1、 2008 年暑假初三数学 M09T071韦达定理【知识要点】1若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根分别为 , ，则： + =-b/a； . =c/a1x21x21x22若 , 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-( + )x+ =0.2【经典例题】【例 1】求下列方程的两根之积与两根之和（1） （2）1532x 012x（3） （4）32m32【例 2】已知 , 为方程 x2+px+q=0 的两根，且 + =6, 2+ 2=20，求 p 和 q 的值.1x2 1x1x【例 3】已知：方程 的两根为 ， ，不解方程求下列各式的值：12x1x2(1) ； (2) 1x
2、313【例 4】已知：关于 x 的方程 x2-3x+2k-1=0 的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且 1+2k0,求满足上述条件的 k 的整数值.2008 年暑假初三数学 M09T072【例 5】 已知方程组 (x,y 为未知数) ，有两个不同的实数解 )12(0xky 21,yxyx(1)求实数 k 的取值范围； (2)若 求实数 k 的值. ,3212xy【例 6】 已知，关于 x 的方程(n-1)x 2+mx+1=0有两个相等的实数根.(1)求证：关于 y 的方程 m2y2-2my-m2-2n2+3=0必有两个不相等的实数根；(2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式
3、 m2n+12n 的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件.【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程 x2+2x-7=0 的两实数根之和为 2B.方程 x2-3x-5=0 的两实数根之积为-5C.方程 x2-2x-7=0 的两实数根的平方和为 18D.方程 x2-3x-5=0 的两实数根的倒数和为 3/52.若 是一元二次方程 2x2-3x+
4、1=0 的两个根，则 的值是 ( )1, 21xA.5/4 B.9/4 C.11/4 D.72008 年暑假初三数学 M09T0733.已知关于 x 的一元二次方程 -mx+2m-1=0 的两个实数根的平方和为 7，那么 m 的值是 ( )2xA.5 B.-1 C.5 或-1 D.-5 或 14.方程 x2-3x-6=0 与方程 x2-6x+3=0 的所有根的乘积为 ( )A.-18 B.18 C.-3 D.35.已知：a、b、c 是ABC 的三条边长，那么方程 cx2+(a+b)x+c/4=0 的根的情况是 ( )A.无实数根 B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根 D.有两个异号的
5、实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为 1，两实根之和为 3 的一元二次方程： 。2.已知方程 x2+3x-1=0 的两根为 、，那么 += 。3.以 为根的一元二次方程是 。3和4.已知：实数 a、b 满足条件 a2-7a+2=0，b 2-7b+2=0，且 ab，则 5.设 是方程 2x2+4x-3=0 的两个根，则( +1)( +1)= ， = . 21,x 1x221x6.设 是方程 2x2-3x+m=0 的两个实根，且 8 -2 =7， 则 m 的值是 . 7. 2 是一元二次方程 x2-3x+m=0 的一个根，-2 是一元二次方程 x2+3x-m=0 的一个根，那么 m= .8.已
6、知：已知关于 x 的方程 x2-3x+m=0 的一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为 . 三、解答题1、已知：关于 x 的方程 x2-2mx+3m=0 的两个实数根是 且 =16，如果关于 x 的另一个方程21,x21x2-2mx+6m-9=0 的两个实数根都在 之间，求 m 的值.21,x2.当 a 取什么值时,关于 x 的方程 ax2+4x-1=0 有两个实数根?(1)一变:当 a 取什么值时,关于 x 的一元二次方程 ax2+4x-1=0 有实根?(2)二变:当 a 取什么值时,关于 x 的方程 ax2+4x-1=0 有实根?(3)三变:当 a 取什么值时,关于 x 的方程 ax2
7、+4x-1=0 的两根都是正数?2008 年暑假初三数学 M09T0743已知 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根.21,x(1)是否有在实数 k，使（ ） （ ）=-3/2 成立?若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理21x21x由.(2)求使 的值为整数的实数 k 的整数值.212x4已知关于 x 的方程(m+1)x 2+2mx+m-3=0 总有实数根.(1)求 m 的取值范围.（2)若 m 在取值范围内取最小正偶数时，方程是否有两个根，若有，设两根为 ，求：21,x)41(322x的值；若没有说明理由.5在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是 8 和 2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9 和-1.你能找出正确的原方程吗?若能,请你用配方法求出这个方程的根.2008 年暑假初三数学 M09T075作业1. m,n 是方程 x2+2002x-1=0 的两个实数根，则 = . mn222 如果方程组 只有一个实数解，求 m 值. mxy243.已知： 是方程 x2-x+a=0 的两个实数根，且 ，求 a 的值. 21,x 312x4已知方程 （1）若方程两根之差为 5，求 的值；（2）若方程一根是另一根的 2 倍，032kx k求这两根之积
