1、 1 2016 年 竞赛与 自主招生专题第 十三讲 排列组合与二项式 定理 从 2015 年开始 自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生 并不是 失去其意义 。 自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距 . 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题 竞赛真题 等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中， 排列组合、二项式定理 是自主招生必考的一个重要内容 之一 。 一、知识精讲 1.分类 加法原理 （ 加法原理 ） : 12
2、 nN m m m . 2.分 步计数原理（ 乘法原理 ） : 12 nN m m m . 3.排列数公式 : mnP = )1()1( mnnn = !( )!nnm.(n ， m N*，且 mn )注 :规定 1!0 . 4.排列恒等式 ： （ 1） 11mmnnP nP ； （ 2） 11n n nn n nnP P P； （ 3） 11m m mn n nP P mP ； (4) 1 ! 2 2 ! 3 3 ! ! ( 1 ) ! 1n n n . 5.组合数公式： mnC = mnmmPP= mmnnn 21 )1()1( = ! ( )!nm n m( *nN ， mN ，且 mn
3、 ). 6.组合数的两个性质： (1) mnC = mnnC ； (2) mnC + 1mnC = mnC1 ；注 :规定 10nC . 7.组合恒等式 （ 1） 11mmnnnCCm ； （ 2） nrrnC0= n2 ； （ 3） 1121 rnrnrrrrrr CCCCC ； (4) 1 3 5 0 2 4 12 nn n n n n nC C C C C C ； (5) 1 2 3 12 3 2nnn n n nC C C n C n ； (6) n nnnnnn CCCCC 22222120 )()()()( ； 2 8.排列数与组合数的关系： !mmnnP m C . 9.二项式定
4、理： nnnrrnrnnnnnnnn bCbaCbaCbaCaCba 222110)( ; 二项展开式的通项公式： rrnrnr baCT 1 )210( nr ， . 1.几个基本组合恒等式： k nknnCC ； 111k k kn n nC C C ； 1kknnkC nC ；01 2nnn n nC C C ； 0 2 4 1 3 5 12 nn n n n n nC C C C C C ；0q k q k qn m m nk C C C （范德蒙公式）。 2.不尽相异的 m 个元素的全排列：在 m 个元素中，有 1n 个元素相同，又另有 2n 个元素相同，。，一直到另有 rn 个元素
5、相同，且 12 rn n n m ，这 m 个元素的全排列叫做不尽相异的 m 个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：12! ! !rmX n n n 。 3.从 n 个元素里取 m 个元素的环排列：从 n 个不同元素中任取 m (1 )mn 个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从 n 个元素里取 m 个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个 m 个元素的环在 m 个不同的位置拆开，即得 m 个不同的线排列。由于 n 个不同元素中任务 m 个元素的排列方法 Pmn 种，所以 n 个不同元素中任取 m 个元素的环排列方法有 mnPm 种。特别地， n 个不同
6、元素的环排列方法有 ( 1)!nnP nn （种）。 注： 排列数 Pmn ，有些地方也记为 mnA 。 4.一次不定方程 12 nx x x r 的非负整数解的个数等于 1rnrC （或 11nnrC ）；正整数 解的个数等于 11nrC （或 1rnrC ）。 5.错位排列问 题：设集 合 1,2, , In ，所有元素的 一种全排 列 12,nt t t ，满足( 1, 2, )it i i n ，则称这样的排列 12,nt t t 为错位全排列。用 nD 表示 1,2, In 错位全排3 列总数，则 1 1 1 1! 1 ( 1 )1 ! 2 ! 3 ! !nnDn n 。 6.排列、
7、组合应用题常用的解法有： 运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；特殊元素（位置）优先考虑；捆绑法；插入法；排除法；机会均 等法；转化法。 7.证明组合恒等式的常用方法有：赋值法；母函数法；构造组合模型法。 三、 典例精讲 例 1（ 2009 华南理工）在 2 2 1(1 ) (1 ) (1 )n n n nx x x x x 的展开式中， nx 的系数为（ ）。 （ A） (2 1)!( 1)!nnn（ B） (2 1)!nnn （ C） (2 2)!nnn （ D） (2 2)!( 1)!nnn 答案 A 分析与解答： nx 的系数 1 2 0 12 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1
8、 1n n n n n n n n nn n n n n n n n n nC C C C C C C C C C 1 1 12 2 2 2 2 3 3 2 2 1 ( 2 1 ) !( 1 ) ! !n n n n n n n n nn n n n n n n n n nC C C C C C C C C nn 。 例 2 （ 2011“卓越联盟”）数列 na 共有 11 项， 1 110, 4aa，且 1| | 1, 1, 2 1 0kka a k 。满足这种条件的不同数列的个数为（ ） （ A） 100 （ B） 120 （ C） 140 （ D） 160 分析与解答： 依题意， 1 1
