1、0译文：分数阶导数的儿童乐园Marcia Kleinz , Thomas J. Osler大学数学学报（美国） ，2000 年 3 月，31 卷，第 2 期，第 82-88 页1 引言我们都熟悉的导数的定义。通常记作 这些都是很容1()()dfxDf或 22()dfxf或易理解的。我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如 但()fyDfxfy是像这样的记号 又代表什么意思呢？大多数的读者之前肯定没有遇到1/21/2()D()dfxfx或 者过导数的阶数是1/2的。因为几乎没有任何教科书会提到它。然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz已经开始探讨。在之后的岁月里，包括 LHospital,
2、Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。现在，关于“分数微积分 ”的文献已经大量存在。近期关于“ 分数微积分 ”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献9 和11 。此外，两篇在会议上发表的论文7 和14 也被收录。Wheeler在文献15已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。而不是像平常教科书里面的从定义- 引理- 定理的方法介绍它。我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。首先我们从熟悉的 n 阶导数
3、的例子开始，比如 。然后用其他数字取代自然数字 n。这种方式，Dnaxxe感觉像是侦探一样，步步深入。我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。 （如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献8。 ）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。那到底什么是一个分数阶导数呢？让我们一起来看看吧2 指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数 的导数。因为他们导数的形式，比较容易推广。我们熟悉axe的导数的表达式。 ，在一般情况下，当 n 为整axe123,axxaxDe
4、De数时， 。那么我们能不能用 1/2 取代 n，并记作 呢？我们何不naxxe 1/21/2aaxe尝试一下？为什么不更进一步，让 n 是一个无理数或者复数比如 1+i？我们大胆地写作（1）axaxDe，对任意一个 ，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。当 是负整数时，考虑（1）6式的意义是很有趣的。我们自然希望有 成立。因为 ，所以1()axaxeDe1()axaxeD我们有 。同理 。当 是负整数时，我们将 看作1()axxDed2()d是 n 次迭代的积分是合理。当 是正实数， 代表导数，当 是负实数， 代表积分。请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。但是，如果这一定义被发
5、现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1） 。我们注意到，刘维尔在他的论文5和6 中就是采用这种方法去考虑微分的。问题问题 1：在上述情况下， 成立吗？1212()axxaxaxDcecDe问题 2：在上述情况下， 成立吗？xx问题 3：上述 和 ，真的正确吗？还是遗漏了一1()axed2()aaed些东西？问题 4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数？3 三角函数：正弦函数和余弦函数我们对于正弦函数的导数很熟悉：这些对于寻求 ，并没有明显012sin,sinco,sini,DxxDx 1/2sinDx的规律。但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出其中的规律。即每
6、当我们求一次微分， 的图像向左平移 。所以对 求 n 次微分，那么得到的图像就是 向左平i/i i移 ，即得到 。如前，我们用任意数 替换正整数 n。所以，我/2nsin()2x们得到正弦函数的任意 次导数的表达式，同理我们也得到余弦函数的：（2）si(),cos().2DxDx在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式 。利用表达式（1） ，我们可以计算sinixe得到 ，这与（2）式是吻合的。(/2)cos()i()2ixiiixDee问题问题 5： 是什么？sin()ax74 的导数px我们现在看看 x 次方的导数。我
7、们以 为例有：px012,(1),(). (3)p ppn nDDx表达式（3）用连乘 的分子和分母去替换，则得到结果如下()!12(1)(1)!(4)()p pnpnpnpx xx 上式就是 的一般表达式。我们通过伽玛函数，用任意数 替换正整数 n。当（4）式中npD的 p 和 n 是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。伽马函数是欧拉在 18 世纪引进的概念。当时是推广记号 ，当 z 不是整数时。它的定义是 ，它具有! 10()dtze这样的性质 。(+1)z那么我们可以将表达式（4）重新写作 这使得当 n 不是整数式，(1),nppnDxx（4）式还是有意义的。所以对于任意的
8、，我们写作(1) (5)ppDxx利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。因为对于任意给定的函数，我们可以利用 Taylor 级数展开成多项式的形式， 假设我们可以对 进行任0(),nfxa()fx意次微分，那么我们得到 00(1)() . (6)nnnnDfxaxx最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义候选项的气质。因为大量的函数都可以利用 Taylor 公式展开成幂级数的形式。然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。 问题问题 6： 是否有几何意义？()fx5 一个神秘的矛盾8我们将 的分数阶导数写为xe (7)xDe现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致
9、。从 Taylor 级数来看， 结合（6）式，我们得到如下表达式01,!xn0. (8)(1)nxnDe但是， （7）及（8）是不等价的，除非 是整数。当 是整数时， （8）式的右侧是 的xe级数形式，只是用不同的表达方式。但是当 不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。我们发现了历史上引起大问题的矛盾。这看起来好像我们，指数函数的分数阶导数的表达式（1）与次方函数的分数阶导数的公式（6）是相互矛盾。正是因为有这样一个矛盾，所以分数阶微积分一般不会出现在初等阶段的教科书里面。在传统的微积分中，导数的次数是整数次的，求导的函数是初等函数。不幸的是，在分数阶微积分中，这是不正确的。通常，一个初等
