1、 第三章 积分学 页第三节 定积分一、定积分的定义设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点把区间 分成 个小区间，各小区间的长度依次为 ， ，在各小区间上任取一点 ( )，作乘积 并作为 ，记，如果不论对 怎样的分法，也不论在小区间 上点 怎样的取法，只要当 时，和 总趋于确定的极限我们称这个极限 为函数 在区间 上的定积记为：二、定积分的性质性质 1： 性质 2： ( 为常数)性质 3： 假设 ，性质 4： 性质 5： 在区间 上 ，则 性质 6： 设 及 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则 性质 7(定积分中值定理) 如果函数 在闭区间 上连续，则在积分区间 上至少存在一个点
2、，使第三章 积分学 页积分中值公式的几何解释： 在区间 上至少存在一个点 ，使得以区间 为底边，以曲线 为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 的一个矩形的面积。 三、微积分的基本公式1原函数存在定理：如果 在 上连续，则变上限积分的函数 在 可导，还是 在 上的一个原函数。 2微积分基本公式（牛顿莱布尼茨公式）如果 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则场 。 微积分基本公式表明： 一个连续函数在区间 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 上的增量。 求定积分问题转化为求原函数的问题。 第四节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分一、 定积分的积分方法第三章 积分学 页1、定积分的换元
3、积分法例 1 求40dx.解一 xt令 2d11()dt2(ln1)tC= 2lnxC 于是440 0l()xx= 2ln3 .解二 设 t，即2()t. 当 x时, t;当 4x 时， t.于是422 20000d1()d2(ln1)(ln3)1xttt.一般地，定积分换元法可叙述如下，设 ()fx在 ,ab上连续,而 ()x满足下列条件：（1） ()x在 ,上有连续导数； （2） (),()ab,且当 t 在 ,上变化时, ()xt的值在 ,ab上变化，则有换元公式： ()d()dbafxftt.例 2 求ln20e1dx.解 设 ext，即22ln(1),dtxtx.换积分限：当 0 时
4、， t, 当 ln时， 1t,于是 ln21122000edd()dxtt10(arctn)2.第三章 积分学 页例 3 求24dax.解 设 secxat，则 dsectandx. 换积分限:当 xa时， 0t; 2xa 时，3t,于是 23440tstecax=2301sincodt23201sind()ta21a.30sint28a.例 4 求201sinxI.解一 （换元法）令 22dta,si,21xttx，所以，当 0x时， t；当x时， t，于是11122000d()tItt.解二 （凑微分法）22002dd(sinco)(tan1)cosxxI 220 02dta1(n1)ta
5、nxx.注意:求定积分一定要注意定积分的存在性 . 2、定积分的分部积分法第三章 积分学 页设 ()ux,v在a,b上有连续导数，则有 ddbbaauvvu.,该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例 5 求20cosdx.解 2200cosd(sin)xx220sisindxx2220 0(s)coscs44xx220sin44x.例 6 求e1lndx.解 e1e1 1elllndxxx.因为1ex时, ln0,这时 llnx;x1 时, lx0,这时 ln.于是11 1eell
6、d分别用分部积分求右端两个积分得 1 11e ee2lndldlnxxx,ee11lndlxx,最后得e12lex.二、 无穷区间上的广义积分第三章 积分学 页设函数 f (x) 在区间a , 上连续，取 b a，如果极限 存在，则称此)lim()bafxd极限为函数 f (x) 在无穷区间 a, 上的广义积分，记作 af即 =()afxdlim()bafxd这时也称广义积分 收敛。如果上述极限不存在，此时称广义积分 发()af ()afxd散。例题 1 计算广义积分: .21dx解 =arc tan |2dx= limarctnliarctnxxx= .()2第三章 积分学 页第五节 定积分
7、的应用一、 微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式. 可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量 （总量）表示为定积分的方法微元法，这个U方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如 为积分变量，并确定它的变化区x间 ，任取 的一个区间微元 ，求出相应于这个区间微元上部分量 的近似值，,ba, ,dxU即求出所求总量 的微元U；fd)(2) 由微元写出积分 根据 写出表示总量 的定积分dxUbabadxfU)(二、平面区域的面积1、直角坐标的情形由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形)0()
8、xfyxbx面积 。A其中： 为面积元素。Afxdab()fxd()由曲线 与 及直线 ， ( )且yfygxab所围成的图形面积 。fxg()A第三章 积分学 页 bababa dxgxfdxgdxfA )()()()(其中： 为面积元素。f例 1 计算抛物线 与直线 所围成的图形面积。xy24xy解：1、先画所围的图形简图解方程 , 得交点： 和 。42xy),(),8(2. 选择积分变量并定区间选取 为积分变量，则 03. 给出面积元素在 上， 2xdxA2)(在 上， 8)4(4. 列定积分表达式 182134324808220 xxddA另解：若选取 为积分变量，则 y4yddA21
9、)4(18642)423yy显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。2、极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线 ， 所围成的曲边扇形。)(r第三章 积分学 页取极角 为积分变量，则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素 ，它是极角变化 A区间为 的窄曲边扇形。,d的面积可近似地用半径为 ， 中心角为 的窄圆边扇形的面积来代替， 从而得到了曲边梯Ard形的面积微元为 2)(1从而面积为 dA)(r21例 2 计算心脏线 所围成的图形面积。raa(cos)0解： 由于心脏线关于极轴对称， 2220404 20023!)1(8cos8cos)1(aatddAt令三、求体积1、旋转
10、体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。计算由曲线 直线 ， 及 轴所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而生yfx()axbx成的立体的体积。取 为积分变量，则 ，对于区间 上的任一区间 ，它所对应的窄曲边梯形绕x,bx, ,dx轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以 为底半径， 为高的圆柱体体积。即：体积)(xf微元为 dfdV2)(所求的旋转体的体积为 xfba2)(第三章 积分学 页例 3 求由曲线 及直线 ， 和 轴所围成的三角形绕 轴旋转而生成的立体xhry0)0(hxxx的体积。解：取 为积分变量，则x,hrdxhrdxhrV 2
11、02202 32、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为 轴， 且设该立体在过点 ， 且垂直于 轴的两个平面之内， 以 表示xaxbx)(xA过点 且垂直于 轴的截面面积。取 为积分变量，它的变化区间为 。立体中相应于 上任一小区间 的一薄片,a,dx的体积近似于底面积为 ，高为 的扁圆柱体的体积。)(xAd即：体积微元为 dV于是，该立体的体积为 dxAVba)(例 4 计算椭圆 所围成的图形绕 轴旋转而成的立体体积。12byax解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆 及 轴所围成的图形绕 轴旋转所生成的立体。2xabyx在 处 ，用垂直于 轴的平面去截立体所得截面积为x)(ax2)()xabA22234(abdxdVaa
