1、2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛章
2、程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）.我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写 )： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话)： 所属学校（请填写完整的全名)： 重庆正大软件职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 方 政 2. 熊小红 3. 张雪梅 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号)：2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号
3、 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号)：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用)：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号)：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号)：0古塔的变形模型摘要本文研究的是对古建筑的进行定期多次监测与制定必要的保护措施.我们使用Matlab7.1 绘制出 4 个年份中古塔的整体图像、每塔层的平面图及每个坐标构成的图形，还使用 JAVA 语言编程求两直线交点坐标 、AutoCAD 2007 - Simplified Chinese 绘图工具及 Excel 对数据进行处理，来解决本题.对于第一问，首先，我们 Matlab7.1 绘制出 4 次对
4、古塔整体的测量图形；其次，为了分析 4 次图形的整体变化情况，我们将对附件中的数据分析，采用了两直线相交模型，来求解中心坐标，最后，我们通过 Eclipse 编程，得到了每个年份中每个塔层的 4 个直线相交坐标和 1 个中心坐标，然后，使用 Excel 统计 4 个坐标的平均值与该中心坐标的差值关系，来检验计算结果.求解如下所示：见表 15对于第二问，我们根据问题 1 中所求解的中心坐标，使用 Matlab7.1 进行绘图、Excel 处理数据，最后，得出以下结论：1.倾斜：第二次测量相对于参考对象求得的平均斜率为：0.1808 ，其中，第三次测量相对于参考对象求得平均斜率为：0.3147 ，
5、最后，第四次测量相对于参考对象求得的平均斜率为：0.0435 2弯曲：如下表： 3.扭曲：如下表： 表 1 表 2纵坐标 横坐标 斜率1986 年 524.5670 569.4871 0.9211 1996 年 519.9358 568.9981 0.9138 2011 年 523.7979 568.6519 0.9211 对于第三问，在第二问的基础之上讨论得出：1、倾斜：该古塔的斜率先快速增加，再迅速减小的波动曲线.2、弯曲：该古塔的弯曲先慢速增加，再迅速增长的波动曲线.3、扭曲：时间越往后去，上下波动曲线越小.平均值1996 年 1-8 层 8-13 层第八层 6.4325 0.07720
6、09 年 1-8 层 8-13 层第八层 3.5077 0.47632011 年 1-7 层 7-13 层第七层 2.1409 0.431关键词: 古塔 倾斜分析 变形监测 Eclipse 编程 Matlab7.1 一. 问题提出我国古代建筑是中国古代文化的宝贵遗产，数千年来形成了博大精深的独特体系，是集历史性、艺术性和科学性于一体的文化代表，在世界建筑史上占有重要地位.然而，以土木砖为主要建筑材料的中国古代，其塔形建筑大都存在倾斜问题，有“十塔九斜”之说.由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等.为保护古塔，文物部门需适
7、时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施.某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物.管理部门委托测绘公司先后于 1986年 7 月、1996 年 8 月、2009 年 3 月和 2011 年 3 月对该塔进行了 4 次观测.我们根据附件 1 提供的 4 次观测数据，将讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标.2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况.3. 分析该塔的变形趋势.二. 问题分析中国古塔具有明显的民族造型特点，在古塔常常高高突出于其他古建筑之上，加之造型装饰精美，在民间素有“宝塔”的美誉.由于木结构容易遭受火灾、虫蛀、
