接 触 的 一 段 弦 振 动 ， 但 是由 于 张 力 的 作 用 ， 传 播 到 使 整 个 弦 振 动 起 来 。 用 微 分 的 方 法 分 析 可 得 到 弦 上 一 点 的
7、位 移 是 这 一 点 所 在的 位 置 和 时 间 为 自 变 量 的 偏 微 分 方 程 。 偏 方 程 又 很 多 种 类 型 ， 一般 包 括 椭 圆 型 偏 微 分 方 程 、 抛 物 型 偏 微 分 方 程 、 双 曲 型 偏 微 分 方程 。 上 述 的 例 子 是 弦 振 动 方 程 ， 它 属 于 数 学 物 理 方 程 中 的 波 动 方程 ， 也 就 是 双 曲 型 偏 微 分 方 程 。 偏 微 分 方 程 的 解 一 般 有 无 穷 多 个 ， 但 是 解 决 具 体 的 物 理问 题 的 时 候 ， 必 须 从 中 选 取 所 需 要 的 解 ， 因 此 ， 还 必
8、 须 知 道 附 加条 件 。 因 为 偏 微 分 方 程 是 同 一 类 现 象 的 共 同 规 律 的 表 示 式 ， 仅 仅知 道 这 种 共 同 规 律 还 不 足 以 掌 握 和 了 解 具 体 问 题 的 特 殊 性 ， 所 以就 物 理 现 象 来 说 ， 各 个 具 体 问 题 的 特 殊 性 就 在 于 研 究 对 象 所 处 的特 定 条 件 ， 就 是 初 始 条 件 和 边 界 条 件 。 拿 上 面 所 举 的 弦 振 动 的 例 子 来 说 ， 对 于 同 样 的 弦 的 弦 乐器 ， 如 果 一 种 是 以 薄 片 拨 动 弦 ， 另 一 种 是 以 弓 在 弦
9、上 拉 动 ， 那 么它 们 发 出 的 声 音 是 不 同 的 。 原 因 就 是 由 于 “拨 动 ”或 “拉 动 ”的那 个 “初 始 ”时 刻 的 振 动 情 况 不 同 ， 因 此 产 生 后 来 的 振 动 情 况 也就 不 同 。 天 文 学 中 也 有 类 似 情 况 ， 如 果 要 通 过 计 算 预 言 天 体 的 运动 ， 必 须 要 知 道 这 些 天 体 的 质 量 ， 同 时 除 了 牛 顿 定 律 的 一 般 公 式外 ， 还 必 须 知 道 我 们 所 研 究 的 天 体 系 统 的 初 始 状 态 ， 就 是 在 某 个起 始 时 间 ， 这 些 天 体 的
10、分 布 以 及 它 们 的 速 度 。 在 解 决 任 何 数 学 物理 方 程 的 时 候 ， 总 会 有 类 似 的 附 加 条 件 。 就 弦 振 动 来 说 ， 弦 振 动 方 程 只 表 示 弦 的 内 点 的 力 学 规 律 ，对 弦 的 端 点 就 不 成 立 ， 所 以 在 弦 的 两 端 必 须 给 出 边 界 条 件 ， 也 就是 考 虑 研 究 对 象 所 处 的 边 界 上 的 物 理 状 况 。 边 界 条 件 也 叫 做 边 值问 题 。 当 然 ， 客 观 实 际 中 也 还 是 有 “没 有 初 始 条 件 的 问 题 ”，如 定 场 问 题 （ 静 电 场 、
11、 稳 定 浓 度 分 布 、 稳 定 温 度 分 布 等 ） ， 也 有“没 有 边 界 条 件 的 问 题 ”， 如 着 重 研 究 不 靠 近 两 端 的 那 段 弦 ， 就抽 象 的 成 为 无 边 界 的 弦 了 。 在 数 学 上 ， 初 始 条 件 和 边 界 条 件 叫 做 定 解 条 件 。 偏 微 分方 程 本 身 是 表 达 同 一 类 物 理 现 象 的 共 性 ， 是 作 为 解 决 问 题 的 依 据 ；定 解 条 件 却 反 映 出 具 体 问 题 的 个 性 ， 它 提 出 了 问 题 的 具 体 情 况 。方 程 和 定 解 条 件 合 而 为 一 体 ， 就
