1、MATLAB6.0 数学手册62第 1 章 矩阵及其基本运算MATLAB，即“矩阵实验室 ”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍 MATLAB 的命令及其用法。1.1 矩阵的表示1.1.1 数值矩阵的生成1实数值矩阵输入MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。不管是任何矩阵（向量） ，我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（， ）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（ ）内；当矩阵是多维（三维以上） ，且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方
2、括号。如： Time = 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Time =11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X_Data = 2.32 3.43；4.37 5.98X_Data =2.43 3.434.37 5.98 vect_a = 1 2 3 4 5vect_a =1 2 3 4 5 Matrix_B = 1 2 3； 2 3 4；3 4 5Matrix_B = 1 2 32 3 43 4 5 Null_M = %生成一个空矩阵2复数矩阵输入复数矩阵有两种生成方式：第一种方式例 1-1 a=2.7;b=13/25; C=1,2*a+i*b,b*sqrt(
3、a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1C=1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544 0.7071 5.3000 4.5000 第 2 章 数值计算与数据分析63第 2 种方式例 1-2 R=1 2 3;4 5 6, M=11 12 13;14 15 16R =1 2 34 5 6M =11 12 1314 15 16 CN=R+i*MCN =1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i1.1.2 符号矩阵的生
4、成在 MATLAB 中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式上很相像，只不过要用到符号矩阵定义函数 sym，或者是用到符号定义函数 syms，先定义一些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。1用命令 sym 定义矩阵：这时的函数 sym 实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。如下例：例 1-3 sym_matrix = sym（a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!，）sym_matrix =a b cJack Help Me! NO WA
5、Y! sym_digits = sym（1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan （z）sym_digits =1 2 3a b csin（x）cos（y）tan （z）2用命令 syms 定义矩阵先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。例 1-4 syms a b c ； M1 = sym（Classical） ； M2 = sym（ Jazz） ； M3 = sym（Blues） syms_matrix = a b c； M1， M2， M3；int2str（2 3 5）syms_matrix = a b cClassical Jazz Blu
6、es 2 3 5把数值矩阵转化成相应的符号矩阵。数值型和符号型在 MATLAB 中是不相同的，它们之间不能直接进行转化。MATLAB提供了一个将数值型转化成符号型的命令，即 sym。MATLAB6.0 数学手册64例 1-5 Digit_Matrix = 1/3 sqrt（2） 3.4234；exp （0.23） log（29） 23（-11.23） Syms_Matrix = sym（Digit_Matrix）结果是：Digit_Matrix =0.3333 1.4142 3.42341.2586 3.3673 0.0000Syms_Matrix = 1/3， sqrt（2） ， 17117
7、/50005668230535726899*2（-52） ，7582476122586655*2（-51） ，5174709270083729*2（-103）注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩 阵转 化成符号矩阵后，都将以最接近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。1.1.3 大矩阵的生成对于大型矩阵，一般创建 M 文件，以便于修改：例 1-6 用 M 文件创建大矩阵，文件名为 example.mexm= 456 468 873 2 579 5521 687 54 488 8 1365 4567 88 98 21 5456 68 4589 654 5 987 5488 10 9
8、6 33 77在 MATLAB 窗口输入：example;size(exm) %显示 exm 的大小ans=5 6 %表示 exm 有 5 行 6 列。1.1.4 多维数组的创建函数 cat格式 A=cat(n,A1,A2,Am)说明 n=1 和 n=2 时分别构造A1；A2 和A1，A2，都是二维数组，而 n=3 时可以构造出三维数组。例 1-7 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A4=cat(3,A1,A2,A3)A4(:,:,1) =1 2 34 5 67 8 9A4(:,:,2) =1 4 72 5 83 6 9A4(:,:,3) =0 -2 -
