1、第 1 页【导数及其应用】单元总结一、导数的概念：1、平均变化率：设函数 ，当自变量 x 由 x1 变到 x2 时，变量 y 相应)x(fy由 y1 变到 y2，则 ，称为函数 从 x1yk12)(f到 x2 的平均变化率（其中记 ， ）1222、导数的概念：当自变量 x 由 x0 变到 x0+x 时，函数 的平均变化)x(fy率为 ，当x0 时表示函数)(f(fyk在 x=x0 处的瞬时变化率，称为函数 在 x=x0 处)(f )(f的导数。记作： 或 。 叫做函数)(xf0xy的导函数。)(fy3、导数的几何意义和物理意义：（1）物理意义：对于质点运动方程 在 t=t0 处的导数就是质点在
2、时间为 t0 时的瞬时速度 )t(fs；（2）几何意义：对于函数 在 x=x0 处的导数就是曲线 在 x0 处的切线的斜率 k .)x(fy)(fy二、导数的计算：1、基本初等函数的求导公式： 基本函数 导数 基本函数 导数c)x(f.)(xf )1a,0(xlog)(fa .(xf lno x1 x2 xyy2y1y=f(x)xyo x0 x0+x xyf(x0+x)f(x0)y=f(x)xy第 2 页)1a,0()xf xsin)(fxe co2、导数的四则运算法则：（1）两个函数的和（或差）的导数： .)(xgf（2）两个函数的积的导数： , .)(x)(xgc（3）两个函数的商的导数：
3、 （g(x)0）.)(gf3、复合函数的导数：设 ，则复合函数 的导数为： .)x(u,)(fy)x(gfyy练习题：1、求下列函数的导数：（1） （2） （3）2)x(fx)(f1x32)(f（4） （5） （6）3elog（7） （8） （9）xcos4in)(fx2)(f 2x)(f3（10） （11） （12）3sx)1ln42、若 ，则 .)2l()f)(2f3、已知 ，则 .x104、设函数 ，若 =4，则 a= .)3(a()f2)(1f5、若质点的运动方程为 ，则质点在 t=1 时的瞬时速度为 .t5s26、子弹在枪管中的运动可看作匀加速直线运动 ，若 a=5105 m/s2，
4、子弹从枪口射出2at)(s时所用时间为 1.610 -3 s，则子弹射出枪口时的速度为 .7、函数 的图象在点 处的xsin4y21,6切线的斜率为 .8、函数 的图象在点 x=1 处的切线l 方程为 .第 3 页9、过点 P(-1,2)且与曲线 y=x2 在点 M(1,1) 处的切线垂直的直线方程是 .10、过点 P(3,5)且与曲线 y=x2 相切的直线方程是 .11、已知曲线 的一条切线平行于直线 y=3x-5，则切点坐标为 .x1y12、已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3)，则 b 的值为 .13、若曲线 y=x3-2x+m 与直线 y=x+1 相
5、切，则常数 m 等于 .14、已知直线 和 均与曲线 y=x2-x 相切，且 ， 的切点为 A(1,0)，求直线 的方程.1l2 1l21l 2l三、导数在研究函数的应用（一）函数的单调性与导数：1、在区间 (a,b) 内，若 ，则 f(x)在 (a,b) 上是增函数；0xf)(若 ，则 f(x)在 (a,b) 上是减函数；0xf)(2、 越大，曲线越“陡峭” ， 越小，曲线越“平缓”. )(f练习题：1、求下列函数的单调区间，并描出函数的大致图象：（1） （2）3x2)(f 4x2)(f（3） （4） 2,0,cos2、函数 的递增区间是 ；函数 的递减区间是 .)x4lg()f2 xln)
6、(f23、设 是函数 的导函数， 的图象如左图所示，则 的图象可能是( )xf)(xfy)fy4、下列函数中，在(0,+)内是增函数的是( )A. B. C. D.xsiny2xeyxy3)1xln(y5、函数 y=xlnx 在区间(0,1)上( )o xyy=f(x)o xy12 o xy12Ao xy12Bo xy2Co xy2D第 4 页A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增6、对于 R 上可导函数 f(x)，若满足 ，则 ； ； 0xf1)( )1(f0)2(f0 ； 中一定成立的是 .)3(f2)2(f)07、若函数 在（-,+）内是增函数，则实数 a 的取值范围是
