1、第 4 章 不定积分 内容概要名称 主要内容 不 设 f x ， x I ，若存在函数 F x ，使得对任意 x I 均有 F x f x 定 积 或 dF x f xdx ，则称 F x 为 f x 的一个原函数。分 的 f x 的全部原函数称为 f x 在区间 I 上的不定积分，记为 概 念 f xdx F x C 注： 1）若 （ f x 连 续 ， 则 必 可 积 ； 2 ） 若 F x G x 均 为 f x 的 原 函 数 ， 则 （ F x G x C 。故不定积分的表达式不唯一。性 d f xdx f x 或 d f xdx f xdx ； dx 性质 1： 质不 性质 2：
2、F xdx F x C 或 dF x F x C ；定积 性质 3： f x g xdx f xdx g xdx ， 为非零常数。分 计 设 f u 的 原函数为 F u ， u x 可导，则有换元公式： 算 第一换元 方 积分法 法 （凑微分法） f x xdx f xd x F x C 第二类 设 x t 单调、可导且导数不为零， f t t 有原函数 F t ， 换元积 分法 f xdx f t t dt F t C F 1 则 x C 分部积分法 u xv xdx u xdv x u xv x v xdu x 有理函数积 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处
3、理 分 按情况确定。本章 在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用 起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好 坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解习题 4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ d
4、x1 x 2 x 5 1 思路: 被积函数 x 2 ，由积分表中的公式（2）可解。 x2 x 5 3 dx 2 解： x 2 x x dx x 2 C 3 2 1 x 32 dx x 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 1 1 1 1 4 1 1 3 3 解： 3 x x dx x 3 x 2 dx x 3 dx x 2 dx 4 x 2x 2 C3 （2 x 2） x dx 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 2x 1 3 解： （2 x ） 2 dx x dx x C x 2 x 2 dx ln 2 34 x x 3dx 思路:根据不定积
5、分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 3 1 5 3 2 2 解： x x 3dx x 2 dx 3 x 2 dx 5 x 2x 2 C 3 x 4 3x 2 15 x 2 1 dx 3x 4 3x 2 1 1 思路:观察到 3x2 2 后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 x 1 2 x 1 分。 3 x 4 3x 2 1 1 x 2 1 dx 3x dx 1 x 2 dx x arctan x C 2 3 解： x26 1 x 2 dx x2 x2 1 1 1 思路:注意到 1 ，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 1 x 2 1 x 2 1 x2 x
6、2 1 解： 1 x 2 dx dx 1 x 2 dx x arctan x C.注：容易看出 56 两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 x 1 3 47 （ - - ） 2 x x3 x 4 dx 思路:分项积分。 x 1 3 4 1 1 解： （ - 3 - 4 ） xdx dx 3 x 3 dx 4 x 4 dx 2 x x x dx 2 x 1 2 3 2 4 3 x ln x x x C. 4 2 3 3 28 1 x 2 1 x2 dx 思路:分项积分。 3 2 1 1 解： 1 x 2
7、1 x2 dx 3 1 x 2 dx 2 1 x2 dx 3arctan x 2 arcsin x C.9 x x x dx 1 1 1 7 思路: x x x ？看到 x x x x 2 4 8 x 8 ，直接积分。 7 15 8 8 解： x x x dx x 8 dx 15 x C. 110 x 2 1 x 2 dx 思路:裂项分项积分。 1 1 1 1 1 1 解： x 2 1 x 2 dx 2 x 1 x 2 dx 2 dx x 1 x 2 dx arctan x C. x e2x 111 x dx e 1 e2 x 1 e x 1e x 1 解： ex 1 dx ex 1 dx e
8、 x 1dx e x x C. 3 e dx x x12 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然 3 e 3e）。 （ x x x （3e）x 解： 3 e dx （3e）dx C. x x x ln3e cot 213 xdx 思路:应用三角恒等式“ cot x csc x 1 ” 2 2 。解： cot xdx csc x 1dx cot x x C 2 2 2 3x 5 2 x14 3x dx 2 3x 5 2 x 2 x 思路:被积函数 x 2 （ ），积分没困难。 5 3 3 2 x 23 5 2 x 2 xx 解： dx 2 （ ） dx 2 x 5 （ 5
