1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区
2、设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）1NBA 赛程的分析与评价摘要本论文首先综合分析 NBA 上个赛季的赛程、赛绩和本赛季的赛程，依据所给的资料并确定出赛程对球队利弊的三个主要影响因素（连续同
3、强队比赛的次数、背靠背的次数、连续客场的次数） ，并对其进行数据统计与分析。利用 Excel 统计出 30 支球队的三个主要因素的对应值，其次再利用偏大型柯西分部隶属函数确定其主要影响因素的权值，一句所给的影响因素的权值和三个主要影响因素得到各球队的的利比指标利弊指数，并求出各球队的利弊指数。由问题一得到的数据结果观察得知火箭利弊指数为 0.5365，其排名在第 20 位，所以本次赛程安排对姚明加盟的火箭队而言是比较不利的，依据问题一得出的数据知其中最有利的球队是凯尔特人队，最不利的是森林狼队。关于问题三，在公平性和观赏性的基础上考虑，NBA 中同部不同区球队实力较悬殊的尽可能多打 3 场的比
4、赛，球队实力接近的尽可能多打 4 场比赛。依据附件 2 的数据可以得到比赛 3 场或比赛 4 场球队的实力差值，并统计得到的数据。以西南区的球队为例，分别统计出与西北区、太平洋区球队的实力差值，并建立 0-1 规划模型，再利用 lingo 软件求解出了比赛 3 场球队的最优选取方案。比较两差值的大小，最后得知利用 0-1 规划模型后的选取方法较合理。关键词：隶属函数 利弊指数 0-1 规划2一、问题重述赛程的安排对于 NBA 球队实力的发挥和战绩都有一定的影响，但编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情。这个题目主要是要求用数学建模方法对 2008 年-2009 年赛程进行
5、定量的分析与评价：（1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，要考虑那些因素，并且根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。（2）按照 1 的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对 30支球队最有利和最不利的球队。（3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛 4 场（主客各 2 场） ，与不同部的每一球队赛 2 场（主客各 1 场） ，与同部不同区的每一球队有赛 4 场和赛 3 场（2 主 1 客或 2 客 1 主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部 3 个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛 3 场的
6、球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。二、问题分析问题 1 首先依据上一个赛绩和本次赛季的赛程数据，并确定赛程对球队利弊的主要影响因素，然后要确定影响因素的权值；利用所求的影响因素的权值和影响因素得到各球队的影响指标，根据本赛季各球队的影响指标可对东西联盟的 30 支球队进行排序。问题 2 根据问题 1 所得的数据结果分析，着重分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并利用所得的数据分析赛程对哪个队最有利的、对哪个队最不利的。问题 3 通过对赛程安排的统计，发现比赛 3 场的 4 个球队是平均分部在同部不同区的,根据对对手实力的分析发现差异较大,为了比赛的观赏性
7、和公平性，若安排实力相差较大的球队赛 3 场就可以把此不利因素降到最低，毕竟影响胜负的关键还是实力。三、模型假设31）不考虑各个球队人员变动及伤病因素，即球队实力不变；2）用 2007-2008 赛季 NBA 常规赛各球队战况确定各球队实力具有一定的准确性、可信性；3）每一个球队对手实力越接近自己的实力，则说明赛程安排越公平越合理；4）默认排名前 15 的球队为强队，排名后 15 的球队为弱队。四、符号说明表示第 j 个球队连续两天内都有比赛的次数jA表示第 j 个球队连续在客场比赛 2 场或 2 场以上的次数jB表示第 j 个球队连续同 2 个或 2 个以上的强队比赛的次数Cj为第 i 个影