8、风水灾、风化和人为破坏.因此，现存的古塔除少数木塔外，其承载体均为不易破坏的砖石结构.但是这类建筑物由于长细比大、重心高，对地基条件往往十分敏感，许多古塔都产生了不同程度的倾斜.特别是砖石结构的古塔，自重大、强度低，一旦倾斜，往往造成倾斜一侧地基受力集中，又进一步加速了建筑物的倾斜.由于古塔历经沧桑，现状残损加剧，急需修缮保护，我们对木塔残损及倾斜等因素进行了一定的分析：一、建筑方面：（1） 、我们对古塔进行了三维建模方法的研究，分析了一种可动态修改的建筑三维建模方法，此方法对于中国木结构古建筑而言，不仅提高了模型制作的效率，而且提供了一种量化的研究方法.（2） 、我们将对古塔的第一自振频率、
9、第二自振频率进试着进行预算；其次，古塔的地基的材质选择，也将影响着古塔的稳健性，科学、合理的工程物理性质、力学性质、承载力等都关系着地基的作用.二、结构方面：（1） 、古塔自身整体结构，外观形状、内部的结构（斗拱构造形式等） 、层层结构分布情况、整个古塔中各个杆件之间的连接构造等，我们需要试着合理的简化、假设，使得模型更具有科学性、理论性.(2)、古塔自身的主要杆件因数，需要具备防火灾性、防虫蛀性、防腐性等特性，如果，杆件为木材对象，其根据力学性能、耐久性等受力纹方形影响很大，在各个方向均不同，而且，木构件在順纹受压变形相对于横纹方向（径向、切向）受压时要小的多；在遭受横纹受压时，随着外荷载的
10、增大，其变形十分显著.2三、环境方面：（1） 、在风作用下，古塔所能承受风荷压力，由于木塔的体型复杂，在风压标准值计算时，体型系数的取值不能采用荷在规范的建议值，会对古塔进一步造成程度.(2)、古塔所处的地理位置，属于中国地形中几级阶地，此处的地质形态处于怎样阶段，自然灾害的频繁率的值，都会对古塔产生影响.(3)、古塔周围的水资源分布，每一季节或每一年中气候的状态与空气的湿热度，降雨量，都直接影响古塔的稳定性.(4)、至今为止，古塔所遭受的强外力或自身材质老化轻度降低等综合影响，也是决定古塔的整体稳定性.对于问题一，我们针对每层三维坐标的各个点两两相连构成四个交点 ，再将四ijA个交点继续两两
11、相连构成一个交点 ，通过 JAVA 语言计算各交点坐标，对计算出的ijO计算四个交点坐标的平均值与交点 进行比较，分析误差的大小对其影响，最终确定ij最优的中点，其次利用各个中点通过 MATLAB 软件绘图，得出古塔各层中心位置的通用方法.对于问题二，我们结合问题一所求出的中心坐标，通过 AutoCAD 2007 - Simplified Chinese 绘出各个塔层中坐标散点图，分析 4 个交点的分布情况；其次，我们根据古塔的倾斜度=相对高/偏移量，用 Excel 对所得数据进行统计、分析，从而判断出古塔的倾斜程度；接着，我们定义平面中弯曲，利用 1986 年中的中心横坐标与后面 3 次的差
12、值，筛选出差值最大的数据，说明改值变化快，从而，得出弯曲的斜率；最后，我们通过对每一层中各个交点的旋转位移之和最小，来判断出它们的扭曲角度变化趋势.对于问题三，我们主要在解决问题二的方法、思想来分析古塔的倾斜、弯曲、扭曲等情况.最后对所建模型进行评价和改进.三. 模型假设1假设整个古塔的材质构造分布均匀、外观形状、塔内结构统一并无隔层.2假设整个古塔的各个部位受环境因数影响都相同.3假设古塔都有自身固定的自振频率.4假设古塔所处的地基的阶数、高度、材质与周围环境相适应.5假设以保证对古塔的安全、维护，测量的结果的偏差范围，所给数据为最新统计且真实可靠.6假设古塔四次测量中，均以 1986 年这
13、次为参考标准.四.符号说明3ijA表示古塔在第 年份及第 层中一个交点坐标ijijO表示古塔在第 年份及第 层中一个中点坐标iP表示每个塔层 8 个坐标所构成的 4 条直线ix表示古塔每个塔层中的任意 8 个坐标点的横坐标iy表示古塔每个塔层中的任意 8 个坐标点的纵坐标j表示古塔每个塔层中的任意 4 个交点坐标的横坐标jy表示古塔每个塔层中的任意 4 个交点坐标的纵坐标a表示两直线相交中的任一直线斜率b表示两直线相交中的任一直线常数c表示两直线相交中的另一直线斜率d表示两直线相交中的另一直线常数五.模型建立与求解5.1 模型分析对于问题一，我们根据每层坐标运用 JAVA 语言两两相交求解四个
14、交点 ，进一步，ijA我们模拟这四个交点 在一个平面上，继续两两相交求解公共的一个交点 .求出四ijA ijO个交点的平均值而得出的点与四个交点 相交于另一个交点 进行比较，分析他们的ijAij相对值，相对值越小，证明误差越小，则四个交点在两两相交后得到的另一个交点即为该层的中心坐标点 ，最终确定最优的中点（如图 1） ，其次利用各个中点通过ijOMATLAB 软件绘图，得出古塔各层中心位置的通用方法，(编程代码详见附录 1、2）4P1324OA图 15605655705755155205255300102030405060图 25560 562 564 566 568 570 5725165
