1、第？章 定积分一、本章知识结构不定积分不定积分的概念不定积分性质不定积分的计算二、本章学法指导定积分的学习要点在于把握不定积分的概念，认识到不定积分与微分之间的联系。三、本章教学目标1 知识目标：理解不定积分的概念、性质、几何意义；理解不定积分与微分的关系；2 能力目标：会用不定积分的换元法与分部积分法求不定积分；四、重点难点指导1.重点 不定积分的概念的理解；不定积分与微分的关系的理解；三类积分法的运用；2.难点 换元积分法与分步积分法的运用。例 1 求下列不定积分： ； ；dxsinco2dxx1324 ； .)1(2 )tan(sec分析： 此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代
2、数运算，就可利用基本公式求解。解 dxdxdx )sin(cosincosinco222 Cxcosi x art1313 32224 Cxdxxdx 4174542)( xdsectantsecsec)tansec2例 2 计算 .dx分析： 被积函数是绝对值函数或分段函数，求其不定积分，应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各任意常数间的关系，最后用一个任意常数表示其不定积分。解 因为.2,2)(xxf于是 .2,21,2)( 1xCxdxF由被积函数的连续性，有 ，即 ，所以)(0()(F412C .,21,421xCxdx例 3 求下列不定积分： ；
3、；xdsectan3 xd43cosin ； ；2/31)(rt )(13 dxcos； .dx2)ln(分析： 使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用一些常见函数的微分形式。但如果不易直接得到，则可应用拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形，化简成简单函数后再求不定积分；也可以从被积函数中取出部分表达式，求其导数后寻找规律，再确定如何凑微分。解 注意到 ，且 ，所以xdxsecstan1sectan22xdxsectan23 d)1(2 Csec3降幂法与化同名三角函数是求解形如 形式不定积分的基本方法。xnmcosi一般地，若两个函数都是偶次幂，则通
4、过半角公式降幂；若至少有一个函数为奇次幂，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积，化为同名三角函数求解。对本题，由于是奇次幂，且 ，故原积分可以化成 形式，x3sinx22cos1sin)(cosxdf所以.xdxxdcos)cos1(cosin4243 Cx75cos1将被积函数分成两部分，第一项凑微分得 ，第)(2d二项凑微分得 ，则xxarctn12 dxdx 2322/3 1)(arctn1)(arctn.Cx5)(rt)ln(这是一个有理函数的积分，但将被积函数分解为部分分式很麻烦，若将分子的 1 写成 ，再加一个因式，同时减去该因式，可4与分母的两项联系起来；若注意到分母次数高于分子次
5、数，作倒代换 ，也可简化被积表达式。tx1方法 1 )41()4(1)4( 3233 dxxdxdx .Cln2l方法 2 令 ，则txdx)4(13)(423tdt33241)(1ttClnx31l24lnl本题分母有两项，对分子分母同乘一个因子，可将分母化成单项；也可以用倍角公式将分母化为单项。方法 1 dxcos= dxx)cos1)(sdxx222 sincoisindxd)1(ci2.Cotsn1x2cot方法 2 dxcos1dx2sin22dx)12(cot.Ct)(c因为 ，即 ，所以xxln1)l( dxxd)ln1()l(.22)l()l( Cl3.第二类换元积分法例 4
6、求下列不定积分： ； ；dx12 dxa)0( ； ；)(3 ex21 ； .dx2)ln(1dtan分析： 有些不定积分，不能通过凑微分利用基本公式求解，但可利用变量代换转化积分形式后利用基本积分公式求解。常用的代换方法有：三角代换与双曲代换。这类代换针对某些特殊的无理根式，如对题作代换 或 可消去根式。注意作三角代换后taxsectaxosh应利用辅助三角形进行变量还原。根式代换。对某些含有根式的被积函数，通过根式代换可将其转化为有理函数积分，方法是取同形根式中方幂的最小公倍数作为代换形式。如对题作代换 .6xt指数代换。当被积函数中含有指数函数 时，用代换axe可转化积分形式，但常常需要
