1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、我网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果
2、赛区设置报名号的话）： sm063 所属学校（请填写完整的全名）： 山东现代职业学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 马昱轩 2. 李倩 3. 梁帅健 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 宋祖芳 日期：2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：sm063032013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：0古塔的变形模型摘要某古塔是我国重点保护文物,已有上千年历
3、史。由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。基于附件1提供的4次观测数据：对于问题1，1986年和1996年的观测数据中都缺少13层一个点的数据（因 MATLAB程序中用的是循环语句，所以计算时赋予0值） ，其它各层均给出8个点的观测值，为使所得数据更具真实性，确定古塔各层中心位置的方法更具适用性，本文将每层所给8点构成的图形看做不规则
4、八边形，用中垂线求交点法求得古塔各层中心坐标。对于问题2，结合问题1的分析，采用垂直投影法 1求古塔的倾斜度，根据所得数据，分析古塔的倾斜程度（因1986年和1996年13层赋予值后所得数据偏差较大，为使所得数据更具真实性，所以本问题起1986年和1996年13层数据予以舍弃） ；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过 轴、 轴的界面，求出每层xz古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在 轴、 轴的界面的弯曲程度。同理，也xz可分析 轴、 轴的界面的弯曲程度；扭曲同样是采用垂直投影法 1求古塔每层的yz倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。对于问题3，利用问题1
5、、2所得数据，进行合理的分析与猜想，进而分析出古塔塔身的倾斜、弯曲、扭曲等变化趋势。本文的模型解决了题目给出的问题，计算过程中充分尊重观测数据，给出更符合实际的结果。本文所得结果大部分由图表给出，结合图像，较为直观地表现出古塔变形情况。结果表明，采用 数学软件可得出可靠结论。MATLB关键词：古塔变形监测 垂直投影法 倾斜度1一、问题的重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先
6、后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、问题的分析2.1 问题的背景某古塔是我国重点保护文物。已有上千年历史，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。对现存历史文物古塔的保护，掌握古塔的形变，显得尤为重要，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。管理
7、部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。2.2 问题的分析基于附件 1 提供的 4 次观测数据：2.2.1 问题一的分析本题建立模型是利用中垂线（即中垂线相交于一点为中点)法，求解古塔各层中心的坐标，以确保古塔中心坐标的准确性。2.2.2 问题二的分析根据层与层之间的中心点，塔体倾斜变化采用垂直投影法 1(即垂线法，利用2相对位移量进行监测)；弯曲是建立在二维平面上的一条曲线，通过截取古塔过 x轴、 轴的界面，求出每层古塔的倾斜度，从而分析得出古塔塔身在 轴、 轴的z z界面的弯曲程度。同理，也可分析 轴、 轴的界面的弯曲程度；
8、扭曲同样是采用yz垂直投影法求古塔每层的倾斜度，建立三维立体空间，根据所得数据，分析古塔塔身的扭曲程度。2.2.3 问题三的分析我们在对古塔进行安全性监测方面要满足两个方面：塔体的倾斜变化；塔身各段的变化 1。针对上述几个方面就采取对应的监测方法。3、问题的假设1.假设求解古塔各层中心坐标时纵坐标先不予以考虑；2.假设古塔的地基土抗压能力强、韧性大、不易收缩，对古塔的变形不产生任何影响；3.假设对古塔观测数据的缺失可忽略不计；4、符号及文字说明表示建立古塔坐标轴的横坐标x表示古塔各层的第 ( =1,2,.,8）个点的横坐标i i表示建立古塔坐标轴的纵坐标y表示古塔各层的第 （ =1,2，.,8
9、)个点的纵坐标i i表示建立古塔坐标轴竖坐标z表示古塔各层的第 ( =1,2,.,8)个点的竖坐标i i表示古塔的第 条直线的斜率ikil表示两个 点之间的中点xx表示两个 点之间的中点yy表示古塔中心点到水平面的距离H表示古塔中心点的位移量D3表示古塔的倾斜度Q表示古塔的第 ( =1,2,.,13)层数（ MATLAB 程序中 ）jj表示古塔各层的第 ( =1,2,.,8）个点（ MATLAB 程序中 ）ii表示关于横坐标的 矩阵（ MATLAB 程序中 ）X813表示关于纵坐标的 矩阵（ MATLAB 程序中 ）Y表示各层每两点之间中垂线的斜率（ MATLAB 程序中 ）K表示每层 8 条
