1、杆件的塑性变形15.1 概 述工程问题中绝大部分构件必须在弹性范围内工作，不允许出现塑性变形。但有些问题确须考虑塑性变形。15.2 金属材料的塑性性质图 15.1 是低碳钢拉伸的应力-应变曲线。过屈服极限后，应力和应变的关系是非线性的有 pe（15.1）弹性范围内，应力和应变之间是单值对应的。塑性阶段却并非如此，应力和应变不再是单值对应的关系（如图 15.2） 。下面是几种常见的塑性材料模型。图 15.1 低碳钢拉伸的应力-应变曲线 图 15.2 弹塑性应力-应变有时也把应力-应变关系近似地表为幂函数，幂强化材料的应力-应变关系曲线如图 15.7 所示。 nc15.3 拉伸和压缩杆系的塑性分析
2、现以图 15.8 所示两端固定的杆件为例来说明静不定拉压杆系的塑性分析，当载荷 P逐渐增加时，杆件两端的反力是baPRbaR21(a)P力作用点的位移是baEAP1(b)如 b则 21R。随着 的增加，C段图15.8 两端固支杆图15.3 理想弹塑性材料模型图15.4刚塑性材料模型图15.6刚塑性线性强化材料模型图15.5线性强化材料模型图15.7幂强化材料模型的应力将首先达到屈服极限。若相应的载荷为 1P，载荷作用点的位移为 1，由（ a） 、 （ b）两式求得baAPbaPRs1,S1Es1由平衡方程可知 S2APR(c)载荷作用点 c的位移为 Eb11(d)CB段也进入塑性阶段时， S2
3、AR，由（ c）式求出相应的载荷为S2P载荷达到 2P后，整个杆件都已进入塑性变形。例 18.1 在图 15.9a所示静不定结构中，设三杆的材料相同，横截面面积同为 A。试求使结构开始出现塑性变形的载荷 1P、极限载荷 p。解：以 1N和 2分别表 AC和 D杆的轴力， 3N表 AB杆的轴力。令s1E， s，得 33322 2cos1,coNP(e)图15.9 三杆桁架当载荷逐渐增加时， AB杆的应力首先达到 s，这时的载荷即为 1P。由（ e）式的第二式得 31S3cos2PN由此解出 3S1A载荷继续增加，中间杆的轴力 s保持为 ,两侧杆件仍然是弹性的。直至两侧的杆件的轴力 1N也达到 S
4、，相应的载荷即为极限载荷 P。这时由节点 A的平衡方程知 1cos2cos2SSP AA加载过程中，载荷 与 点位移的关系已表示于图 15.9b中。15.4 圆轴的塑性扭转圆轴受扭时，横截面上的剪应力沿半径按线性规律分布，即PIT(a)随着扭矩的逐渐增加，截面边缘处的最大剪应力首先达到剪切屈服极限s（图 15.10a） 。若相应的扭矩为 1T，由（ a）式知图15.10 圆轴受扭转S3PS12rIT(b)极限扭矩 P，其值为 Aspd取 dA2代入上式后完成积分，得s3PrT(15.4)达到极限扭矩后，轴已经丧失承载能力。例 18.2 设材料受扭时剪应力和剪应变的关系如图 15.11a所示，并
5、可近似地表为Bm式中 m 和 B皆为常量。试导出实心圆轴扭转时应力和变形的计算公式。解：根据圆轴扭转的平面假设，可以直接引用 3.4 中的（ b）式，求得横截面上任意点处的剪应变为dx(d)式中 dx是扭转角沿轴线的变化率， 为横截面上一点到圆心的距离， 即为该点剪应变。 （ ）式表明，沿横截面半径，各点的剪应变是按直线规律变化的（图 15.11b） 。由（ c） 、 （ d）两式求出xBm(e)或者写成图15.11 剪应力和剪应变的关系m1dxB(f)横截面上的扭矩应为 AdT取 dA2,并以(f)式代入上式， m131m121 rdxBxBTro(g)从（ f）和（ g）两式中消去1，得剪
6、应力的计算公式m132rrT(h)令 r，得最大剪应力为 ITrr41312P3max 当 1m时，材料变为线弹性的，上式变为 PmaxIrT由（ e）式知 rdxBmax故有mPmax4131ITrBrd积分求得相距为 l的两个横截面的相对扭转为rlITrBmP413(i)当 1m， G时，上式化为 PGIl这就是公式（3.17） 。15.5 塑性弯曲和塑性铰1551 纯弯曲 根据平面假设，横截面上距中性轴为 y 的点的应变为y(a)式中1是曲线的曲率。静力方程： A0d(b)My(c)在线弹性阶段，有 I(d)若以 1表示开始出现塑性变形时的弯距，由（ d）式知maxS1yIM(e)载荷逐
7、渐增加，横截面上塑性区逐渐扩大，且塑性区内的应力保持为S（图 15.12b） 。最后，横截面上只剩下邻近中性轴的很小区域内材料是弹性的。此时，无论在拉应力区或压应力区，都有 S如以 1A和 2分别表示中性轴两侧拉应力区和压应力区的面积，则静力方程（ b）化为 21AA21sss1 0Addd若整个横截面面积为 ，则应有 21故有 21A(15.5)极限情况下的弯矩即为极限弯矩 pM，由静力方程（ c）得A 21sAssp12 yAydAydyM式中 1y和 2分别是 1和 2的形心到中性轴的距离。利用公式（18.5）又可把上式写成图15.12 纯弯曲图15.14 矩形截面梁的横力弯曲和塑性铰2
8、1SP2yAM(15.6)【例 15.3】在纯弯曲情况下，计算矩形截面梁和圆截面梁开始出现塑性变形时的弯矩 1和极限弯距 p。解：对矩形截面梁（图 15.13） ，由（ e）式得开始出现塑性变形的弯矩1M为 S2maxS16bhyIM由公式（15.13）求得极限弯矩 p为S2S21SP 4bhbhyAM1和 p之比为 5.1P所以从出现塑性变形到极限情况，弯矩增加了 50%。对圆截面梁, S3maxS14ryIMS3S321SP 4rrA7.161P从开始塑性变形到极限情况，弯矩增加 70%。15.5.2 横力弯曲 图 15.13 矩形截面和圆截面横力弯曲情况下，弯矩沿梁轴线变化，横截面上除弯
9、矩外还有剪力。图15.14a中阴影线的部分，为梁内形成的塑性区。把坐标原点放在跨度中点，并将坐标为 x的横截面上的应力分布情况放大成图 15.14b。在这一截面的塑性区内， S；弹性区内， yS。 为塑性区和弹性区的分界线到中性轴的距离。故截面上的弯矩应为 S2 342A0Sh/b bdyybdydyM(15.7)还可由载荷及反力算出这一横截面上的弯矩为 xlPM2令以上两式相等，得S2342hbxlP(f)这就是梁内塑性区边界的方程。设开始出现塑性变形的截面的坐标为 a，在（f）式中，令 ax， 2h，得 S26bhalP由此求得塑性区的长度为 max1S24612MlPbhla式中 4,6maxS21 lbhM随着载荷的增加,跨度中点截面上的最大弯矩最终达到极限值 p。15.6 梁的塑性分析