15、18520522524526528530图 3我们针对每层三维坐标的各个点两两相连构成四个交点 ，再将四个交点继续两ijA两相连构成一个交点 ，并通过 JAVA 语言计算各交点坐标，对计算出的计算四个交ijO点坐标的平均值与交点 进行比较，分析误差的大小对其影响，最终确定最优的中点，ij其次利用各个中点通过 MATLAB 软件绘图，得出古塔各层中心位置的通用方法.5.1.2 模型建立与求解根据对问题 1 分析可知，两直线相交，必有一个交点，每个塔层面都有 7、8 个坐标，两两相连，构成 4 条直线，可以求出相交的 4 个坐标；其次，再次利用本模型，对 4 个坐标进行中点坐标的求解，列出如下函数
16、关系：(编程代码详见附录 3)+11c =(y- )/(x -)ii+1dy/ (-x)iiiAjx=1(-)xiiii +1 y- )iiiiA+1/ (-) i ijyiiii+1-(-(iii1(y-)x) )i该函数关系可以求四次年份中所有塔层的四个交点坐标，以及中心坐标.为了验证4 个坐标平均值与中心坐标，我们采用了差值分析法，对数据进行验证.我们通过对问题的再次分析与 JAVA 编程使用利用公式，用 Excel 对 1986 年、1996 年、2009 年、2011 年进行数据筛选，求出了 4 个交点值、中心坐标.如下表所示：表 5-1交点一 交点二 交点三 交点四 平均值 中心坐
17、标 差值6x第一层 565.4426 568.9791 568.3971 564.9587 566.9444 566.9402 -0.0042 第二层 520.7938 524.4330 520.3176 525.0784 522.6557 566.7045 44.0488 第三层 564.5905 568.9573 568.4282 565.1237 566.7749 566.7728 -0.0021 第四层 564.5905 568.9573 568.4282 565.1237 566.7749 566.8142 0.0393 第五层 564.7176 568.9246 568.4405
18、565.1883 566.8178 566.8499 0.0322 第六层 564.8546 568.8876 568.4405 565.1883 566.8428 566.9145 0.0717 第七层 565.0243 568.8537 568.4646 565.3420 566.9212 566.9145 -0.0067 第八层 565.3197 568.6685 568.3766 565.5803 566.9863 566.9862 -0.0001 第九层 565.4832 568.6312 568.3334 565.7251 567.0432 566.9658 -0.0774 第十层
19、 565.6391 568.4920 568.2923 565.8241 567.0619 567.0671 0.0053 第十一层 565.7689 568.4649 568.2508 565.9460 567.1077 567.1093 0.0017 第十二层 565.8987 568.4369 568.2087 566.0803 567.1561 567.1940 0.0379 第十三层 566.0240 567.0652 564.9590 566.1857 566.0585 637.7390 71.6806 表 5-2交点一 交点二 交点三 交点四 平均值 中心坐标 x 差值第一层 5
20、64.2676 569.0401 569.3981 564.9587 566.9161 566.9254 0.0093 第二层 564.4313 569.0021 568.4138 565.0438 566.7228 566.7196 -0.0032 第三层 564.5921 568.9608 568.4298 565.1299 566.7781 566.7809 0.0027 第四层 564.7198 568.9268 568.4428 565.1905 566.8200 566.8164 -0.0035 第五层 564.8574 568.8916 568.4557 565.2611 566
21、.8664 569.4871 2.6207 第六层 564.9928 568.8571 568.4680 565.3308 566.9122 566.9059 -0.0063 第七层 565.1603 568.7637 568.4238 565.4590 566.9517 566.9485 -0.0032 第八层 65.3240 568.3809 568.3809 565.5846 441.9176 568.3809 126.4633 第九层 565.4879 568.5827 568.3384 565.7098 567.0297 565.7098 -1.3199 第十层 565.6442 5