12、叫 做 定 解 问 题 。 求 偏 微 分 方 程 的 定 解 问 题 可 以 先 求 出 它 的 通 解 ， 然 后 再用 定 解 条 件 确 定 出 函 数 。 但 是 一 般 来 说 ， 在 实 际 中 通 解 是 不 容 易求 出 的 ， 用 定 解 条 件 确 定 函 数 更 是 比 较 困 难 的 。 偏 微 分 方 程 的 解 法 还 可 以 用 分 离 系 数 法 ， 也 叫 做 傅 立 叶级 数 ； 还 可 以 用 分 离 变 数 法 ， 也 叫 做 傅 立 叶 变 换 或 傅 立 叶 积 分 。分 离 系 数 法 可 以 求 解 有 界 空 间 中 的 定 解 问 题 ，
13、分 离 变 数 法 可 以 求解 无 界 空 间 的 定 解 问 题 ； 也 可 以 用 拉 普 拉 斯 变 换 法 去 求 解 一 维 空间 的 数 学 物 理 方 程 的 定 解 。 对 方 程 实 行 拉 普 拉 斯 变 换 可 以 转 化 成常 微 分 方 程 ， 而 且 初 始 条 件 也 一 并 考 虑 到 ， 解 出 常 微 分 方 程 后 进行 反 演 就 可 以 了 。 应 该 指 出 ， 偏 微 分 方 程 的 定 解 虽 然 有 以 上 各 种 解 法 ， 但是 我 们 不 能 忽 视 由 于 某 些 原 因 有 许 多 定 解 问 题 是 不 能 严 格 解 出 的 ，
14、只 可 以 用 近 似 方 法 求 出 满 足 实 际 需 要 的 近 似 程 度 的 近 似 解 。 常 用 的 方 法 有 变 分 法 和 有 限 差 分 法 。 变 分 法 是 把 定 解 问题 转 化 成 变 分 问 题 ， 再 求 变 分 问 题 的 近 似 解 ； 有 限 差 分 法 是 把 定解 问 题 转 化 成 代 数 方 程 ， 然 后 用 计 算 机 进 行 计 算 ； 还 有 一 种 更 有意 义 的 模 拟 法 ， 它 用 另 一 个 物 理 的 问 题 实 验 研 究 来 代 替 所 研 究 某个 物 理 问 题 的 定 解 。 虽 然 物 理 现 象 本 质 不
15、同 ， 但 是 抽 象 地 表 示 在数 学 上 是 同 一 个 定 解 问 题 ， 如 研 究 某 个 不 规 则 形 状 的 物 体 里 的 稳定 温 度 分 布 问 题 ， 在 数 学 上 是 拉 普 拉 斯 方 程 的 边 值 问 题 ， 由 于 求解 比 较 困 难 ， 可 作 相 应 的 静 电 场 或 稳 恒 电 流 场 实 验 研 究 ， 测 定 场中 各 处 的 电 势 ， 从 而 也 解 决 了 所 研 究 的 稳 定 温 度 场 中 的 温 度 分 布问 题 。 随 着 物 理 科 学 所 研 究 的 现 象 在 广 度 和 深 度 两 方 面 的 扩 展 ， 偏微 分
16、方 程 的 应 用 范 围 更 广 泛 。 从 数 学 自 身 的 角 度 看 ， 偏 微 分 方 程的 求 解 促 使 数 学 在 函 数 论 、 变 分 法 、 级 数 展 开 、 常 微 分 方 程 、 代数 、 微 分 几 何 等 各 方 面 进 行 发 展 。 从 这 个 角 度 说 ， 偏 微 分 方 程 变成 了 数 学 的 中 心 。三 ， 用 matlab 解 偏 微 分 方 程解偏微分方程不是一件轻松的事，但是偏微分方程在自然科学和工程领域中应用很广，因此，我们可以运用 matlab 这个软件来解决一些常见的偏微分方程。（一）Matlab偏微分方程工具箱简介。1，概述。本文
