1、第 1 页 共 13 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 38）导数、定积分一课标要求：1导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义求函数 y=c，y=x，y=x 2，y=x 3，y=1/x，y=x 的导数； 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f（ax+b） ）的导数； 会使用导数公式表。（
2、3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等） ，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的
3、基本思想，初步了解定积分的概念； 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系） ，直观了解微积分基本定理的含义。（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。三要点精讲1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量 =f（x +0xy0）f （x ） ，比值 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + 之间的平均变化率，即0y0= 。yxf)(0如果当 时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可导，并把这y 0第 2 页 共 13 页个极限叫做 f（x）在点 x 处的
4、导数，记作 f（x ）或 y| 。000x即 f（x ）= = 。00limxy0lixff)(说明：（1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指 时， 有极限。如果 不存在00xxyxy极限，就说函数在点 x 处不可导，或说无导数。（2） 是自变量 x 在 x 处的改变量， 时，而 是函数值的改变量，可0y以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤：0（1）求函数的增量 =f（x + ）f （x ） ；y0（2）求平均变化率 = ；f)(0（3）取极限，得导数 f(x )= 。0xylim2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f（
5、x）在点 p（x ，f（x ） ）0 0处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x ，f （x ） ）处的切线的斜率0是 f（x ） 。相应地，切线方程为 yy =f/（x ） （xx ） 。0 03常见函数的导出公式4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差)，即： ( .vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv第 3 页 共 13 页若 C 为常数,则 .)(Cu法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与
6、分子的积，再除以分母的平方： = （v 0） 。v2形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导回x()代。法则：y| = y| u|XUX5导数的应用（1）一般地，设函数 在某个区间可导，如果 ，则 为增函)(xff)(x0)(xf数；如果 ，则 为减函数；如果在某区间内恒有 ，则 为f0)(x 常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数 f 在a，b上必有最大值与最小值。)(x求函数 在(a，b)内的极值； 求函数 在区间端
7、点的值 (a)、(b) ； 将函数)(x 的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax 00, f(x)在(,1), (1,+) 为增函数.；()当 a2 时, 0f(0)=1；()当 a2 时, 取 x0= (0,1),则由() 知 f(x0)1 且 eax 1，1+x1 x得：f(x)= eax 1. 综上当且仅当 a(,2 时 ,对任意 x(0,1)恒有 f(x)1+x1 x 1+x1 x1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 8 （1） 在区间
8、 上的最大值是（ ）32()fx1,(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2）设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）32(),.axa其 中讨论f(x) 的极值。解析：（1） ，令 可得 x0 或 2（2 舍去） ，2()6()fx()f当1x0 时， 0，当 0x1 时， 0，所以当 x0 时，f（x）取得最大值fx为 2。选 C；（2）由已知得 ，令 ，解得 。()6()fa()f12,1a（）当 时， ， 在 上单调递增；1a 2xfx,当 时， ， 随 的变化情况如下表：()1f()fxx,00 ,1a1a(,)()f+ 0 0xA极大值 A极小值 A从上表可知，函数 在
9、上单调递增；在 上单调递减；在()fx,)(,1)a上单调递增。(1,)a（）由（）知，当 时，函数 没有极值；当 时，函数 在1a()fx()fx处取得极大值，在 处取得极小值 。0xx31)a第 10 页 共 13 页点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型 5：导数综合题例 9设函数 分别在 处取得极小值、极大值 . 平面上点3()2fxx12x、 xoy的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是AB、 1（ ,） 2()f（ ,） P4ABQ点 关于直线 的对称点.求P2(4)yx(I)求点 的坐标；、(II)求动点
10、 的轨迹方程.Q解析： () 令 解得 ；03)23()2 xxf 1x或当 时, ， 当 时, ，当 时， 。1x01)(f 0)(f所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 ,x,21x。4)(0)(ff所以, 点 A、B 的坐标为 。)4,1(0,B（） 设 ， ，),(nmp)(yxQ，4,12 nmnP，所以 。2Qk21x又 PQ 的中点在 上，所以 ，消去 得)4(y 42xynm,。9282x点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型 6：导数实际应用题例 11 （06 江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶
