1、定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难 点：定积分换元条件的掌握重 点：换元积分法与分部积分法由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的1定积分换元法定理 假设(1) 函数 在区间 上连续；)(xf,ba(2) 函数 在区间 上有连续且不变号的导数；t(3) 当 在 变化时， 的值在 上变化，且t,)(tx,ba，ba)(,)(则有 dttfdxfba)()(1)本定理证明从略在应用时必须注意变换 应满足定理的条件，
2、在)(tx改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分例 1 计算 21dx解 令 ，则 当 时， ；当 时，txtdxt2,11x0t2x于是t 10210221 dttx4)arctn(10aaO xy图 5 8例 2 计算 adx02)0(a解 令 ，则 当 时， ；当 时，tsintdcos0xtax故tadx02 tat0sdt)2co1(20202sintta42显然，这个定积分的值就是圆 在第一象限那部分的面积(图22ayx58)例 3 计算 205sincodx解法一 令 ，则 txtsi当 时， ；当 时， ，于是x12061sinco051205 tdtx解法二 也可
3、以不明显地写出新变量 ，这样定积分的上、下限也不要改变即 xdxdcossinco205205610612此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限例 4 计算 dx0sin1解 注去绝对值时注意符号dx0sin102cosidx= 220 )2cos(in)in( dx= 02(sico)(i)xx= 124例 5 计算 02sin3dx解 设 ，则当 时， ；当 时， xtco01tx1t=02six12244dtdt1arcsin3例 6 设 在 上连续，证明：)(xf,(1) 若 为奇函数，则 ；0)(adxf(2) 若 为偶函数，则 )(xf
4、dxfaa)(20证 由于,fxfdxf aaa )()()(00对上式右端第一个积分作变换 ，有tdtfffaa )()()(000 dxfa)(0故xffdxfaa )()(0(1) 当 为奇函数时， ，故)(xf0)(0dxxfaa(2) 当 为偶函数时， ，故)(xf )(xffdxfddxf aaa )(2)(00利用例 6 的结论能很方便地求出一些定积分的值 例如sin6x 1221 )4()4( ddxx 801x2定积分的分部积分法设函数 与 均在区间 上有连续的导数，由微分法则)(xuv,ba，可得dvd)(vduud)(等式两边同时在区间 上积分，有,ba (2)vvba)
5、(公式(2)称为定积分 的分部积分公式，其中 与 是自变量 的下限与上x限例 7 计算 xdeln1解 令 ，则 故vu, xvdu,dxee 11lnl)(0(例 8 计算 xd3cos0解 x3sin10 xdx3sinsi100co392例 9 计算 402cos1dx解 =4040402tan1cosxdx= =)ttan(140 )cosl(240x= 2l8例 10 计算 403secxd解 40402tansecsecxdxttan40xsec)1(s2240403ecd40)tanl(secsxx12ec2403即 注移项得)ln(s403xd故 12lec403例 11 计算 dxe10解 先用换元法，令 ，则 ttdxt2,当 时， ；当 时， 于是xt1tedex100再用分部积分法，得 x1011002()tttd2)1(2e小结：1定积分换元积分定理：假设(1) 函数 在区间 上连续；)(xf,ba(2) 函数 在区间 上有连续且不变号的导数；t(3) 当 在 变化时， 的值在 上变化，且t,)(tx,baba)(,)(则有dttfdxfba)()(2定积分分部积分法：设函数 与 均在区间 上有连续的导数，)(uxv,ba则有ddvbaba)(
