1、1不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量 ，而第二换元积分法重点要)(xu求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将 转化成 ，这种转化应是朝有利d于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分， 为无理函数时，常可用换元积分法。)(xf )(xf应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函
2、数不能用初等函数来表示，例如； ； ； （其中 ）等。dxsinex2dxln1xk2sin10k这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第 7 章我们将看到这类积分的无限形式的表示。一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数，若存在函数 ，使得该区间上每一点 处都有 ，则称 是 在该区间上)(xf)(xFx)(xfF )(xFf的原函数，而表达式 称为 的不定积分。C为 任 意 常 数 )(f（2） 的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，
3、因此求)(xf的不定积分 时，只需求出 的一个原函数 ，再加上一个任意常数 即可，即)(fdf )(xf)(xFC。CxFd)(（3）原函数 与不定积分 是个体与全体的关系， 只是 的某个原函数，而dxf)( )(x)(f是 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数 后，即 才能成为xf)()(f CF的不定积分，例如 都是 的原函数，但都不是 的不定积分，只有3,21,2xxx2x2才是 的不定积分（其中 是任意常数） 。Cx2 C（4） 的不定积分 中隐含着积分常数 ，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要)(xfdxf)(C2加上一个任意常数 。C（5）原函数存在的条件：如果函数 是
4、某区间上连续，则在此区间上 的原函数一定存在，)(xf )(xf由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分 dxedx2,lnsi都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。（二）换元积分法的几点说明换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。（1）第一换元积分法（凑微分法）：令 )(xu若已知 ，则有CxFdf)()(CxFdxf )()(其中 是可微函数， 是任意常数。)(x应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑
5、微分形式） 。（1） 、abxdbd)(1)()0，a为 常 数具体应用为 )()(1)( bxddxmm= Cbaxln11)1(（2） )(1dxa)(1bax、 、 均为常数，且 。例如：a(b)1,0axdxdxdx 21),(32,2（3） 为常数，)ln(1l1badx,(0a（4） 且 ；,0l,xexx )13（5） );(sinco),(ssinxdxdx（6） cottaec22 （7） )(rcn12xx（8） asi2d在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求 dxf21)(arctn时，应将 凑成 ；求dx21xarctnxrcf2)ot(时，应将
6、 凑成 ；而求 时， 就不能照搬上述两种凑法，应将x2xrcotd11凑成 ，即 。xd2)(22d（2）第二换元法积分法：令 ，常用于被积函数含 或 等形式。tx2xa2a常见的元理函数积分所采用的换元式如表 5-1 所示：表 5-1代换名称 被积函数含有 换元式三角代换2xa2x )2,(,sintax),0(sectx无理代换nbanx1211)(,)(nba即,ban1ban即txt为 的最小公倍数),(tn21,n（3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。（三）关于积分形式不变性在讲第一
7、换元积分法时，讲过这样一个定理：4如果 ，那么有 ，其中 是 的可微函数。这个定CxFdf)()(CuFdf)()( )(xu理说明：（1）积分变量 无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。（2）根据这个定理，基本积分表中的 既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数） ，因x此基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式 Cxdln1现在就可以看作是 l其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来，即如果被积函数 能够写成 的形式，且已知dxf)(dxg)(，则有CuFdg)()( xx
8、f)()(dgCxF)(同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致的，否则将出现错误。（四）分部积分法设 是可微函数，且 或 有原函数，则有分部积分公式：)(),(xu)(xu )(xu ddx)(或 当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成 或 的形式，这一步类似于凑微分，然后应用dxu分部积分公式 ，或 ，再计算 ，即得到积分结果。显然，用分部积分法计du算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做 和 的原则是：根据 容易求出 ； 要比原积dxu分 容易计算，实际中总结出一些常见的适用分