9、） 3 C. 3 x 3 ln 2 ln 3 2 x 2 dx15 cos 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 x 1 cos x 1 1 d dx x sin x C. 2 解： cos 2 2 2 2 116 1 cos 2 xdx 思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 1 1 1 1 1 cos 2 xdx 2 cos dx sec xdx 2 tan x C. 2 解： 2 x 2 cos 2 x17 cos x sin x dx 思路:不难，关键知道“ cos 2 x cos 2 x sin 2 x cos x sin x cos x sin x ”
10、。 cos 2 x 解：cos x sin xdx cos x sin xdx sin x cos x C. cos 2 x18 cos 2 x sin 2 x dx 思路:同上题方法，应用“ cos 2 x cos x sin x ” 2 2 ，分项积分。 cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 1 解： dx dx 2 dx x cos x sin x 2 2 cos x sin x 2 2 sin x cos 2 x csc2 xdx sec 2 xdx cot x tan x C. 1 x 1 x19 1 x 1 x dx 1 x 1 x 1 x 1 x 2 思路:注意到被
11、积函数 ，应用公式 5 即可。 1 x 1 x 1 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 x 1 解： 1 x 1 x dx 2 1 x 2 dx 2 arcsin x C. 1 cos 2 x20 1 cos 2 xdx 1 cos 2 x 1 cos 2 x 1 2 1 思路:注意到被积函数 sec x ，则积分易得。 1 cos 2 x 2 2 cos x 2 2 1 cos 2 x 1 1 tan x x 1 cos 2 xdx 2 sec xdx 2 dx 2 C. 2 解：2、设 xf xdx arccos x C ，求 f x 。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
12、d dx 思路分析：直接利用不定积分的性质 1： f xdx f x 即可。解：等式两边对 x 求导数得： 1 1xf x f x 1 x2 x 1 x23、设 f x 的导函数为 sin x ，求 f x 的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知， f x sin xdx cos x C1 所以 f x 的原函数全体为： （ cos x C1） sin x C1 x C2 。 dx 1 2x x ex4、证明函数 e e shx 和 e x chx 都是 的原函数 2 chx-shx 知识点：考查原函数（不定积分）与被
13、积函数的关系。思路分析：只需验证即可。 ex d 1 d d 解： e 2 x ，而 e 2 x e x shx e x chx e 2 x chx shx dx 2 dx dx 25、一曲线通过点 e 3 ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第 12 章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 d 1 解：设曲线方程为 y f x ，由题意可知： f x ， f x ln x C ； dx x 又点 e 2 3 在曲线上，适合方程，
14、有 3 lne 2 C C 1 ，所以曲线的方程为 f x ln x 1. 26、一物体由静止开始运动，经 t 秒后的速度是 3t m / s ，问：（1） 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？（2） 物体走完 360 米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为： y f t ， d 则由速度和位移的关系可得： f t 3t 2 f t t 3 C ， dt 又因为物体是由静止开始运动的， f 0 0 C 0 f t t 3 。1 3 秒
15、后物体离开出发点的距离为: f 3 33 27 米；2 令 t 3 360 t 3 360 秒。习题 4-21、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 1 1 1 解： 1 dx d 7 x 3 2 xdx d 1 x 2 3 x3 dx d 3 x 4 2 7 2 12 1 dx 1 dx 1 d e2 x 5 d 5ln x 64e 2 x dx d 3 5ln x 2 x 5 x 5 1 dx 1 dx 17 dt 2d t 8 d tan 2 x9 d arctan 3x. t 2 cos 2 x 2 1 9x 2 32、求下列不定积分。知识
16、点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！ e 3t（1） dt 思路:凑微分。 1 3t 1 3t 解： e dt e d 3t 3 e C 3t 3 3 5 x dx 32 思路:凑微分。 3 1 3 1 解： 3 5 x dx 5 3 5 x d 3 5 x 3 5 x 4 C 20 13 3 2 xdx 思路:凑微分。1 1 1 1 解： 3 2 x dx 2 3 2 xd 3 2 x 2 ln 3 2 x C. 14 3 5 3x dx 思路:凑微分。 .