9、kkaa 或 1 1kkaa ，设有 x 个 1，则有 10x 个 -1，依题意知：1 1 1 1 1 1 0 1 0 9 2 1( ) ( ) ( )a a a a a a a a ，所以 4 1 0 ) 7x x x 。从而所有 这样的数列个数为 7310 10 120CC。故选 B。 例 3 （ 2006 复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？ 分析与解答： 显然，四位数全部相同的四位数恰有 9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑： 第一步，先考虑千位数字，有 9种可能取法： 1,2,3，。 9 第二步，再考虑百位、十位、个位
10、上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从 0,1,2 9 中选出 1 个数码。 4 第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有 2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有 (2 2 2 1) 种选法。 综上，共有四位数 9 9 9 ( 2 2 2 1) 5 7 6 个。 例 4 （ 2007 复旦）三边均为整数，且最大边长为 11的三角形共有（ ）个。 （ A） 20 （ B） 26 （ C） 30 （ D） 36 答案： D 分析与解答： 不妨设三边长为 ,abc，且 abc ，则
11、11c 。 若 1a ， 11b ，共 1 个； 若 2, 10,11ab ，共 2 个； 若 3, 9,10,11ab ，共 3个； 若 4, 8,9,10,11ab ，共 4 个； 若 5, 7,8,9,10,11ab ，共 5个； 若 6 , 6 , 7 ,8, 9 ,1 0 ,1 1ab ，共 6 个； 若 7, 7,8, 9,10,11ab ，共 5个； 若 8, 8,9,10,11ab ，共 4 个； 若 9, 9,10,11ab ，共 3个； 若 10, 10,11ab ，共 2个； 若 11, 11ab，共 1个。 故共有 1 2 6 5 4 1 3 6 个。 例 5 （ 20
12、10 同 济 ） 若 多 项 式 2 1 0 9 1 00 1 9 1 0(1 ) (1 ) (1 )x x a a x a x a x ，则9a 。 答案： -10 分析与解答： 考虑两边 10x 的系数，易知 10 1a 。再考虑两边 9x 的系数，右边 99 10 10 9 10a a C a 。 5 左边 9x 的系数为 0，所以 9 10a 。 例 6 （ 2008 上海交 大） 2 9 8 9 9(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x 中 3x 的系数为 。 答案： 4100C 分析与解答： 原式 9 9 1 0 0(1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 )1 (1
13、)x x x xxx 1 2 1 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0C x C x C x xx 2 3 2 4 3 1 0 0 9 91 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 099 C x C x C x C x ，故 3x 的系数为 4100C 。 例 7 （ 2008 上海交大）通信工程中常用 n 元数组 1 2 3( , , )na a a a 表示信息，其中 0ia 或 1（ ,*i n N ）。设 1 2 3 1 2 3( , , ) , ( , , )nnu a a a a v b b b b， ( , )duv 表示 u 和 v 中相对应的元素不同的个数。
14、 （ 1） (0,0,0,0,0)u 问存在多少个 5 元数组 v ，使得 ( , ) 1d uv ； （ 2） (1,1,1,1,1)u 问存在多少个 5元数组 v ，使得 ( , ) 3d uv ； （ 3） 令1 2 3 1 2 30(0 , 0 , 0 , 0 ) , ( , , , ) , ( , , )nnnw u a a a a v b b b b 个，求证： ( , ) ( , ) ( , )d u w d v w d u v。 分析与解答： （ 1）满足条件的数组共有 15 5C 个。 （ 2） 满足条件的数组共有 35 10C 个。 （ 3） 设 ,uv中对应项同时为 0的
15、共有 m 个，同时为 1的共有 s 个，从而对应项一项为 1、一项为 0的共有 n m s个，这里 n m s，从而 ( , )d u v n m s 。 而 ( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) 2 ( , )d u w d v w s n m s d u v s d u v ，得证。 例 8 8个女孩和 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的） . 分析： 以 1 个女孩和 2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的 9 个男孩6 和这 8个组被看成是 17 个元素，显然这 17 个元素
