1、第 23 章 一元二次方程23.1 一元二次方程知识点一：一元二次方程（1）定义：等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。对定义的理解是方程必须为整式方程，不能为分式方程；方程只能含有一个未知数，含有多个未知数也不符合要求；未知数的最高次数为 2，这些是判断一个方程是否为一元二次方程的依据。（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：a +bx+c=0（a0） 。这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 a2是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数，
2、c 是常数项。2知识点二：一元二次方程的解如果一个数能使一元二次方程的左右两边相等，那么这个数就称为这个一元二次方程的根（解） ，即把方程中的未知数换成该数，方程的左右两边的值相等。23.2 一元二次方程的解法知识点一：配方法通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方法适用于任何一个一元二次方程的求解问题，它是以完全平方公式为依据，以直接开平方为目标的变形过程。为了使配方更容易，通常将一元二次方程的二次项系数化为 1.配方法是非常重要又难以掌握的方法，它是以后学习的重要基础，同学们要掌握配方法的步骤。用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）方程两边的每一项同除以二次项系数，从
3、而把二次项系数化为 1；（2）通过移项，把方程中的常数项移到方程的右边，使方程左边只含有二次项和一次项；（3）配方，方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式，即把原方程化为（x+a） 2=b（b0）的形式；（4）如果方程右边的常数为非负数，用直接开平方法求出方程的解。知识点二：公式法用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式；（2）确定 a、b、c 的值；（3）求出 b2-4ac 的值；（4）b 2-4ac0，则利用公式 求出原方程的根；若 b2-4ac0，则原=-2-42方程无解。一元二次方程 a +bx+c=0（a0）的求根公式，是用配方法解一般
4、形式的一元二次方2程的结果。在用这个公式时，首先要确定 b2-4ac 必须是非负数，否则 没有意义；2-4在这个求根公式中用到了一元二次方程的系数 a、b、c，因此可以说一元二次方程的根是由其系数 a、b、c 决定的，只要确定了 a、b、c 的值就可代入公式求一元二次方程。知识点三：因式分解法利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法适用性强，应用面广。因式分解法的基本思想是通过因式分解达到降幂的目的，其数学原理是应用数的性质，即若两数之积为零，则至少有一个数为零，反之也成立。例如 3x2-x=0，将左边因式分解变为 x（3x-1）=0，那么 x=0 或 3x-1=0；反之，若
5、x=0 或 3x-1=0，则 x（3x-1）=0。因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1、整理方程使其右边化为 0,；2、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；4、解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。一元二次方程解法的选择顺序如下：先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法解，不能用这两种方法时，再用公式法。没有特殊要求时，一般不用配方法，因为配方法比较繁琐。知识点四：一元二次方程根的情况把一元二次方程的一般形式 a +bx+c=0（a0）用配方法得到 = 时，2 （ +2） 22-442方程的根的情况就取决于 。我们把 叫做根
6、的判别式，它和方程的根的关2-4 2-4系：（1） 0，方程有两个不相等的实数根；2-4（2） =0，方程有两个相等的实数根；2-4（3） 0，方程没有实数根；2-423.3 一元二次方程的根与系数的关系知识点一:一元二次方程根与系数的关系（1）根与系数的关系的推导若一元二次方程 a +bx+c=0（a0）有实数根，设这两个实数根分别为 x1、x 2，由求2根公式得（ 0） ，即=-2-42 2-4x1= ，x 2= ，-+2-42 -2-42x 1+x2= = =-+2-42 +-2-42 -22 -x1x2= = = = =-+2-42 -2-42 2-（ 2-4） 2（ 2） 2 2-（
7、 2-4） 242 442（2）一元二次方程根与系数的关系的结论由（1）的推导可得：若一元二次方程 a +bx+c=0（a0）有实根，设这两个实数根2分别为 x1、x 2，则 x1+x2= ，x 1x2=- 特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为x1、x 2满足 x1+x2=-p，x 1x2=q知识点二：已知一元二次方程的两根求做方程若已知关于 x 的一元二次方程的两根为 x1、x 2，则这两根对应的一元二次方程为 x2-（x 1+x2）x+ x 1x2=023.4 实际问题与一元二次方程知识点一：列一元二次方程解应用题把应用问题的等量关系用方
8、程表示出来，如果所得到的方程是一元二次方程，就是列一元二次方程解应用题。列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和深入，两者的基本思想一致，出现的都是一个未知数即一元；而一元二次方程未知数的最高次数是二次，一元一次方程未知数的最高次数是二次，一元一次方程未知数的最高次数是一次。一般地，列一元二次方程解决的问题更难，如利率问题、浓度问题、增长率、降低率问题、面积问题、数字问题等。知识点二：列一元二次方程解应用题的一般步骤列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答。（1）审清题意，明确题目中有哪些量，哪些是已知量，哪些是未知量，对复杂问题多读细审；（2）设未知数，有
9、直接设未知数和间接设未知数两种常用方法，一般选择直接设未知数，当问题难以解决时考虑间接设未知数；（3）列方程，这是最关键的一步，根据前面的分析，找出等量关系，把等量关系转化为方程，方程中要只含有所设的未知数；（4）解方程，把所列的方程解出来；（5）检验并作答，所谓的检验是要看结果是否符合实际意义，一元二次方程往往求出两个根，而其中一个根常常不符合实际意义，这就是检验，如增长率要符合增长意义，线段长不能为负值。知识点三：几种常见的列一元二次方程解应用题的类型（1）平均增长率（降低率）的应用题平均增长率（降低率）公式：=ba 为初始量， b 为终止量，n 为增长（减少）的次数， x 为平均增长率（ 1） （降低率）（2）利润问题的应用题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本总利润=单位利润总销售量利润=成本利润率（3）与几何图形有关的应用题与几何图形有关的一元二次方程应用题主要是将隐含在图形中的数量关系用图形的性质表示出来，涉及的图形主要有三角形、四边形、圆等。要注意根据以上图形的边的关系及面积关系等找出题目的等量关系。