7、.ax8、已知函数 在区间2,+)上是增函数，则实数 a 的取值范围是 .)R()(f29、如图，水以恒速注入下面四种底面积相同的容器中，则与各容器对应的水的高度 h 与时间 t的函数关系的图象分别是 .（二）函数的极值与导数：1、对于函数 ，若 且)x(fy0f)( 在 x0 附近左增（ ）右减（ ） ，则 是极大值，此时 x0 叫极大值点； xf)( )x(f0 在 x0 附近左减（ ）右增（ ） ，则 是极小值，此时 x0 叫极小值点；f0)( 02、注： 函数的极值是刻画函数的局部性质，一个函数可能有多个极值，且极大值不一定大于极小值； 若 ，x 0 不一定是函数的极值点，如 ，f)(
8、 3x)(f， 是单调增函数，虽有 ，但 x=0 不是函数0x3f2)( 0f)(的极值点。 o xyAo xyBo xyCo xyDo xyx1 x2 x3 x4x5y=f(x)o xy y=x3第 5 页练习题：1、求下列函数的极值：（1） （2） （3） （4）4x1)(f3x4)(fx2e)(f21xf)(2、已知函数 在 x= -2 和 x=1 处取得极值，则 的解析式为 .ba )(f3、函数 在 x=1 时有极值 2，则 a= ，b= .f23)(4、已知 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是 .1xax)(5、已知函数 f23)(（1）求 的极值；（2）若曲线 与 x
9、 轴仅有一个交点，求实数 a 的取值范围.)(fy（三）函数的最值与生活中的优化问题：1、若函数 在闭区间a,b 上连续可导，则函数)(f在区间a,b内必有最大值和最小值。在 各极值和区xy间端点函数值 f(a)和 f(b)中，最大者为最大值，最小者为最小值。2、生活中常见的优化问题： 利润最大问题； 费用（材料）最省问题； 面积、体积最大问题.解决生活中优化问题的方法是：建立数学（函数）模型，利用函数的最大（小）值求解，要注意实际问题的意义（函数的定义域等） 。练习题：1、求下列函数在给定区间上的最大（小）值：（1） （2）2,0x,163)x(f2 3,1x,612)x(f3（3） （4）
10、7 459xy bx1a x2 x3 x4y=f(x)第 6 页2、函数 的值域是 .)2xln()(f3、已知 y=2x+7，则 3x2+y2 的最小值为 .4、函数 f(x) = x2e-2x 在0,2上的最大值为 .5、设函数 ，若对任意 x-,2都有 f(x) m 成立，则实数 m 的取值范3x1)(f23围是 .6、将 8 分为两个数之和，使其立方之和最小，则分成的两个数分别为 .7、把长为 60m 的铁丝围成矩形，当长为 m，宽为 m 时，矩形的面积最大.8、做一个容积为 256cm3 的方底无盖水箱，它的高为 cm 时，使材料最省.9、一张 1.4m 高的图片挂在墙上，它的底边高
11、于观察者的眼 1.8m，则观察者应站在距离墙 m 处看图片才能最清晰（即视角最大） .10、某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一件产品的成本为 100 元，已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 ，则总利润最大时，每年生产的)40x(80214R产品件数为 .11、用长为 45cm，宽为 24cm 的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折 90 角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？12、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米/时）的函数解析式可以表示为 。已知甲、乙
12、两地相距 100)120x(8501x28y3千米.（1）当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最小？最小为多少？13、要建造一个容积为定值的圆柱形水池.（1）问水池底面半径和高的尺寸如何选取，才能使所用材料最省？第 7 页（2）若水池底材料成本为 30 元/米 2 ，池壁材料成本为 20 元/米 2 ，问如何选取池底半径和高的尺寸，才能使水池造价最低？14、已知某工厂生产 x 件产品的成本 （元）.2x4105C（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件 120 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