17、只给出该工具箱的函数列表2，偏微分方程算法函数列表。 adaptmesh 生成自适应网络及偏微分方程的解assemb 生成边界质量和刚度矩阵assema 生成积分区域上质量和刚度矩阵assempde 组成偏微分方程的刚度矩阵及右边hyperbolic 求解双曲线型偏微分方程parabolic 求解抛物线型偏微分方程pdeeig 求解特征型偏微分方程pdenonlin 求解非线性型微分方程poisolv 利用矩阵格式快速求解泊松方程3， 图形界面函数。 pdecirc 画圆pdeellip 画椭圆pdemdlcv 转化为版本1.0式的*.m文件pdepoly 画多边形pderect 画矩形pde
18、tool 偏微分方程工具箱的图形用户界面4， 几何处理函数。 csgchk 检查几何矩阵的有效性csgdel 删除接近边界的小区decsg 将固定的几何区域分解为最小区域initmesh 产生最初的三角形网络jigglemesh 微调区域内的三角形网络poimesh 在矩形区域上产生规则的网络refinemesh 细化三角形网络wbound 写一个边界描述文件wgeom 写一个几何描述文件pdecont 画轮廓图pdemesh 画偏微分方程的三角形网络pdeplot 画偏微分方程的三角形网络pdesurf 画表面图命令5，通用函数 。pdetriq 三角形单元的品性度量poiasma 边界点对
19、快速求解泊松方程的“贡献”矩阵poicalc 规范化的矩阵格式的点索引（二）Matlab偏微分方程工具箱应用。可以用词工具箱求解如椭圆方程，双曲线方程，特征值方程，抛物线方程。椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的一般形式为 ()(,)divcuafxt其中：若 ， 为 的梯度，则其定义为12(,),nuxtxt 12,n散度 的定义为()div12()ndivvxx这样， 可以更明确地表示为()divcu12nuuucccxxx 若 为常数，则进一步化简为c221()ndivcuucxx其中， 又称为Laplace算子。这样椭圆型偏微分方程可以简单地写为 221 (,)ncuafxtxx抛物型偏
20、微分方程抛物型偏微分方程的一般形式为 ()(,)udivcaufxtt根据上面叙述，若 为常数，则该方程可以更简单地写为c221 (,)nuduafxttxx双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的一般形式为 2()(,)udivcaufxtt若 为常数，则可以将该方程简化为c2221 (,)nudcuafxttxx三类方程的直接的区别在于 对 的导数的阶次。t若对 没有求导，可以理解为其值为常数，故称为椭圆型的。t若取 对时间 的一阶导数，则与 对 的二阶导数直接构成了抛utux物线关系，故称为抛物型偏微分方程。若取 对时间 的二阶导数，称其为双曲型偏微分方程。ut特征值型偏微分方程特征值型偏微分
21、方程为 ()divcuad对常数 该方程可以化简为c221 (,)nfxtxx该方程是椭圆型偏微分方程的特例。pdetool的使用：在matlab命令窗口中键入pdetool窗口打开进入工作状态，pdetool提供两种解方程的方法，一种是通过函数，利用函数可以编程也可以用命令行的方式解方程，两一种是对pdetool窗口进行交互操作。一般来说，用函数解方程比较繁琐，但是比较灵活：通过窗口交互操作比较简单。解方程的全部过程以及结果都可以输出保存为文本文件。限于文本的篇幅，我们主要介绍交互操作偏微分方程的方法。1.确定待解的偏微分方程。利用函数assempde可以对待解的偏微分方程加以描述。在交互操作中，为了方便用户，pdetool把常见问题归结为及各类型，可以再pdetool窗口的工具栏上找到选择类型的弹出菜单，这些类型如下：通用问题
