1、教学设计方案XueDa PPTS Learning Center第 0 页 共 17 页姓名 李鸿铭 学生姓名 吴天嘉 填写时间 2012.11.18学科 数学 年级 高三 教材版本 人教 A 版阶段 观察期：第（4）周 维护期 本人课时统计 第（7、8）课时共（ ）课时课题名称 导数及其应用（一轮复习） 课时计划 2 上课时间 2012.11.18同步教学知识内容 导数及其应用。教学目标个性化学习问题解决 能熟练掌握函数的导数的求法，并利用导数解决实际问题。教学重点 函数的导数的求法、单调区间、最值、函数在某一点的切线的方程。教学难点 含有参数的函数的单调区间的求法（涉及分类讨论）教师活动教
2、学过程一、命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计 2013 年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）13 年高考可能涉及导数综合
3、题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。2、要点精讲1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量 =f（x + ）f（x0xy0） ，比值 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + 之间的平均变化率，即 = 。0xy0 f)(0如果当 时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可导
4、，并把这个极限叫做0y0f（x）在点 x 处的导数，记作 f（x ）或 y| 。00x即 f（x ）= = 。00limxy0lixff)(教学设计方案XueDa PPTS Learning Center第 1 页 共 17 页说明：（1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指 时， 有极限。如果 不存在极限，就说函00xxyxy数在点 x 处不可导，或说无导数。0（2） 是自变量 x 在 x 处的改变量， 时，而 是函数值的改变量，可以是零。0y由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：0（1）求函数的增量 =f（x + ）f （x ） ；y0（2）求平
5、均变化率 = ；f)(0（3）取极限，得导数 f(x )= 。0xylim2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f（ x）在点 p（x ，f（x ） ） 处的切0 0线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x ，f（x ） ）处的切线的斜率是 f（x ） 。相应地，切0线方程为 yy =f/（x ） （x x ） 。003常见函数的导出公式（） （C 为常数） （）)( 1)(nnx（） （）xcossin sico（5） （6）1)(l xe)(4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差)
6、，即： ( .vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv若 C 为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数 0)( CuC的导数： .u法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： = （v 0） 。v2形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：x()教学设计方案XueDa PPTS Learning Center第 2 页 共 17 页y| = y| u|XUX5导数的应用（1）一般地，设函数 在某个区间可导，如果
7、，则 为增函数；如果)(xfyf)(x0)(xff，则 为减函数；如果在某区间内恒有 ，则 为常数；0)(x)(xf f（2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数 f 在a，b上必有最大值与最小值。求函数 )(x在(a ，b)内的极值； 求函数 在区间端点的值 (a)、(b) ； 将函数 的各极值与 (a)、)(x)( )(x(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax 00,
8、f(x)在(,1), (1,+) 为增函数.；()当 a2 时, 0f(0)=1；()当 a2 时, 取 x0= (0,1),则由() 知 f(x0)1 且 eax 1，1+x1 x得：f(x)= eax 1. 综上当且仅当 a(,2 时 ,对任意 x(0,1)恒有 f(x)1。1+x1 x 1+x1 x点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 6 （1） （06 浙江卷） 在区间 上的最大值是（ ）32()fx1,(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2） （06山东卷）设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）32(),.aa其 中讨论f
9、(x) 的极值。解析：（1） ，令 可得 x0 或 2（2 舍去） ，当1x0 时，2()36()fxx()f0，当 0x1 时， 0，所以当 x0 时，f （x）取得最大值为 2。选 C；()fx f（2）由已知得 ，令 ，解得 。()(1)xa()1,xa（）当 时， ， 在 上单调递增；a 26ffx,当 时， ， 随 的变化情况如下表：1()x()fxx,00 ,1a1a(,)()f+ 0 0xA极大值 A极小值 A从上表可知，函数 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递()fx,)(,1)a(1,)a增。（）由（）知，当 时，函数 没有极值；当 时，函数 在 处取得极1a()f
10、x()fx0大值，在 处取得极小值 。1xa3点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决教学设计方案XueDa PPTS Learning Center第 7 页 共 17 页实际问题的能力。题型 4：导数综合题例 7 （06 广东卷）设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点3()2fxx12x、 xoy的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线AB、 1xf（ ,） 2（ ,） P4ABQP的对称点.求2(4)yx(I)求点 的坐标；、(II)求动点 的轨迹方程.Q解析： () 令 解得 ；03)23()2 xxf 1x或当
11、 时, ， 当 时, ，当 时， 。1x01)(f 0)(f所以,函数在 处取得极小值 ,在 取得极大值,故 , 。x,21x4)(,f所以, 点 A、B 的坐标为 。)4(B（） 设 ， ，),(nmp),(yxQ，41,1, 2 nmnP，所以 。21Qk2x又 PQ 的中点在 上，所以 ，消去 得)4(y 42xynm,。9282x点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型 5：导数实际应用题例 8 （06 江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体1
12、o积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设 OO1为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 （单位：m） 。2223(1)8xx于是底面正六边形的面积为（单位：m 2）：教学设计方案XueDa PPTS Learning Center第 8 页 共 17 页。2222333(1)6(8)(8)4xxxA帐篷的体积为（单位：m 3）：2 31()()()(162)2Vxxx求导数，得 ；23()()令 解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。0Vx当 10。42229)(ktkvFzu当 x=0 时，t=0；当 x=a 时
13、， ，31)(a又 ds=vdt，故阻力所作的功为： 3277130320302 )(111 baktkbdtbkdtvtkvdsWtttzuz （2）依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0，x 2=b/a，所以(1)3206)(baxaSb又直线 xy=4 与抛物线 y=ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组 bxy24得 ax2(b 1)x4=0 ，其判别式必须为 0，即(b1) 216a=0于是 代入（1）式得：,)(62a， ； 0,)(8)43bbS 52)1(38)(bS令 S(b)=0；在 b0 时得唯一驻点 b=3，且当 0b3 时，S(b)0；当 b3 时，S(b)0故在b=3 时，S(b)取得极大值，也是最大值，即 a=1，b=3 时，S 取得最大值，且 。29maxS点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主
