1、第五章 定积分1.定积分的概念设函数 在区间 上有定义，任取分点)(xfy,ba，bxxn1210把区间 分成 个小区间 ，记为,ban),(,ii，iniii xx11ma再在每个小区间 上，任取一点 ，取乘积 的和式，即,1iiiif)(inixf1)(如果 时上述极限存在（即这个极限值与 的分割及点 的取法均无关） ，则0,bai称函数 在闭区间 上可积，并且称此极限值为函数 在 上的定积分，记)(xf,ba)(xf,ba做 ，即bad，baniiixfxf10)(lmd)(其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分)(xff ,ba区间， 与 分别称为积分下限与积
2、分上限，符号 读做函数 从 到 的定abbaxfd)()(xf积分2.定积分的几何意义设 在 上的定积分为 ，其积分值等于曲线 、直线)(xf,baxfd)( )(xfy和 所围成的在 轴上方部分与下方部分面积的代数和ba,0y3.定积分的性质（1）积分对函数的可加性，即,bababaxgxfxgf d)()(d)(可推广到有限项的情况，即ba babann fffxff )()()()( 121 （2）积分对函数的齐次性，即babakxfkf )( d)(d)(为（3）如果在区间 上 ，则 ,ba1)(xfbaxd（4） （积分对区间的可加性）如果 ，则cbaabcfff )()(d)(注意
3、：对于 三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有c,bacabcxfxfxf d)()()(4微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）设函数 在闭区间 上连续，如果 是 的任意一个原函数，则)(xf,)(Ff，)(d)( abxfbaa以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿莱布尼茨公式5定积分的计算（1）定积分的换元法设函数 在 上连续，令 ，则有)(xf,ba)(tx，aattff d)(d)(其中函数应满足以下三个条件： ；b)(,)( 在 上单值且有连续导数；t当 在 上变化时，对应 值在 上变化, )(tx,ba上述公式称为定积分换元公式在应用换元 公式时要特别注意：用变换把原)(tx来
4、的积分变量 换为新变量 时，原积分限也要相应换成新变量 的积分限，也就是说，换xt t元的同时也要换限原上限对应新上限，原下限对应新下限（1）设 ，则( )。10()baefdftA. B. ,ab 0,abeC. D. 11（2）定积分的分部积分公式设函数 在区间 上均有连续导数，则)(,xvu,babaauvvud)(d以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数例： =10darctnx10arctn2dx= 10)l(4= 2n习题（1）设 )(xf在 ,ba上连续，且 badxf0)(，则 badxf0)(2（ ） 。A.一定成立； B.一定不成立；C.仅当 f单调时成立； D.仅当 )(f时成立。（2） 1dxe 。（3） ba)( 。（4） 求21exd。（5） 求 。23（6）求 1024xd。 （7）求 20cosdex。（8）设 是连续函数，且 ，则 = ()f 10()2()fxftd()fx。（9）求 。41()dx2122112()()ln43解 ： 令原 式 tdtdtt（10）求 。120arcsixd1220120nin1326解 ： xd