10、中垂线两两相交所得交点的关于横坐标的 矩阵（ MATLAB 程序x 813中 ）表示每层 8 条中垂线两两相交所得交点的关于纵坐标的 矩阵（ MATLAB 程y序中 ）五、模型的建立与求解（1）问题一的模型建立与求解1.通过中垂线的方法对古塔各层中心坐标进行求解，根据 附件 1 表格数据，1986 年和 1996 年的观测数据中都缺少 13 层一个点的数据计算时赋予 0 值。然后观察数据，古塔的每 层八个点的高度变化不大，假设把古塔的每一层的点看作是i在一个平面上，求解古塔各层中心坐标时纵坐标先不予以考虑，之后用平均值的方法计算出。 分析过程如下图 1-1：（用 MATLAB 软件作图（ 附件
11、 1，程序 1） ）41-1根据上图，做出任意两边的中垂线，交与一点 ，如下图所示 1-2（在上图上O用画图工具作图）：1-25由图可知， 点坐标为 ， 点坐标 。根据公式 ，得:A,yxB)“,(yx21x， ； ， 21x212332y根据直线的斜率公式，求出直线 的斜率 。同理，求出直线 的斜率 。ABlAkBClBk12xykA23xy再根据中垂线定理 ，求出中垂线 ， 的斜率 ， ； 1l1k2121yxkA232yxkB设中垂线的直线方程 为：1l)(1xky设中垂线的直线方程 为：2l)“(“2xky通过方程、建立方程组:)“(“21xky解得： ； 21“kxyx21yk再把、
12、式中所求的数据代入中，即可解出两中垂线交点 坐标。同理，O通过数学软件 MATLAB 编程求解（ 附录 1，程序 2）可得出每层八条中垂线两两相交的八个交点坐标，得出数据并对这八个中垂线的交点求平均值，因 1986 年和 1996年的观测数据中都缺少 13 层一个点的数据计算时赋予 0 值得出的数据偏差太大，此时予以舍弃。塔顶数据是塔顶的四个点求平均值而得。各层中心坐标如下表：6表一： 各层中心坐标 ),(iiyxO古塔层次 ix i1 566.664514 522.70913682 566.7215137 522.67217293 566.7773312 522.63602994 566.8
13、21135 522.6072255 566.8683524 522.57609286 566.9173327 522.54558997 566.9505701 522.52838828 566.9835974 522.51155529 567.0181737 522.494943410 567.0509921 522.481303111 567.1072922 522.441432512 567.1630598 522.401326713 - -塔顶 567.24725 522.24375而每层古塔都有一定的高度差，因此，假设每层古塔的中心高度为每层八点的平均高度，即： ，因此，古塔每层的中心
14、坐标是：),(iizyxO表二：1986 年古塔各层中心坐标 iizyxO,古塔层次 ixiyiz1 566.664514 522.7091368 1.7873752 566.7215137 522.6721729 7.320253 566.7773312 522.6360299 12.755254 566.821135 522.607225 17.078255 566.8683524 522.5760928 21.72056 566.9173327 522.5455899 26.2351257 566.9505701 522.5283882 29.8368758 566.9835974 52
15、2.5115552 33.3508759 567.0181737 522.4949434 36.85487510 567.0509921 522.4813031 40.17212511 567.1072922 522.4414325 44.44087512 567.1630598 522.4013267 48.711857713 - - -塔顶 567.24725 522.24375 55.123525表三：1996 年古塔各层中心坐标 iizyxO,古塔层次 ixiyiz1 566.664714 522.7088368 1.7832 566.7224008 522.6712321 7.314
16、6253 566.7789381 522.634408 12.750754 566.8233162 522.6050197 17.0751255 566.8710945 522.5732208 21.766 566.9207197 522.5421644 26.22957 566.9543744 522.5245028 29.8368758 566.9877018 522.5073211 33.3508759 567.0229012 522.4899727 36.85487510 567.0561171 522.47609 40.16762511 567.1130185 522.4356821
17、 44.44087512 567.1690607 522.395182 48.70737513 - - -塔顶 567.25435 522.23665 55.11975表四：2009 年古塔各层中心坐标 iizyxO,古塔层次 ixiyiz1 566.7448287 522.7001717 1.76452 566.7794913 522.6717696 7.3093 566.8123971 522.6450678 12.732254 566.839279 522.6225762 17.069755 566.8672333 522.5991397 21.7093756 566.9573958 522.5522863 26.2117 566.991 522.5309222 29.8246258 567.0440874 522.5004085 33.3398759 567.0968128 522.469119 36.8437510 567.1524056 522.4153501 40.16112511 567.1963122 522.3745082 44.43262512 567.2399861 522.3339371 48.69975