10、函数的分数阶导数是较高级的超越函数。关于分数阶导数的表格，请参阅文献3。此时，您可能会问我们怎么继续探究呢？这个谜团将在之后的部分中被解决。敬请关注6 多重迭代积分 我们一直在谈论导数。积分也是反复被提及的。我们可以写 ，但是1()Dfxfdx等式右边是不确定的。我们可以写作 。第二次积分可以写成10()()xDfftd。积分区域是图 1 中的三角形。如果我们交换积分的顺序，那么22120()()xtDffdt图 1 的右侧图可以表现出 。120()()xtfft9因为 不是一个关于 的函数，所以可以将里面的积分移到外面，即1()ft2t12 1100()()xxxtDfdftdt或者 。使用
11、相同的过程步骤，我们可以写出 324 30 01()(),()(),223x xfftdtDfftdt 在一般情况下， 101()().!xn nfxftt 现在，我们用先前做的方法，用任意数 替换 ，用伽玛函数替换阶乘，然后得到101()(). (9)xftdDfx这个一般性的表达式（使用积分）的分数阶导数表达式，有成为定义的潜力。但是存在一个问题。如果 该积分是反常积分。因为当 对任意 ，积分是,0.txt发散的。当 反常积分收敛。所以当 是负数时 ，原表达式是正确的。因此当 是10负数时（9）式收敛，即它是一个分数阶次积分。在我们结束这一部分之前，需要提下，趋于零的下极限是任意的。可以简
12、单的认为存在下极限 。但是会造成最后结果表达式的不同。正因为如此，很多这个领域的研究人员使用符b号 。这个符号说明了极限过程是从 到 的。这样我们从（9）式得到()xDf bx11()(). (10)bxbftdDf问题10问题 7：如下分数阶微分 的下极限是什么？b(1)()ppxDcxc 7 解秘现在，你可以开始去发现前面哪些地方出错了。我们对于分数阶积分包含极限，并不感到惊讶。因为积分是涉及到极限的。然而普通的导数不涉及积分的极限，没有人希望分数阶导数包含这样的极限。我们认为，导数是函数的局部性质。分数阶导数的符号 既包含导数D（ 是正数）又有积分（ 是负数） 。积分是处于极限之中的。事
13、实证明，分数阶导数也是处于极限之中的。出现该对矛盾的原因是，我们使用了两种不同的极限。现在，我们可以解决这个谜团了。秘密是什么？让我们停下来想一想。表达式（1）中指数函数起作用的极限是什么？记得我们要期望写成 11. (1)xaaaxbxbDedeb 取什么值时，将得到这个答案？由于在（11）式中积分就是 .xaaxbbede为了得到我们想要的形式，只有当 时。即 如果 a 是正数，那么0abe.。这种类型的拥有下极限为 的积分，有时也称为 Weyl 分数阶导数。从（10）的符号，我们可以将（1）写做 .axaxD极限在公式（5） 的导数中是起什么作用？我们有 px11 .pxpbxbbDd同
14、样，我们希望 。当 时，结论是成立的。所以我们觉得将（5）的符号写10pbb成 更准确。因此，表达式（5）中隐含了 的下极限为 0。然而，0()1ppxxD pDx表达式（1）中 的下极限为 。这个差异就是（7）和（8）为什么不等价的原因。在axe-（7）中我们计算 ，在（8）中我们计算 。x0axe如果读者希望继续这一研究，我们推荐 Miller 的一篇很好的论文8，和由 Oldham 和Spanie 合著的优秀图书11，以及 Miller 和 Ross 合著的优秀图书9。这两本书都包含了从很多文献角度分数阶微积分简短精要的历史。由 Miller 和 Ross 合著的图书9 很好地讨论了分数
15、阶微分方程。Wheeler 的注记 14是另一个这方面一流的介绍性文章，具有很高的推广普及价值。Wheeler 给出了几个简单的应用例子，而且阅读起来非常有趣。其他的历史性文献请参考1， 2，4，5，6，10，13。11浙江师范大学本科毕业设计(论文)外文翻译8 问题的解答以下是文章中 8 个问题的简短回答。问题 1：成立的，这个性质是保持的。问题 2：成立的，这个由关系式（2.2）很容易证明。问题 3：遗漏了一些东西。遗漏的是积分常数。应该是这样的 112212axaxaxaxaxDedecDedc问题 4：将 展开成傅立叶级数形式， 。假设我们可以连续次地取()f ()inxf分数阶微分，
16、我们得到 。()()inxnfxce问题 5： 。sinsi/2Da问题 6：我们知道 表示 的曲线斜率， 表示曲线的凹凸性。但三1()fx()yfx2()Dfx阶和更高阶导数给出的几何意义很少或根本没有。那么对于这些特殊的导数 ，分数()fx阶导数没有简单的几何意义对我们来说也并不感到惊讶了。 问题 7：分数阶微分的下极限是 。 “c【参考文献】1 A. K. Grunwald, Uber begrenzte Derivationen und deren Anwendung, Z. Angew.Math. Phys., 12 (1867), 441480.2O. Heaviside, Ele
17、ctromagnetic Theory, vol. 2, Dover, 1950, Chap. 7, 8.3J. L. Lavoie, T. J. Osler and R. Trembley, Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., 18 (1976), 240268.4A. V. Letnikov, Theory of differentiation of fractional order, Mat. Sb., 3 (1868),168.5J. Liouville, Memoire sur quelques quest
18、ions de gometrie et de mcanique, et su run noveau gentre pour resoudre ces questions, J. cole Polytech., 13(1832), 169.6J. Liouville, Memoire: sur le calcul des differentielles indices quelconques, J.cole Polytech., 13(1832), 71162.7A. C. McBride and G. F. Roach, Fractional Calculus, Pitman, 1985.8K
19、. S. Miller Derivatives of noninteger order, Math. Mag., 68 (1995), 183192.9K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, 1993.10P. A. Nekrassov, General differentiation, Mat. Sb., 14 (1888), 45168.11K. B. Oldham and J.