7、配合其他变换。axeu倒代换 .如果 分别表示被积式中分子分母变量的最高tx1nm,次数，则当 时，用倒代换较简。n解 方法 1 令 ，则txsec .1sinotan222 Cxttddx方法 2 由被积函数的特点，作倒代换 ，则tx.dx12 xtdt 11)(212222方法 1 该被积表达式带有根号，作变量代换，先去掉根号。令 =t，则 x= ,xa2ta 121211422 tdattdatdtd.CxCtaa 22rctnrcn方法 2 将被积函数分子有理化，再令 ，则taxsitdtadxadxacosin12. CxaCtt 2arsinsin1为去掉被积函数中的根号，令 ，则
8、6xt dtttdxx 252363 1Ctttln61.Cx61ln方法 1 被积式中含有指数函数 ，令 ，则xexet，22tdxe再令 ，于是tandtdxesecan11222Cotlcs.xeexxx 1lnln22方法 2 第二类换元积分法主要是去掉根式，为此令 ，tex21则 dtttdxe 121122CeCtxln1ln2.exl2方法 3 变量代换往往不惟一，令 ，则texantdtdxecsetans122.CxeCx1lnol 2注意到分母中 的次幂高于分子中 的次幂，令 ，则x t1 dttdttdx 222 ln1ln1ln1.Cxttlll2对第二类换元积分法，除
9、了常用代换外，有时根据被积函数特点采用特殊代换，也可以简化积分。对本题，令 ，则xtan dtttdx 2211tan1Ctarcnln4l.xx2seta2例 5 求下列不定积分：已知 的一个原函数是 ，求 ；xf xsindxf ； ；d23lndex21 ； .xsi lncos分析： 分部积分法适用于被积函数为两种不同类型函数乘积形式的不定积分，使用的关键是恰当选取 与 （或 ）.分xvdx部积分法常与换元积分法交替使用，或者数次使用才能算出结果。注意在反复使用分部积分法的过程中，每一次都应选取同一类函数作为 及 ，否则就会产生循环，致使解不出结果。另外，在用分v部积分法求不定积分时，
10、若在计算过程中出现循环现象，常常可通过解方程求出结果。常见积分类型有 ， ，对bxdeasinbxdeacos题令 ，即为这种形式。txln解 由条件可知， ， ，注意到xfsi xfsi， ，用分部积分法，有xfdf xdffdxf CxxCfxf sinsi22i3cosin这是对数函数与幂函数乘积形式的不定积分，取 ，x3ln，则 ，于是21xv xdv1 xdx23323 ln1llnlxddx ln16l3lll1 2223.Cxx 6n1n6n这是幂函数与指数函数乘积形式的不定积分，取 ，xu，则 ，于是21xev1xedv dxexxx 12exx1)(xxe.Cx)ln(这是幂
11、函数与三角函数乘积形式的不定积分，取三角函数为，幂函数为 ，应用分部积分公式。注意到被积函数带有根号，为vu去掉根号，令 ，则txtdtdcos2sin2sin4cotdtsin42ttsinis2 Ctcos4co.Cxxx44co方法 1 这是幂函数与复合函数乘积形式的不定积分，取， 则 ，于是xulncosvdxlncos dxx1lnsilcoxlcos.xxlsilc解方程得 .Cxdno21lncos方法 2 令 ，则t tdettdetextt siisicslcs.tt oin ttttcon解方程得 ，Ctetdtet）（ cssi21cs所以.xxlnsilcolncos例 6 求下列不定积分： ； ；dx13dx142 ； .sin)co2( 342)(分析： 特殊函数的不定积分是指有理函数、三角有理式、简单无理式的不定积分，求解的一般方法是通过万能代换或第二类换元先将三角有理式及无理根式转化为有理函数，再利用有理函数求不定积分的方法求解。解 因为