9、部积分法求解的积分类型及其 和 的选择规律，dxu一归纳如表 5-2。表 5-25分类 不定积分类型 和 的选择uI xdpnsi)(coxen)( xpnsi),(coxneu),(II dplxnarcsi)(oxdpnarct)( lpn)(,arcsixoun)(,arctxpIII exsico 或xe,sinsi,或ucoxuxco说明（1）表 5-2 中， 表示 次多项式。)(xpn（2）表 5-2 中的 等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数xearcsi,sin类型，例 ，表示对所有正弦函数 均适用，而 表示对所有 均适用，其它几个函数xsi )(bxebaxe
10、也如此。（3）III 类积分中，也可选择 （或 ） ，无论怎么样选择，都得到递推循环形式，xeuxsin,cos再通过移项、整理才能得到积分结果。（五）有理函数的积分有理函数可分为如下三种类型：（1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。（2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最简分式的代数和： kk qpxBAqpxaxA)(,)(, 22其中 为常数， 。kqp, 1,042qp因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。（3）有理假分式（分子次数不低于分母次数） ；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分
11、式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2）综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的，6后者可通过凑微分法求出的结果。二、例题分析例 1 为下列各题选择正确答案：（1） （ ）是函数 的原函数xf21)(A BxF2ln)( 21)(xFC D)3ln（2）若 满足 ，则 （ ）(xfCxdf2sin()(fA Bsin4 x2cosC D（3）下列等式中（ ）是正确的A )()(xfdfB CexC xff)()(D dx)12122（4）若 ，则 （ ）CxFf)()(dxf)(cosinA Bcos CFC Dxf)(in x)(si（
12、5）下列函数中， （ ）不是 的原函数。x2sinA B2cos1 2coC Dxin xs解（1）根据原函数的概念，验证所给函数 是否满足 。由于)(Fx21)(A 中 xx21)2(lB 中 43C 中 xx)ln(D 中 213217故正确选项为 D。（2）根据不定积分的性质可知 xCxdxf 2cos)2(sin)()4co2于是故正确选择为 C（3）根据不定积分的性质可凑微分的原则知 Cufdf)()(其中 是变量或可微函数，据此可知：uA 中应为 （缺 ）Cxfdf)()(B 中应为 （缺 ）eex xeC 中应为 （不应没有 ）fdf)(2)( 2D 中应为 )1(21)1(2x
13、dfxf C)(正确选项应为 D（4）设 则 ，于是,cosxuxdusin CxFuff )(cos)()()(in正确选项应为 D（5）根据原函数定义，对所给答案一一求导可知 不是 的原函数，故正确选项 B。2sin例 2 给出下列各题的正确答案：（1） ；xd（2） ；)(ln（3）若 ，则 ；)0(xxf dxf)(2（4）通过点 斜率为 的曲线方程为 ；)4,1(21解（1）设 ，则 ，于是xuud)21(21dudxCxC2lnln8应填 Cx21ln（2）设 ，则ul Cxudx22ln1)(ln应填 x2ln1（3）由于 ，故 因此xf21)( ,21)(xf Cxddf ln
14、21)2应填 Cxln21注意： xfdf)()(22（4）设曲线方程为 ，则 于是y,1)(2xf Cxdarctn通过点 ，则有 ，即 ，故所求曲线方程为)4,1(Carctn0.arctnxy例 3 求下列不定积分：（1） ； （2）dxe5 dx2)4(（3） ； （4） .dx)sin23(3 )1(2分析 题目所给的不定积分，都不能直接利用基本积分表中的公式计算，但稍作变形后，再利用不定各分的运算性质，便可得出结果。解 （1） dxex)5(根据积分公式 Caxln1在此 故,5ea原积分 eexx)5(ln1)5(ln（2）由于 ，根据不定积分的运算性质，有168)4(2xxdx
15、xd)16()4(29Cxx1632812（3） dxx)sin23(3)i1(2xdxdxdx sin2132 Cnco31（4）由于 ，所以2222 1)1()( xxxdd)(222 Cxxxarctn1122小结：（1）从上面的例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接得用基本积分表进行计算，而要先对被积函数作适当变形，使之化成积分表中所列形式的积分后，进而才能计算出结果，一般说来。所采用的恒等变形手段主要有：分式拆项、三解公式恒等变形等，要求读者熟悉这些手段。（2）将一个不定积分拆成几个不定积分的代数和后，求每一项的不定积分时，不必将每项不定积分中的积分常数一一写上，而只需在最后积分结
16、果中统一加上一个积分常数 C 即可。（3）检验积分结果正确与否时，只需将所得结果求导（或微分）即可，若其导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）时，则说明所得积分结果是正确的，否则是错误的。例 4 求下列不定积分（1） （2）dx2sindxe12（3） （4）ico 2)53(解 （1）由于 ，所以2cos1sn2x Cxdxd sin21)cos21(i（2）由于 ，所以)1(2xxx eee10dxedxex 1)1(2Cx（3）由于 所以xx2sinco2s xx2222 cos1sinicosi 故 原积分 Cdxta1sin22（4） dxxx)53()53( 2x)19Cxx2
17、5ln1l2ln例 5 计算下列不定积分（1） （2）dx)1sin(dxe21（3） （4）x2coxln分析 观察这些积分中的被积函数，发现它们都不符合基本积分表中的公式表式，即使进迁适当的变形也化不成表中公式的形式，因此需采取新的方法换元积分法求解。解 （1）观察题目发现，此被积表达式与基本各分表中公式（*）Cxdcossin类似，但又不完全一致，那么能否套用公式（*）直接得到 x)1()1i(呢？经检验积发结果知，这样做是错误的，原因是公式（*）中的被积函数 已换为xsin，)sin(而积分变量的微分依然是 ，没有相庆地换为 。正确的做法是先设中间变量 ，然后dx1xd1xu使被积表达式化成公式（*）的形式再求解。设 ，则 ， ，于是1xu1uuuddxsin1sin)sin(