16、 任意的圆排列是满足题意的 分析： 先从 25 个男孩中选出 9个男孩共有 925C 种可能。其次，上述 17 个元素的圆排列数为 1616p 种 . 再次，分在 8 个组内的 16 个男孩在 16个位置上的排列是 1616P ，所以总的排列方法数为： 9 16 1625 16 16 25!16!9!C P P 例 9 （ 2012“北约”）求证 :对任意的正整数 n ， (1 2)n 必可表示成 1ss的形式，其中 *sN 。 分析与解答： 由二项式定理， 1 2 2 3 3(1 2 ) 1 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (1n n nn n n nC C C C 2 2 4 4
17、1 3 5( 2 ) ( 2 ) ) ( 2 4 ) 2n n n n nC C C C C 。 而 1 2 2 3 3(1 2 ) 1 2 ( 2 ) ( 2 )n n n nC C C ，所以 2 2 4 4(1 2 ) (1 2 ) 1 ( 2 ) ( 2 )2nnnnCC ， 1 3 3 5 5(1 2 ) (1 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 )2nn n n nC C C ， 22(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 )22n n n n 1 , 21 2( 1 ) 2( 1 ) ( 1 )4 1 , 2 1n n n nknk 为当 2nk 时，令 2(1 2 )
18、(1 2 )2nnS ，则 2( 1 2 ) ( 1 2 )12nnS ，显然*SN ，且 22( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )( 1 2 ) 122n n n nn SS ； 当 21nk时，令 2(1 2 ) (1 2 )2nnS 即可。 四、 真题训练 1.（ 2009 复旦）设有 1n 个不同颜色的球，放入 n 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一7 个球，则不同的放法有（ ）种。 （ A） ( 1)!n （ B） ( 1)!nn （ C） 1( 1)!2 n （ D） 1 ( 1)!2nn 2.（ 2008 复旦）在二项式 121412nxx的展开式中，
19、若前 3 项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项 数为（ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 3.（ 2008 复旦）二项式 1001 x 的展开式中系数之比为 33:68 的相邻两项是（ ）。 （ A） 第 29、 30 项 （ B）第 33、 34 项 （ C）第 55、 56 项 （ D）第 81、82 项 4.（ 2008 复旦） 5个 不同元素 ( 1,2,3,4,5)iai 排成一列，规定 1a 不许排第一， 2a 不许排第二，不同的排法共有（ ） （ A） 64 种 （ B） 72 种 （ C） 78种 （ D） 84 种 5.（ 2008 复旦）设 1
20、 2 3 , , A a a a 是由三个不同元素组成的集合，且 T 是 A 的子集族，满足性质：空集和 A 属于 T ，并且 T 中任何两个元的交集和并集还属于 T 。问所有可能的 T 的个数为（ ）。 （ A） 29 （ B） 33 （ C7） 43 （ D） 59 6.（ 2007 复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 （ ） （ A） 120 （ B） 260 （ C） 340 （ D） 420 7.（ 2007 复旦）在 504( 2 3) 的展开式中有（ ）项为有理数。 （ A） 10 （ B） 11 （
21、 C） 12 （ D） 13 8.（ 2007 复旦）在集合 1,2, 11 中任选两个数作为椭圆方程 221xyab中的 a 和 b ，则能组成落在矩形区域 ( , ) | | | 11,| | 9x y x y内的椭圆个数是（ ） （ A） 70 （ B） 72 （ C） 80 （ D） 88 8 9.（ 2008 武大）某停车场内有序号为 1,2,3,4,5 的五个车位顺次排成一排，现在 , , ,ABCD 四辆车需要停放，若 ,AB两车停放的车位必须相邻，则停放方式种数为（ ）。 （ A） 120 （ B） 48 （ C） 24 （ D） 12 10.（ 2006复旦）在 102 1x
22、x的展开式中系数最大的项是（ ）。 （ A） 第 4,6 项 （ B）第 5,6,项 （ C）第 5,7 项 （ D）第 6,7 项 11.（ 2006 复旦）对所有满足 15nm 的 ,mn，极坐标方程 11 cosnmC 表示的不同双曲线条数为（ ）。 （ A） 6 （ B） 9 （ C） 12 （ D） 15 12.（ 2006 武大） a,b,c,d,e 五人站成一排准备合影，如果 a 要求既不与 b 相邻，也不与 c相邻，那么不同的排法有（ ） （ A） 12 种 （ B） 24 种 （ C） 36 种 （ D） 72 种 13.（ 2006 武大）设 na 是等差数列， 从 1 2