9、42 0 -24 2 0第 2 章 数值计算与数据分析65或用另一种原始方式可以定义：例 1-8 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3A5(:,:,1) =1 2 34 5 67 8 9A5(:,:,2) =1 4 72 5 83 6 9A5(:,:,3) =0 -2 -42 0 -24 2 01.1.5 特殊矩阵的生成命令 全零阵函数 zeros格式 B = zeros(n) %生成 nn 全零阵B = zeros(m,n) %生成 mn 全零阵B = zeros(m n)
10、%生成 mn 全零阵B = zeros(d1,d2,d3) %生成 d1d2d3全零阵或数组B = zeros(d1 d2 d3) %生成 d1d2d3全零阵或数组B = zeros(size(A) %生成与矩阵 A 相同大小的全零阵命令 单位阵函数 eye格式 Y = eye(n) %生成 nn 单位阵Y = eye(m,n) %生成 mn 单位阵Y = eye(size(A) %生成与矩阵 A 相同大小的单位阵命令 全 1 阵函数 ones格式 Y = ones(n) %生成 nn 全 1 阵Y = ones(m,n) %生成 mn 全 1 阵Y = ones(m n) %生成 mn 全
11、1 阵Y = ones(d1,d2,d3) %生成 d1d2d3全 1 阵或数组Y = ones(d1 d2 d3) %生成 d1d2d3全 1 阵或数组Y = ones(size(A) %生成与矩阵 A 相同大小的全 1 阵命令 均匀分布随机矩阵函数 rand 格式 Y = rand(n) %生成 nn 随机矩阵，其元素在（0，1）内Y = rand(m,n) %生成 mn 随机矩阵MATLAB6.0 数学手册66Y = rand(m n) %生成 mn 随机矩阵Y = rand(m,n,p,) %生成 mnp随机矩阵或数组Y = rand(m n p) %生成 mnp随机矩阵或数组Y =
12、rand(size(A) %生成与矩阵 A 相同大小的随机矩阵rand %无变量输入时只产生一个随机数s = rand(state) %产生包括均匀发生器当前状态的 35 个元素的向量rand(state, s) %使状态重置为 srand(state, 0) %重置发生器到初始状态rand(state, j) %对整数 j 重置发生器到第 j 个状态rand(state, sum (100*clock) %每次重置到不同状态例 1-9 产生一个 34 随机矩阵 R=rand(3,4)R =0.9501 0.4860 0.4565 0.44470.2311 0.8913 0.0185 0.61
13、540.6068 0.7621 0.8214 0.7919例 1-10 产生一个在区间10, 20内均匀分布的 4 阶随机矩阵 a=10;b=20; x=a+(b-a)*rand(4)x =19.2181 19.3547 10.5789 11.388917.3821 19.1690 13.5287 12.027711.7627 14.1027 18.1317 11.987214.0571 18.9365 10.0986 16.0379命令 正态分布随机矩阵函数 randn格式 Y = randn(n) %生成 nn 正态分布随机矩阵Y = randn(m,n) %生成 mn 正态分布随机矩阵Y
14、 = randn(m n) %生成 mn 正态分布随机矩阵Y = randn(m,n,p,) %生成 mnp正态分布随机矩阵或数组Y = randn(m n p) %生成 mnp正态分布随机矩阵或数组Y = randn(size(A) %生成与矩阵 A 相同大小的正态分布随机矩阵randn %无变量输入时只产生一个正态分布随机数s = randn(state) %产生包括正态发生器当前状态的 2 个元素的向量s = randn(state, s) %重置状态为 ss = randn(state, 0) %重置发生器为初始状态s = randn(state, j) %对于整数 j 重置状态到第
15、j 状态s = randn(state, sum(100*clock) %每次重置到不同状态例 1-11 产生均值为 0.6，方差为 0.1 的 4 阶矩阵 mu=0.6; sigma=0.1; x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)x =0.8311 0.7799 0.1335 1.05650.7827 0.5192 0.5260 0.4890第 2 章 数值计算与数据分析670.6127 0.4806 0.6375 0.79710.8141 0.5064 0.6996 0.8527命令 产生随机排列函数 randperm格式 p = randperm(n) %产生 1n 之间整
16、数的随机排列例 1-12 randperm(6)ans =3 2 1 5 4 6命令 产生线性等分向量函数 linspace格式 y = linspace(a,b) %在(a, b) 上产生 100 个线性等分点y = linspace(a,b,n) %在(a, b) 上产生 n 个线性等分点命令 产生对数等分向量函数 logspace格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生 50 个对数等分向量y = logspace(a,b,n)y = logspace(a,pi)命令 计算矩阵中元素个数n = numel(a) %返回矩阵 A 的元素的个数命令 产生以输入元素为对角线
17、元素的矩阵函数 blkdiag格式 out = blkdiag(a,b,c,d,) %产生以 a,b,c,d,为对角线元素的矩阵例 1-13 out = blkdiag(1,2,3,4)out =1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4命令 友矩阵函数 compan格式 A = compan(u) %u 为多项式系统向量，A 为友矩阵，A 的第 1 行元素为 -u (2:n)/u(1)，其中 u (2:n)为 u 的第 2 到第 n 个元素，A 为特征值就是多项式的特征根。例 1-14 求多项式 的友矩阵和根 u=1 0 -7 6; A=compan(u) %求多项式的友矩阵A