8、响因素权重iw为某一个球队第 i 个影响因素值iT表示选取西南区球队 和西北区球队 比赛的场次ijxij表示选取西南区球队 和太平洋区球队 比赛的场次ijyij表示西南区每个球员对西北区每个球员的实力差矩阵5ijk表示西南区每个球员对太平洋区每个球员的实力差矩阵5ijm五.模型的建立与求解5.1 确定主要影响因素通过对 NBA2007-2008 比赛的赛绩进行分析 ，认为 NBA 赛程对东西联盟的 30 支1球队的影响是客观存在的，并通过对以往赛程和赛绩的分析确定了主要的客观影响因素包括三个方面，即连续同强队比赛的次数、背靠背的次数及连续客场的次数。1、连续同强队比赛的次数连续同强队比赛指的是
9、连续 2 场或 2 场以上同强队比赛，考虑到队员们心理、体力等因素的关系，对手强弱对球队的实力发挥和今后的赛事存在客观的影响。2、背靠背的次数背靠背指的是连续两天都参加比赛，考虑到了球员们的体质、体力的关系，背靠背的多少必定影响到球队最终的赛绩。43、连续客场的次数客场指的是球队在其他球队场地上比赛考虑到天时地利及人和的关系，连续 2 场或 2场以上在客场比赛必定对球队的利弊存在影响。5.1.2 各球队实力的确定根据 2007-2008 的赛绩表中的胜率指标，对球队实力按从强到弱依次排列表 1，为了使球队的强弱指标便于量化，将排名进行简化（排名前 15 只球队分为强队，排名后15 个球队分为弱
10、队） 。表 1 各球队的实力排名球队名称 凯尔特人 活塞 湖人 马刺 黄蜂 火箭 太阳 爵士排名 1 2 3 4 5 6 7 8球队名称 魔术 小牛 掘金 勇士 骑士 奇才 开拓者 猛龙排名 9 10 11 12 13 14 15 16球队名称 76 人 国王 老鹰 步行者 蓝网 公牛 山猫 雄鹿排名 17 18 19 20 21 22 23 24球队名称 尼克斯 快船 灰熊 森林狼 超音速 热火排名 25 26 27 28 29 305.1.3 球队各影响因素值统计与确定将附录(2008-2009)赛季赛程表转换为便于数学处理的数字格式，再利用 EXCEL 将影响因素进行统计得到表 2 各球
11、队各影响因素值的统计表：表 2 各球队各影响因素值的统计表连续与强队比赛次数 连续客场次数 背靠背勇士 13 8 7雄鹿 9 3 5小牛 12 4 4网 9 4 4太阳 11 9 9山猫 8 5 5森林狼 12 8 8热火 6 5 6骑士 7 5 6奇才 7 6 6尼克斯 10 4 5魔术 8 7 5猛龙 9 5 4马刺 12 7 5老鹰 8 6 6快船 14 11 9凯尔特人 6 6 6开拓者 11 8 8影 响因 素球队5爵士 11 6 7掘金 10 6 5火箭 11 8 7活塞 10 5 5灰熊 13 6 6黄蜂 13 8 7湖人 13 10 6国王 16 9 9公牛 12 5 3超音速
12、 11 7 7步行者 11 5 576人 10 6 4为了便于表 2 中每一列数据做统一的比较，首先用极差规范化方法分别对相应的影响因素值作相应的规范化处理，1）背靠背的次数规范计算：（1）1301min15ax2jjjjj jjjAA(,23.0)j2）连续客场的次数规范计算：（2）1301in3ax1jjjjj jjjBB(1,23.0)j3）连续同强队比赛的次数规范计算：（3）1301min6axjjjjj jjjC(1,23.0)j其中 表示第 j 个球队连续两天内都有比赛的次数， 表示第 j 个球队连续在客jA jB场比赛 2 场或 2 场以上的次数， 表示第 j 个球队连续同 2
13、个或 2 个以上的强队比赛Cj的次数。再利用（1） （2） （3）式计算后（Matlab 将矩阵规范化） 2得规范化后各球队各影响因素值，如表 3；表 3 各球队各影响因素规范化后值背靠背的次数规范化后的值连续客场的次数规范化后的值连续同强队比赛的次数规范后的值勇士 0.5000 0.6250 0.7000影 响 因素球 队65.1.4 计算并确定各影响因素的权重首先对所确定的主要三个影响因素进行量化处理,从而给出影响因素的量化值,设强度集为很强,较强,强,稍强,不强,对应的数值为 5,4,3,2,1。根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数 ：3（4）211(),3()ln,5axbxfxcd其