23、 3 20 , , , a a a a 中任取 3 个不同的数，使这三个数仍能成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）。 （ A） 90 个 （ B） 120 个 （ C） 180 个 （ D） 200 个 14.（ 2007 武大）如果 9 名同学分别到三个不同的工厂进行社会实践调查活动，每个工厂 3人，那么不同的分配方案共有（ ） （ A） 3339 6 3CCC种 （ B） 3339 6 33CCC 种 （ C） 3 3 3 39 6 3 3CCCA 种 （ D） 3339 6 333CCCA种 15.（ 2007 武大）一个口袋中装有大小相同的 3 个红球和 2个白球，从袋中每次至
24、少取一个球，共 4 次取完，那么不同的取球方式共有（ ） （ A） 40 种 （ B） 28种 （ C） 16 种 （ D） 10种 16.（ 2007 武大）在 (1 2 ) ( *)nx n N的展开式中，各项系数之和是（ ）。 （ A） 1 （ B） 2n （ C） -1 （ D） (1)n 9 五、 真题训练 答案 1.【答案】 D 【分析与解答】： 由条件， n 个盒子所放球只能为 1 个盒子放 2 个，其余 1n 个盒子放 1 个；其中放 2个球盒子共有 n 种选法放在一起的 2个球共有 21nC 种选法，其余 1n 个球放在 1n 个盒子中，共有 ( 1)!n 种选法。 故不同放
25、法共有 21 1( 1) ! ( 1) !2nn C n n n 种。 2.【答案】 B 【分析与解答】： 由条件，前 3 项系数分别为 1、 112nC、 2 212 nC，故 121 ( 1)1 , 148nn nnC C n 解得 8n 。 从而 81 8 342 2 4 41 8 8 8141 1 1222rr rrrrrr r rrT C x C x x C xx ，其中 08r 。要使1rT 为有理项，则 34 4rZ，从而 0,4,8r ，故共有 3项有理项。 3.【答案】 B 【分析与解答】： 111 1 0 0 2 1 0 0,r r r rrrT C x T C x ，则
26、11 0 0 1 0 01 0 0 !33! (1 0 0 ) !: 3 3 : 6 81 0 0 ! 68( 1 ) ! ( 9 9 ) !rr rrCCrr 1 3 3 321 0 0 6 8r rr ，故相邻两项为第 33、 34 项。 4.【答案】 C 【分析与解答】： 若 1a 排第一，共有 4!种排法；若 2a 排第二，共有 4!种排法；若 1a 排第一且 2a排第二，有 3!种排法。由容斥原理，共有 5 ! 4 ! 4 ! 3 ! 1 2 0 4 8 6 7 8 种不同排法。 5.【答案】 A 【分析与解答】： 按照集合 T 所含元素个数分类。 若 T 为 二元集，即 , A ，
27、共 1 个； 若 T 为三元集，有 1 , , Aa 、 2 , , Aa 、 3 , , Aa 、 12 , , , A a a 、 13 , , , A a a 、23 , , , A a a ，共 6 个； 10 若 T 为四元集，有 1 1 2 , , , , A a a a 、 1 1 3 , , , , A a a a 、 2 2 3 , , , , A a a a 、2 1 2 , , , , A a a a 、 3 1 3 , , , , A a a a 、 3 2 3 , , , , A a a a 、 1 2 3 , , , , A a a a 、2 1 3 , , , ,
28、 A a a a 、 3 1 2 , , , , A a a a ，共 9 个； 若 T 为 五 元 集 ， 有 1 1 2 1 3 , , , , , , A a a a a a 、 2 1 2 2 3 , , , , , , A a a a a a 、3 1 3 2 3 , , , , , , A a a a a a 、 1 2 1 2 , , , , , A a a a a 、 1 3 1 3 , , , , , A a a a a 、2 3 2 3 , , , , , A a a a a ，共 6个； 若 T 为六元集，有 1 2 1 2 2 3 , , , , , , , A a a
29、 a a a a 、 1 3 1 2 1 3, , , , , , A a a a a a 、1 2 1 2 1 3 , , , , , , , A a a a a a a 、 1 1 3 2 3 , , , , , , , A a a a a a 、 2 3 2 3 , , , , , ,A a a a 12 , aa 、 2 3 2 3 1 3 , , , , , , , A a a a a a a ，共 6个； 若 T 为七元集，不存在集合满足要求； 若 T 为八元集，即 1 2 3 1 2 2 3 1 3 , , , , , , , , , , A a a a a a a a a a
30、，共 1 个。 故共有 1 6 9 6 6 1 29 个。 6.【答案】 D 【分析与解答】： 若用五种颜色，则共有 55 120P 种方法；若用四种颜色，共有 43542 240CP 种方法；若用三种颜色，由于四个侧面中任一个面确定下来，其余也随之确定，故共有 35 60P种方法。从而不同染色方法共有 120 240 60 420 种。 7.【答案】 D 【分析与解答】： 2550 4 241 5 0 5 0( 2 ) ( 3 ) 2 ( 1 ) 3rrr r r r rrT C C ，要使其为有理数，则2| ,4|rr 4|r 。又 0 50r ，故 0,4,8 48r ，从而共有 13项为有理数。 8.【答案】 B 【分析与解答】： 对椭圆 221xyab，有 | | ,| |x a y b，故落在 矩形区域 ( , ) | | | 11,| | 9x y x y内的椭圆 ,ab满足 10, 8ab且 ab ，故共有 10 8 8 72 个。 9.【答案】 B