18、 =0 7 -61 0 00 1 0 eig(A) %A 的特征值就是多项式的根ans =ba10,67)3(2)( xxxMATLAB6.0 数学手册68-3.00002.00001.0000命令 hadamard 矩阵函数 hadamard 格式 H = hadamard(n) %返回 n 阶 hadamard 矩阵例 1-15 h=hadamard(4)h =1 1 1 11 -1 1 -11 1 -1 -11 -1 -1 1命令 Hankel 方阵函数 hankel格式 H = hankel(c) %第 1 列元素为 c，反三角以下元素为 0。H = hankel(c,r) %第 1
19、列元素为 c，最后一行元素为 r，如果 c 的最后一个元素与 r 的第一个元素不同，交叉位置元素取为 c 的最后一个元素。例 1-16 c=1:3,r=7:10c =1 2 3r =7 8 9 10 h=hankel(c,r)h =1 2 3 82 3 8 93 8 9 10命令 Hilbert 矩阵函数 hilb格式 H = hilb(n) %返回 n 阶 Hilbert 矩阵，其元素为 H(i,j)=1/(i+j-1)。例 1-17 产生一个 3 阶 Hilbert 矩阵 format rat %以有理形式输出 H=hilb(3)H =1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1
20、/4 1/5 命令 逆 Hilbert 矩阵函数 invhilb格式 H = invhilb(n) %产生 n 阶逆 Hilbert 矩阵命令 Magic(魔方)矩阵函数 magic格式 M = magic(n) %产生 n 阶魔方矩阵第 2 章 数值计算与数据分析69例 1-18 M=magic(3)M =8 1 6 3 5 7 4 9 2 命令 Pascal 矩阵函数 pascal格式 A = pascal(n) %产生 n 阶 Pascal 矩阵，它是对称、正定矩阵，它的元素由Pascal 三角组成，它的逆矩阵的所有元素都是整数。A = pascal(n,1) %返回由下三角的 Chol
21、esky 系数组成的 Pascal 矩阵A = pascal(n,2) %返回 Pascal(n,1)的转置和交换的形式例 1-19 A=pascal(4)A =1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 A=pascal(3,1)A =1 0 0 1 -1 0 1 -2 1 A=pascal(3,2)A =1 1 1 -2 -1 0 1 0 0 命令 托普利兹矩阵函数 toeplitz格式 T = toeplitz(c,r) %生成一个非对称的托普利兹矩阵，将 c 作为第 1 列，将 r作为第 1 行，其余元素与左上角相邻元素相等。T = toeplitz(r) %
22、用向量 r 生成一个对称的托普利兹矩阵例 1-20 c=1 2 3 4 5; r=1.5 2.5 3.5 4.5 5.5; T=toeplitz(c,r)T =1 5/2 7/2 9/2 11/2 2 1 5/2 7/2 9/2 3 2 1 5/2 7/2 4 3 2 1 5/2 5 4 3 2 1 命令 Wilkinson 特征值测试阵函数 wilkinson格式 W = wilkinson(n) %返回 n 阶 Wilkinson 特征值测试阵MATLAB6.0 数学手册70例 1-21 W=wilkinson(4)W =3/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0
23、1 3/2 W=wilkinson(7)W =3 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3 1.2 矩阵运算1.2.1 加、减运算运算符：“”和“”分别为加、减运算符。运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十” ， “一”运算进行。例 1-22 A=1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6B=8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2AB=A+BA-=A-B结果显示：A+B=9 2 74 7 105 12 8AB=-
24、7 0 -5-2 -3 -4-3 -6 41.2.2 乘法运算符：*运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。1两个矩阵相乘例 1-23X= 2 3 4 5;1 2 2 1；Y=0 1 1;1 1 0;0 0 1;第 2 章 数值计算与数据分析711 0 0；Z=X*Y结果显示为：Z=8 5 63 3 3 2矩阵的数乘：数乘矩阵上例中：a=2*X则显示：a =4 6 8 102 4 4 2向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。数组乘法：A.*B 表示 A 与 B 对应元素相乘。3向量点积函数 dot格式 C = d
25、ot(A,B) %若 A、B 为向量，则返回向量 A 与 B 的点积，A 与 B 长度相同；若为矩阵，则 A 与 B 有相同的维数。C = dot(A,B,dim) %在 dim 维数中给出 A 与 B 的点积例 X=-1 0 2；Y=-2 -1 1;Z=dot(X, Y)则显示：Z =4还可用另一种算法：sum(X.*Y)ans=44向量叉乘在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在 Matlab 中，用函数 cross 实现。函数 cross格式 C = cross(A,B) %若 A、B 为向量，则返回 A 与 B 的叉乘，即C=AB，A、B 必须是 3 个元素的向量；若 A、B 为矩阵，则返回一个 3n 矩阵，其中的列是 A 与 B 对应列的叉积，A、B 都是 3n 矩阵。C = cross(A,B,dim) %在 dim 维数中给出向量 A 与 B 的叉积。A 和 B 必须具有相同的维数，size(A,dim)和 size(B,dim)必须是 3。例 1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。a=1 2 3;b=4 5 6;c=cross(a,b)结果显示：c=-3 6 -3
