1、I代数变形常用技巧及其应用摘 要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用关键词：代数变形 换元法 直接法 公式法 分解组合思想 待定系数法IIThe common skills and application o
2、f the algebra distortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up i
3、t as the question or the form which are quite familiar easy to solve. This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on
4、 carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skills uses in the fraction, inequality
5、,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient methodI目 录摘 要 .IAbstract.II一、绪论 .1二、换元法及其应用 .1（一）换元法的定义 .1（二）换元法的应用 .21应用于三角中 .22应用于分式不等式中 .23在方程组中的应用 .3
6、三、直接法及其应用 .4（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 .4（二）在不等式中的应用 .5（三）在求极限中的应用 .5（四）在求导中的应用 .6四、数学公式法及其应用 .7（一）完全平方公式的变形及应用 .7（二）三角公式变形及其应用 .7（三）行列式变形及其应用 .8五、分解组合思想及其应用 .9（一）配方法 .91应用于解方程和因式分解中 .92应用于二次型中 .103用配方法证明柯西不等式 .10II（二）拆项法 .111应用于数列求和 .112应用于行列式 .11（三）加“0”乘“1”法 .121加“0” .122乘“1” .133应用于行列式 .13六、待定系数法及其
7、应用 .14（一）待定系数法 .14（二）应用 .141在有理分式 分解中的应用 .152在求取值范围中的应用 .163在数列求和中的应用 .164在极限中的应用 .17结束语 .18致 谢 .19参考文献 .201一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题
8、“改头换面” ，得到错误结果实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题 （二）换元法的应用1应用于三角中例 求证 xx2cos4sin1tan2co4si3证明 令 ，则t左边 ，2222 141646ttt 右边 左
9、边，2221ttt所以原恒等式成立2应用于分式不等式中2例 试证对满足 ， ， ， 的所有实数210x2210xyz20xyz， ， ， ， ， ，有不等式：1x21y2z2，2212121218zyxzyxzyx 并求出等号成立的充要条件证明 设 ， ，则 ，021za02zb211za，22zbyx所以 21212121212121 zzyxyxzyx ，2121 bazbxaba 因此 221 2212121 88zyxzyxba aba即 ，2212121218zyxzyxzyx 且当且仅当 等号成立,z3在方程组中的应用例 已知方程组 (1)， 求 10x(1)120432124xx
10、 解 由第一个方程可知 ，,0ii3设 用 去乘第 个方程，两边得203,121 ixpi ip1i，203.,ii所以有，251ip又因为 所以 910px10或或x三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入例 (1) 已知 ，且 ，4 cyzbxyazyx, 0zyx求 的值 c11(2) 已知 ，求 的值abba5623223654ba解 (1) 由已知 ，zyx1所以 ，zyxa1同理可得到，zyxczyxb
11、1,111 zyxca所 以4(2) 由已知条件知 ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质0,ba消去 ，得：b，137530162156730152 abaaba因此，b所以2967323542bb原 式（二）在不等式中的应用例 设 ，且 求证：5niai,10aan21n21 不 等 式Shopir证明 因为 ，niaii ,211所以，原不等式变形为，anaaa nn 11122 即，ana2211由算术平均 调和平均，可得下式成立：anaaan 22121 11所以所求的原不等式成立（三）在求极限中的应用5例 求数列极限 5621limnn解 先求函数极限 ，对数后的极限为：2lixx
12、型，21linx22ln1lnix x2lim1x所以由归结原则可得：21limnn21lixxe（四）在求导中的应用例 设 ，求 7123524xyxy解 先对函数式取对数得，yln11l5ln45l2ln43xxxx再对上式两边分别求导数，得，25424yxx整理后得到1235215154244xyxx 四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上
13、才能灵6活变形使用（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ，我们可以进行恒等变形为：22baba(1) ；ba22(2) ；222241 ba(3) 222ba上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明例 化简 68.126316322解 原式 2 84（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用例 求证：9xzyxzyx tanttantatanta证明 左边 zyx1xzyxtattataxzyxnn右 边（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果例 计算 阶行列式7101n