14、中 为待定系数，实际上强度为“很强”时，则隶属度为 1，即 =1；,abcd (5)f当强度为“强”时，则隶属度为 0.8，即 ；当强度为“不强”时，则认为隶(3)0.8f属度为 0.01，即 ；于是可以计算出：(1)0.f雄鹿 0.4000 0 0.3000小牛 0 0.1250 0.6000网 0 0.1250 0.3000太阳 1.0000 0.7500 0.5000山猫 0 0.2500 0.2000森林狼 1.0000 0.6250 0.6000热火 0.5000 0.2500 0骑士 0.6667 0.2500 0.1000奇才 0.4000 0.3750 0.1000尼克斯 0
15、0.1250 0.4000魔术 0.4000 0.5000 0.2000猛龙 0 0.2500 0.3000马刺 0.3333 0.5000 0.6000老鹰 0.4000 0.3750 0.2000快船 1.0000 1.0000 0.8000凯尔特人 0.6000 0.3750 0开拓者 1.0000 0.6250 0.5000爵士 1.0000 0.3750 0.5000掘金 0.2000 0.3750 0.4000火箭 0.5000 0.6250 0.5000活塞 0.4000 0.2500 0.4000灰熊 0.5000 0.3750 0.7000黄蜂 1.0000 0.6250 0
16、.7000湖人 0.4000 0.8750 0.7000国王 1.0000 0.7500 1.0000公牛 0 0.2500 0.6000超音速 0.7500 0.5000 0.5000步行者 0.3333 0.2500 0.500076 人 0 0.3750 0.40007（5）1.086942.35abcd将其代入（4）可得隶属函数；（6）211.086(.94),3()395ln,5xxfx经计算 则强度集很强,强,较强,稍强,不强的量化值2.4,().ff为（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01） 。利用此量化值对影响因素进行赋权处理结果见表 4（影响因素的权值表） ；表
17、4 影响因素的权值表影响因素连续 2 场及以上强队 1w连续 2 场及以上客场 2w背靠背比赛 3w赋予值 很强 强 比较强隶属值 1 0.8 0.9126归一后权值 0.37 0.29 0.345.1.5 建立各球队的利弊指标综合考虑以上影响因素，利用层次分析法可以计算出赛程对球队的利弊指数，于是建立赛程安排对各球队利弊的数量指标利弊指数，将其记为 T；（7）31iTw其中 为第 i 个影响因素权重， 为某一个球队第 i 个影响因素值。iwi再利用所得的表 3 数据，建立各球队各影响因素值的矩阵：30ijT(1,23.0;1,23)ij其中 为第 个球队第 个影响因素值。取表 4 归一后的权
18、向量：ijT 123Tw则赛程对每支球队利弊指数 为：（8）123130.TijTw8则 的值越大表示赛程对球队越不利，反之则越有利。T再利用 Matlab 软件计算，将计算的结果利用 Excel 进行从小到大排列，结果见表 5；表 5 赛程对各支球队利弊指标权向量表5.2 问题二由问题一所得的数据，并且表 5（赛程对各支球队利弊指标权向量表）可以显而易见得出归一后量化差值，可知 T 都存在差异，但是差值幅度不大。从而表明 20082009 年的赛程安排对于球队而言是比较公平的。1)从表格 5 可以得到姚明加入的火箭队排名第 20，从而表明 20082009 年的赛程安排对火箭队比较不利的。2
19、)从表格 5 可以知道对凯尔特人队最有利，对森林狼最不利。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 比赛 3 场球队的分析据附件 2 各球队的胜率计算球队间的实力差值如表 6，并统计同部不同区各队比赛场次如表 7：表 6 球队间的实力差值表黄蜂 马刺 火箭 小牛 灰熊利弊指数 球队 名次 利弊指数 球队 名次0.1465 凯尔特人 1 0.3565 活塞 160.1472 网 2 0.3708 步行者 170.1835 猛龙 3 0.4803 马刺 180.1843 尼克斯 4 0.5015 灰熊 190.2425 热火 5 0.5363 火箭 200.247 雄鹿 6 0.585 超音速 210.2567 76 人 7 0.6102 勇士 220.2582 小牛 8 0.6338 爵士 230.2818 奇才 9 0.6487 湖人 240.2945 公牛 10 0.7063 开拓者 250.3127 山猫 11 0.7425 太阳 260.3188 老鹰 12 0.7432 国王 270.3247 掘金 13 0.7803 黄蜂 280.3362 骑士 14 0.926 快船 290.355 魔术 15 0.9275 森林狼 30