20、 Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, 1974.12T. J. Osler, Fractional derivatives and the Leibniz rule, Amer. Math. Monthly, 78 (1971), 645649.13E. L. Post, Generalized differentiation, Trans. Amer. Math. Soc., 32 (1930) 723781.14B. Ross, editor, Proceedings of the International Conferen
21、ce on Fractional Calculusand its applications, Springer-Verlag, 1975.15N. Wheeler, Construction and Physical Application of the fractional Calculus, notes for a Reed College Physics Seminar, 1997.12原文： A Childs Garden of Fractional DerivativesMarcia Kleinz and Thomas J. OslerThe College Mathematics
22、Journal, March 2000, Volume 31, Number 2, pp. 8288Marcia Kleinz is an instructor of mathematics at Rowan University. Marcia is married and has two children aged four and eight. She would rather research the fractional calculus than clean, and preparing lectures is preferable to doing laundry. Her ho
23、bbies include reading, music, and physical fitness.Tom Osler (oslerrowan.edu) is a professor of mathematics at Rowan University. He received his Ph.D. from the Courant Institute at New York University in 1970 and is the author of twenty-three mathematical papers. In addition to teaching university m
24、athematics for the past thirty-eight years, Tom has a passion for long distance running. Included in his over 1600 races are wins in three national championships in the late sixties at distances from 25 kilometers to 50 miles. He is the author of two running books.IntroductionWe are all familiar wit
25、h the idea of derivatives. The usual notationor ， or ()dfx1()Df2()dfx2()Dfis easily understood. We are also familiar with properties like()()fxyfxfyBut what would be the meaning of notation like or ？Most readers will not have 1/2d1/2()Dfencountered a derivative of “order ” before, because almost non
26、e of the familiar textbooks mention it. Yet the notion was discussed briefly as early as the eighteenth century by Leibnitz. Other giants of the past including LHospital, Euler, Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville, and others at least toyed with the idea. Today a vast literature exists on
27、 this subject called the “fractional calculus.” Two text books on the subject at the graduate level have appeared recently, 9 and 11. Also, two collections of papers delivered at conferences are found in 7 and 14. A set of very readable seminar notes has been prepared by Wheeler 15, but these have n
28、ot beenpublished.It is the purpose of this paper to introduce the fractional calculus in a gentle manner. Rather than the usual definitionlemmatheorem approach, we explore the idea of a fractional derivative by first looking at examples of familiar nth order derivatives like and then replacing the D
29、nxxenatural number n by other numbers like In this way, like detectives, we will try to see what mathematical structure might be hidden in the idea. We will avoid a formal definition of the fractional derivative until we have first explored the possibility of various approaches to the notion. (For a
30、 quick look at formal definitions see the excellent expository paper by Miller 8.)As the exploration continues, we will at times ask the reader to ponder certain questions. The answers to these questions are found in the last section of this paper. So just what is a fractional derivative? 13Let us s
