1、1咸阳师范学院毕业论文(设计)文献综述题目：定积分及其应用学生姓名：马永升系 别：数学与信息科学学院专 业：应用数学年 级：2008 级学 号：0806014322本( 专 ) 科：本科指导教师：李艳艳2定积分及其应用摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。关键词：定积分；几何；物理；初等数学 极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。例如：求 的值。1sin2sin1
2、limn 解 =s1.)(limsin1sin2si01li10finin （1） 式是函数 f（x）=sinx 在区间a,b上的一个积分和，它是把0,1分成 n 等份。 i取 的左端点（即 i= ）构,ninifni1s)(,1成的积分和，由定积分定义可得=si2si1limn 2cos1)(ininsl100xxddi许多教师在讲此内容时将例题一带而过，导致大部分学生做习题不知从何3下手，基础较好的学生也只是模仿例题，但对该方法理解不深。一 定积分在数学中的应用1 利用定积分求平面图形的面积。一般地，有上、下两条连续曲线y=f2(x)与 y=f1(x)以及两条直线x=a 与 x=b（a0，
3、ax3a)所围成的区域，以 x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？如图 2，斜线区域即为题意所指的区域, 根据旋转体体积的求法，可将区域OPQB 的旋转体积减去区域 APCB 的旋转体积，即为所求 解：我们首先来求区域 APQB 的旋转体积：= | = =4 aAaxd32a3)29(3而区域 APCB 的旋转体积为一个圆柱的体积，其半径为 a，高为 2a，故应为：32所以区域 PCQ 的旋转体积为34二 定积分在物理中的应用定积分在物理学中应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的发展,使得物理学中精确测量,计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展, 定积分的应用主要是在力学中例如
4、:有一个方向恒定的变力 F 对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为 S ， F 为 S 的函数 F=f(s),则有变力 F 所做的功为basdf)(其中 a,b 为变力 F 的起始与末尾值)例 5 质量为 m 的摆锤系于绳的下端,绳长为 ,上端固定l如图(4)所示,一水平变力 F 从零逐渐增大缓慢的作用在摆锤上,使摆锤虽力 F 在移动,但在所有时间内均无限地接近力平衡,一直到绳子与竖直直线成 角的位置，0试计算变力 F 所做的功。解； 由题意得，在任意位置上（由角位置 表示） ，摆锤无限的接近于力平衡，所以可由摆锤所受合力极近于零作计算。在水平方向与竖直方向分别有：0singTF0cos
5、mgT式中 T 是摆锤所受绳的拉力，于是有 Ftan当摆锤在 位置上沿圆弧作微小位移 时， 力所做的微功为d（3）（4）6dsFfsdwco将 代入，得：tanmgFlgdwincos所以在摆锤从初始位置（=0）到位置（= 0）的过程中，F 力对摆锤所作的总功是： )cos1(si00 mldld作变速直线运动的物体在时间区间 上所经过的路程 ，等于其速度函数ba, S在时间区间 上的积分，即 。)0()tv, badtvS)(例 6 已知一辆汽车的速度时间的函数关系为：（单位： ）).(,/stm.604,905.1;,31)(2tttttv求（1）汽车 行驶的路程；（2）汽车 行驶的路程；
6、（3）汽车 行驶s10smin1的路程.解 （1）S 1= ；0320dt（2）S 2=S1+30*30+ =100+900+ =54)91(dt 5042)91(t100+900+(1875+4500+12003600)=1225;(3) ；130)9251(901)9051(30 646413 tdttS1、定积分在数学应用的现状：对定积分在几何应用中的探索，使定积分理论在实际问题中得以应用，在几何学中许多几何问题都可以用定积分来解决.通过利用定积分微元法，展示定积分式应用的简便性与技巧性本文所参考的文献包括高等教育出版社出版的数学分析上下册，和高等数学上下册.目前的这两种教材在某些地方还
7、不是很完善.例如在利用定积分求平面图形面积的时候，有的公式没有直接给出，仅仅是通通过例题体现的.而有的公式虽然给出了，但是容易和其他的公式混淆，书上没有明确说明它们的区别，怎么用及为什么.而我所参考的高等数学同步精讲上册正好补充了教材的不足之处.方便了以后的学习和研究.2、主要研究成果：7应用定积分及微元思想解决了很多几何方面的问题.几何问题在实际生活中无处不在,而且相当一部分的几何问题是复杂的，我们用一般的方法很难解决.例如求解一些不规则的图形面积等.利用定积分微元法能直观且方便的解决问题.我所参考的文献高等数学同步精讲上册结合目前所学的数学分析及高等数学教材基本上给出了定积分在几何应用中的
8、所有一些情况及解法.3、发展趋势：定积分在求解几何问题中有很广泛的应用.有时遇到某些较难的几何问题时运用定积分的微元思想是很方便的.目前一些教材中要求学生理解并掌握定积分微元思想方法，即“分割、近似代替、求和、取极限”，并会用定积分求一些平面图形的面积；同时“理解定积分微元思想方法” 也是学生学习的难点与重点所在.说它为重点是因为它所处的历史地位和它应用的广泛性所决定的；说它是难点主要是因为这种思想方法不同于前面学习过的函数与方程思想、数形结合思想等基本的思想方法，在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应；同时，从历史上看，人类从对微积分的认识到掌握微
9、积分理论，经过了千年历史，所以在短短几节课内达到深刻理解这种思想方法，的确是不容易的，所以，它一直是学生学习的难点所在4、存在问题：目前一些通用教材的“定积分的应用”主要内容是在几何学和物理学上的应用.定积分在几何学的应用中一直存在着一个问题,它在教与学两个方面都容易出现错误.例如定积分在求平面图形面积中的应用时常常会发生选取公式的错误.所以在解决实际问题时应该具体问题具体分析,不能直接套用某个公式,这样才会顺利的解决问题.5、主要参考文献：1 华东师范大学 数学分析上册M第三版 高等教育出版社2 华东师范大学 数学分析下册M第三版 高等教育出版社3 同济大学 高等数学上册M第五版 高等教育出版社4 同济大学 高等数学下册M第五版 高等教育出版社5普通物理学 戴启润 西北大学出版社
