1、- 1 -六、 多元函数微分学61 多元函数的概念、极限与连续性A 内容要点(一) 多元函数的概念1二元函数的定义及其几何意义设 是平面上的一个点集，如果对每个点 ，按照某一对应规则 ，变量DDyxP, f都有一个值与之对应，则称 是变量 ， 的二元函数，记以 ， 称为定义zz yxfz,D域。二元函数 的图形为空间一卦曲面，它在 平面上的投影区域就是定义域yxfz,xy。D例如 ，211:2yxD二元函数的图形为以原点为球心，半径为 的上半球面，其定义域 就是 平面上以Dxy原点为圆心，半径为 的闭圆。- 2 -2三元函数与 元函数n空间一个点集称为三元函数zyxfu,zyx,称为 元函数n
2、21它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。(二) 二元函数的极限设 在点 的邻域内有定义，如果对任意 ，存在 ，只要yxf,0, 0，就有220 Ayxf,则记以 或Afyx,lim0yxlim0,称当 趋于 时， 的极限存在，极限值为 ，否则，称为极限不存,0,f, A在。值得注意：这里 趋于 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于yx,0,，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和0,yx简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。(三) 二元函数的连续性
3、1二元函数连续的概念若 则称 在点 处连续。0,lim0yxffyxyxf,0,- 3 -若 在区域 内每一点皆连续，则称 在 内连续。yxf,Dyxf,D2闭区域上连续函数的性质定理 1 （有界性定理）设 在闭区域 上连续，则 在 上一定有界.yxf,Dyxf,D定理 2 （最大值最小值定理）设 在闭区域 上连续，则 在 上一定有最大值和最小值（最大值） ， （最小值）MyxfDyx,ma, myxfDyx,in,定理 3 （介值定理）设 在闭区域 上连续， 为最大值， 为最小值。若f M，则存在 ，使得C0, Cf0,B 典型例题(一) 求二元函数的定义域例 1求函数 的定义域xyz3ar
4、csin- 4 -解：要求 即 ；13x3x又要求 即 或0y0,y0,y综合上述要求得定义域或03yx03yx例 2求函数 的定义域12ln42xyz(二) 有关二元复合函数例 1设 ，求2,yxyxfyxf,解：设 ， 解出 ，uvvu1vu21代入所给函数化简 248,f 故 224181, yxyxf例 2设 ，求53,22yxxyf yxf,例 3设 ，当 时， ，求函数 和1fzzfz例 4设 ，当 时， ，求函数 和 。yxfz02xzfz(三) 有关二元函数的极限- 5 -例 1讨论 （ 常数）yxayx21lim0a解：原式yxayx21li而 etytxttayx 1lim
5、_lim令又 axyayxayx 1lili2原式ae1例 2讨论 240limyxy例 3讨论 2430limyxy例 4讨论 22liyxyx62 多元函数的偏导数与全微分- 6 -A 内容要点(一) 偏导数1定义设二元函数 yxfz,若 存在，则记以 ，或ffx000,lim0,yxf0,yxz或 称为 在点 处关于 的偏导数。0,yzxyxfz,0,同理，若 存在，则记以 ，或yffy000,li 0,yxf0,yxz或 称为 在点 处关于 的偏导数。0,xzyxfz,0,类似地，设 yfu,即0,zyxf00xdzx即0,fy 00,yf即0,zxfz00,zdzxf2二元函数偏导数
6、的几何意义表示曲面 与平面 的截线在点 处的切0,yxf yxfz,0y00,yxf线关于 轴的斜率； 表示曲面 与平面 的截线在点0fy xfz,处的切线关于 轴的斜率00,f- 7 -3高阶偏导数设 的偏导数 和 仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为yxfz,yxf,f,的二阶偏导数，共有四种。yxfzx,2fyyx,fzxyx,2fyy,2当 ， 在 处为连续则xz2x, xyz2也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。类似地可以讨论二元函数的三阶及 阶偏导数。n也可以讨论 元函数 的高阶偏导数。n3(二) 全微分1二元函数的可微性与全微分的定义设 在点 处有全增量yxfz,0,
7、00,yxf若 yBxAz 022y其中 不依赖于 只与 有关，,0,yx则称 在 处可微，而 称为 在 处的全yxfz0yBAyxfz,0,- 8 -微分，记以 或0,yxdz0,yxf2二元函数的全微分公式当 在 处可微时yxfz,0,则 yxffdyx 00 ,dfyfyx 0,这里规定自变量微分 ，xy一般地dfyfxdfzyx,3二元函数全微分的几何意义二元函数 在点 处的全微分 在几何上表示曲面yxfz,0,0,yxdz在点 处切平面上的点的竖坐标的增量。yxfz,0,f4 元函数的全微分公式n类似地可以讨论三元函数和 元 函数的可微和全微分概念，在可微情况下n3dzyxfdzyx
8、fdzyxfzyxdf z, knnkxff ,121 (三) 偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系- 9 -设 ，则 连续 存在yxfz,yz,dz连 续存 在yxfz,(四) 方向导数与梯度（数学一）1平面情形在平面上过点 沿方向 的方向导数yxz,0,yxPcos,ltyxftflft 000 cscoslim, 在点 处的梯度为yxfz0,yxyxffgradf 00,而方向导数与梯度的关系为lyxgradfyxlf 00,lflrf ,cos由此可见，当 的方向与 的方向一致时， 为最大，这时等于l0,yxgradf 0,yxlf又方向导数与偏导数的关系为0,yxgradfcos,cos, 000 yxfxyfl 这相当用两向量的点乘的坐标公式2空间情形（略）- 10 -63 多元函数微分法A 内容要点(一)复合函数微分法链式法则模型 1 ， ，vufz,yx,yxv,；xzuz模型 2 ，zyxfu,yx,yzfyx模型 3 ， ，zyxfu,xzffdxzy