31、ee. . . .Fractional derivatives of exponential functionsWe will begin by examining the derivatives of the exponential function because the patterns they axedevelop lend themselves to easy exploration. We are familiar with the expressions for the derivatives of . , and, in general, when n is an axe12
32、3,axaxaxDeeDenaxxDinteger. Could we replace n by 1/2 and write Why not try? Why not go further and 1/21/2axlet n be an irrational number like or a complex number like1+i ?We will be bold and write(1)axaxDe，for any value of , integer, rational, irrational, or complex. It is interesting to consider th
33、e meaning of (1) when is a negative integer. We naturally want .Since 1()axaxeDe,we have .Similarly, ,so is it 1()axxe1()axxed2axaxdreasonable to interpret when is a negative integer n as the nth iterated integral. represents D Da derivative if is a positive real number and an integral if is a negat
34、ive real number.Notice that we have not yet given a definition for a fractional derivative of a general function. But if that definition is found, we would expect our relation (1) to follow from it for the exponential function. We note that Liouville used this approach to fractional differentiation
35、in his papers 5 and 6.QuestionsQ1 In this case does ?1212()axxaxaxDcecDeQ2 In this case does ?xxQ3 Is , and is ,(as listed above) really true, or1()axxed2()aaxedis there something missing?Q4 What general class of functions could be differentiated fractionally be means ofthe idea contained in (1)?Tri
36、gonometric functions: sine and cosine.We are familiar with the derivatives of the sine function: 012sin,sinco,sini,DxxDxThis presents no obvious pattern from which to find . However, graphing the functions 1/2snx14discloses a pattern. Each time we differentiate, the graph of sin x is shifted to the
37、left. Thus /2differentiating sin x n times results in the graph of sin x being shifted to the left and so n. As before, we will replace the positive integer n with an arbitrary . So, si()2nD we now have an expression for the general derivative of the sine function, and we can deal similarly with the
38、 cosine:(2)sin(),cos().22xDxAfter finding (2), it is natural to ask if these guesses are consistent with the results of the previous section for the exponential. For this purpose we can use Eulers expression, cosinixexUsing (1) we can calculate (/2)()si()22ixiiixDewhich agrees with (2).QuestionQ5 Wh
39、at is ?sin()axDerivatives of pWe now look at derivatives of powers of x. Starting with we have:px012,(1),(). (3)pp pn nDDxMultiplying the numerator and denominator of (3) by (p-n)! results in(1)2(1)!(4)()p pnpnpnpx xxn This is a general expression of .To replace the positive integer n by the arbitra
40、ry number we pDx may use the gamma function. The gamma function gives meaning to p! and (p-n)! in (4) when p and n are not natural numbers. The gamma function was introduced by Euler in the 18th century to generalize the notion of z! to non-integer values of z. Its definition is ,and it has the 10()dtzeproperty that .(+1)