22、68.4971 568.2974 565.8292 567.0670 567.0722 0.0053 第十一层 565.7746 568.4707 568.2568 565.9517 567.1135 567.1151 0.0017 第十二层 565.9048 568.4429 568.2147 566.0742 567.1591 567.1570 -0.0021 第十三层 566.0301 567.0712 564.9651 566.1919 566.0646 571.8804 5.8159 表 5-3交点一 交点二 交点三 交点四 平均值 中心坐标 x 差值第一层 564.3448 569
23、.0731 568.4453 564.9660 566.7073 566.7067 -0.0006 第二层 564.4955 568.9993 568.4268 565.0603 566.7455 566.7474 0.0020 第三层 564.6435 521.0058 568.4088 565.1529 554.8027 568.1886 13.3859 第四层 564.7616 568.8706 568.3945 565.2273 566.8135 566.8204 0.0069 第五层 564.8886 568.8096 568.3791 565.3066 566.8460 566.8
24、553 0.0093 7第六层 565.1464 568.6964 568.3627 565.4791 566.9211 566.9286 0.0075 第七层 565.2740 568.6964 568.3753 565.5571 566.9757 568.9981 2.0223 第八层 565.3958 568.6510 568.3735 565.6471 567.0169 567.0217 0.0048 第九层 565.5489 568.2459 568.2228 565.7500 566.9419 566.9472 0.0053 第十层 565.8178 568.5545 568.31
25、86 568.5545 567.8113 568.5545 0.7431 第十一层 565.6790 568.5738 568.3527 565.8725 567.1195 567.1216 0.0021 第十二层 565.9564 568.5148 568.2763 566.1288 567.2191 567.2158 -0.0033 第十三层 566.0977 568.4841 568.2434 566.2598 567.2712 567.2652 -0.0060 表 5-4交点一 交点二 交点三 交点四 平均值 中心坐标 x 差值第一层 564.3449 569.0732 568.445
26、4 564.9661 566.7074 566.7067 -0.0007 第二层 564.4956 568.9995 568.4270 565.0605 566.7457 566.7477 0.0020 第三层 564.6438 568.9279 568.4092 565.1532 566.7835 566.7884 0.0048 第四层 564.7620 568.8710 568.3949 565.2277 566.8139 566.8208 0.0069 第五层 564.8892 568.8102 568.3797 565.3073 566.8466 566.8366 -0.0100 第六
27、层 565.4771 568.7309 568.3774 565.4771 567.0156 565.4771 -1.5385 第七层 565.2428 568.7001 568.4530 565.5445 566.9851 567.2062 0.2211 第八层 565.4680 568.6519 568.5685 568.6519 567.8351 568.6519 0.8168 第九层 565.5499 568.6029 568.3725 565.7509 567.0691 567.0726 0.0035 第十层 565.6800 568.5953 568.3624 565.8736 5
28、67.1278 567.1297 0.0019 第十一层 565.7848 568.5556 568.3197 565.9172 567.1443 567.1429 -0.0014 第十二层 565.9577 568.5161 568.2776 566.1301 567.2204 567.2171 -0.0033 第十三层 566.0987 568.6744 568.3261 566.2604 567.3399 567.3300 -0.0099 综上所示，古塔在这四次的观测中，用中心坐标的通用计算模型，顺利的解决问题.其中，4 个交点的平均值与中心横坐标之间的差值很小，可以说明求解的值准确性很高.其中，我们对 4 次塔尖进行了平均求值，得到如下关系：表 5-5塔尖1986 年 567.24725 522.24375 55.123251996 年 567.25435 522.23665 55.119752009 年 567.336 522.2148 55.0912011 年 567.3375 522.2135 55.0875.2 模型分析
